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Concepto de área de una figura plana

El área de una figura plana es un número indicativo de la extensión ocupada por esa figura.

Para el cálculo de áreas admitiremos como un hecho intuitivo que al descomponer un recinto en recintos parciales, las áreas de éstos suman el área del recinto total.

Como unidad de medida de áreas se toma el área de un cuadrado de lado \(1\), que denotaremos \(1\ \text{u}^2\) y leeremos “una unidad cuadrada” (evidentemente la palabra “unidad” se cambiará por la unidad de medida correspondiente en los casos prácticos: centímetros, metros, kilómetros, etcétera). Una vez fijada esta unidad, el área de cualquier figura vendrá dada por el número de veces que dicha figura contiene al cuadrado unidad.

Cuando la figura tiene un contorno formado por segmentos rectilíneos, es decir, cuando se trata de un polígono, su área se obtiene aplicando las fórmulas conocidas, que vamos a recordar.

El área de un rectángulo de base \(b\) y altura \(h\) es \(b\cdot h\), pues dicho rectángulo contiene \(b\cdot h\) veces al cuadrado unidad.

El área de un paralelogramo cualquiera de base \(b\) y altura \(h\) es \(b\cdot h\), ya que dicho paralelogramo \(ABCD\) tiene la misma área que el rectángulo \(EFCD\), pues los triángulos \(AED\) y \(BFC\) tiene la misma área.

El área de un triángulo \(ABC\) de base \(b\) y altura \(h\) es \(\frac{1}{2}bh\), pues el paralelogramo \(ABCD\) puede descomponerse en dos triángulos de la misma base y altura.

Finalmente, un polígono cualquiera se puede descomponer en triángulos, por lo que el área puede calcularse sumando las áreas de los triángulos en los que se ha descompuesto.

Cuando el recinto no tiene un contorno rectilíneo, su área ha de calcularse por un proceso de aproximación, recubriendo la figura con polígonos, tal como muestra el siguiente ejemplo.

Consideremos la figura \(F\) representada más abajo. Si la recubrimos con cuadrados de \(1\ \text{cm}^2\) de área, observamos que hay \(33\) cuadrados que tienen alguna parte común con \(F\). Por lo tanto, si el área de la figura es \(A\), tenemos que \(13\ \text{cm}^2\leq A\leq33\ \text{cm}^2\).

Recubramos \(F\) con cuadrados más pequeños que el anterior, cuya área sea \(\frac{1}{4}\ \text{cm}^2=0.25\ \text{cm}^2\). Observemos que hay \(79\) cuadrados totalmente contenidos en \(F\), mientras que hay \(120\) cuadrados que tienen alguna parte común con \(F\). Por lo tanto: \(19.75\ \text{cm}^2\leq A\leq30\ \text{cm}^2\), y de esta forma nos hemos aproximado más al valor real de \(A\), tanto por defecto como por exceso (ver figura siguiente).

Si seguimos el proceso tomando el recubrimiento con cuadraditos cada vez menores, podemos hallar el área de \(F\) con la aproximación deseada.

En los apartados siguientes veremos la manera de hallar áreas utilizando el Cálculo Integral.

2. Integral definida →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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