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Problema de optimización 2

Problema de optimización para Matemáticas II (2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología).

Enunciado. Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r’\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?

La solución aquí

La solución aquí

El área iluminada en cada esfera es la del casquete limitado por la circunferencia de contacto del cono circuncscrito a la esfera, con el vértice en el punto luminoso \(P\).

Si \(h\) y \(h’\) son las alturas de dichos casquetes esféricos, la suma de las áreas es:

\[S=2\pi(rh+rh’)\qquad(1)\]

En la figura se tiene claramente que

\[h=r-\overline{CA}\qquad(2)\]

Por el teorema del cateto en el triángulo rectágulo \(CTP\)

\[\overline{CT}^2=\overline{CA}\cdot\overline{CP}\Rightarrow r^2=\overline{CA}\cdot x\Rightarrow\overline{CA}=\frac{r^2}{x}\]

y sustituyendo en \((2)\)

\[h=r-\frac{r^2}{x}\]

Por un razonamiento completamente análogo en la otra circunferencia se tiene que

\[h’=r’-\frac{r’^2}{d-x}\]

Sustituyendo en \((1)\)

\[S=2\pi\left(r^2+r’^2-\frac{r^3}{x}-\frac{r’^3}{d-x}\right)\]

Derivando respecto de \(x\)

\[\frac{dS}{dx}=2\pi\left(\frac{r^3}{x^2}-\frac{r’^3}{(d-x)^2}\right)\]

Como la suma de las superficies ha de ser máxima \(\displaystyle \frac{dS}{dx}=0\). Entonces

\[\frac{r^3}{x^2}-\frac{r’^3}{(d-x)^2}=0\Rightarrow r^3(d-x)^2-r’^3x^2=0\Rightarrow r^3(d-x)^2=r’^3x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{(d-x)^2}{x^2}=\frac{r’^3}{r^3}\Rightarrow\frac{d-x}{x}=\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}\]

Hemos utilizado, para extraer la raíz cuadrada, que tanto \(x\) como \(d-x\) han de ser positivos. De la última igualdad obtenemos ahora que

\[\frac{d}{x}-1=\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}\Rightarrow\frac{d}{x}=1+\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}\Rightarrow x=\frac{d}{1+\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}}\]

La derivada segunda es

\[\frac{d^2S}{dx^2}=2\pi\left(\frac{-2r^3}{x^3}-\frac{2r’^3}{(d-x)^3}\right)=-2\pi\left(\frac{2r^3}{x^3}+\frac{2r’^3}{(d-x)^3}\right)\]

que es negativa para cualquier valor de \(x\). Por tanto el valor de \(x\) obtenido anteriormente corresponde a un máximo.

Así pues, el punto debe situarse a una distancia del centro de la primera esfera igual a

\[\frac{d}{\displaystyle 1+\sqrt{\left(\frac{r’}{r}\right)^3}}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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