Home » Geometría » Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (III)

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (III)

Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí

Altura de un punto de pie accesible

Para calcular la altura de un punto de pie accesible se pueden presentar dos casos distintos. El primero de ellos, que el suelo sea horizontal (figura 1) y el segundo, que el suelo presente una determinada inclinación (ver figura 2). 

Si el suelo es horizontal (figura 1) el triángulo \(ABC\) es rectángulo y entonces es muy fácil hallar la altura \(h\).

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{h}{\overline{CB}}\Rightarrow h=\overline{CB}\cdot\text{tg}\,\alpha\]

Si el suelo presenta una inclinación dada, \(\beta\) (figura 2), conocemos también el ángulo \(\widehat{ACB}=\alpha-\beta\) y el ángulo \(\widehat{CAB}=90^{\text{o}}-\alpha\). Utilizando el teorema de los senos tenemos:

\[\frac{\overline{CB}}{\text{sen}\,\widehat{CAB}}=\frac{x}{\text{sen}\,\widehat{ACB}}\Rightarrow\frac{\overline{CB}}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}=\frac{x}{\text{sen}\,(\alpha-\beta)}\]

Y de aquí podremos despejar con facilidad la altura \(x\):

\[x=\frac{\overline{CB}\cdot\text{sen}\,(\alpha-\beta)}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}\]

  • Ejemplo

Un pasillo plano de 10 metros de largo y que forma un ángulo de \(25^{\text{o}}\) con la horizontal, conduce al pie de una gran torre. Calcular la altura de ésta, sabiendo que desde el inicio del pasillo el ángulo de elevación de su punto más alto es de \(82^{\text{o}}\).

Solución

Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura de la torre. En este caso \(\overline{CB}=10\), \(\widehat{ACB}=\alpha-\beta=82^{\text{o}}-25^{\text{o}}=57^{\text{o}}\) y \(\widehat{CAB}=90^{\text{o}}-\alpha=90^{\text{o}}-82^{\text{o}}=8^{\text{o}}\). Por tanto:

\[x=\frac{\overline{CB}\cdot\text{sen}\,(\alpha-\beta)}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}=\frac{10\cdot\text{sen}\,57^{\text{o}}}{\text{sen}\,8^{\text{o}}}\Rightarrow x\approxeq60,26\]

Así pues, la altura de la torre es de, aproximadamente, 60,26 metros.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparecen razones trigonométricas, ...

Ecuaciones trigonométricas

Antes de comenzar la lectura de este artículo es conveniente tener unas nociones básicas de ...

Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. ...

Expresiones, identidades y ecuaciones trigonométricas

En Matemáticas I (1º de Bachillerato) se trabaja mucho la demostración de identidades trigonométricas, la ...

A %d blogueros les gusta esto: