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El teorema de los ceros de Bolzano

Continuidad de una función en un punto

Sabemos que una función \(f\) es continua en un punto \(x=a\) cuando se cumplen las tres condiciones siguientes:

  • Existe, y es finito, el límite de la función en el punto \(x=a\), es decir, \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\,,\ L\in\mathbb{R}\).
  • La función \(f\) está definida en el punto, o lo que es lo mismo, existe la imagen de la función en el punto \(x=a\), es decir, existe \(f(a)\).
  • El límite de la función en el punto \(x=a\) es igual a la imagen de la función en dicho punto: \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L=f(a)\).

La continuidad es una propiedad local. Lo que queremos decir con esto es que para estudiar la continuidad de una función en un punto nos interesa saber lo que ocurre “en las cercanías del punto”. De hecho, el concepto de límite obliga a que, supuesto que tomemos un entorno cualquiera de \(L\), \((L-\varepsilon\,,\,L+\varepsilon)\), en el eje \(Y\), siempre podremos encontrar un entorno del punto \(a\) en el eje \(X\), \((a-\delta\,,\,a+\delta)\), cuyas imágenes estén contenidas en el entorno anterior \((L-\varepsilon\,,\,L+\varepsilon)\). Esta idea se transcribe en lenguaje matemático así:

\[\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall\,\varepsilon>0\,,\,\exists\,\delta>0\,:\,a-\delta<x<a+\delta\,\Rightarrow\,L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon\]

El concepto anterior lo extenderemos de manera natural a un intervalo de números reales.

Continuidad de una función en un intervalo

Se dice que una función es continua en un intervalo \(I\) de \(\mathbb{R}\) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo \(I\):

\[f\ \text{es continua en}\ I\Leftrightarrow f\ \text{es continua en}\ a,\,\forall\,a\in I\]

El intervalo \(I\) puede ser abierto o cerrado, abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro; también puede ser una semirrecta abierta o cerrada del tipo \((-\infty\,,\,3]\) o \((-2\,,\,+\infty)\). El intervalo también puede ser todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales. Cuando el intervalo es cerrado en uno de sus extremos, entenderemos la continuidad en el punto extremo como la continuidad lateral, bien por la izquierda (si el intervalo es cerrado por la derecha), bien por la derecha (si el intervalo es cerrado por la izquierda).

Todas las funciones elementales conocidas (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) son continuas en sus dominios de definición. Construir funciones que no sean continuas no es difícil. Basta tomar una función definida por trozos de la forma

\[f(x)=\begin{cases}g(x)&\text{si}&x\leqslant a\\h(x)&\text{si}&x>a\end{cases}\]

donde \(g\) y \(h\) son funciones continuas en el punto \(a\) con \(g(a)\neq h(a)\).

Teorema de los ceros de Bolzano

El teorema de los ceros de Bolzano formaliza la idea de que si una función es continua en un intervalo cerrado y las imágenes de los extremos tienen distinto signo, entonces existe algún punto del interior del intervalo donde la imagen se anula (ver la imagen con la que se encabeza este artículo).

  • Teorema de los ceros de Bolzano

Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a\,,\,b]\) y supongamos que el signo de \(f(a)\) es distinto que el signo de \(f(b)\). Entonces existe \(c\in(a\,,\,b)\) tal que \(f(c)=0\).

El teorema de los ceros de Bolzano recibe su nombre en honor al matemático y filósofo checo Bernard Bolzano. Su demostración formal requiere de algunas premisas previas. No es un contenido mínimo para las matemáticas de bachillerato, pero puedes verla aquí.

También tienes una presentación interesante sobre el teorema de los ceros de Bolzano aquí.

Consecuencias del teorema de los ceros de Bolzano

  • Teorema de los valores intermedios

Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a\,,\,b]\). Entonces \(f\) toma todos los valores intermedios entre \(f(a)\) y \(f(b)\).

Es decir, cualquiera que sea el número \(k\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe \(c\in(a\,,\,b)\), tal que \(f(c)=k\).

¿Serías capaz de demostrarlo? Usando el teorema de los ceros de Bolzano la demostración del teorema anterior es un ejercicio sencillo.

Otra consecuencia inmediata del teorema anterior y, por tanto, del teorema de los ceros de Bolzano es la siguiente:

Si \(f\) y \(g\) son funciones continuas en \([a\,,\,b]\) con \(f(a)<g(a)\) y \(f(b)>g(b)\), entonces existe \(c\in(a\,,\,b)\), tal que \(f(c)=g(c)\).

  • Teorema de Weierstrass

Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \([a\,,\,b]\). Entonces \(f\) tiene un máximo y un mínimo absoluto en ese intervalo. Es decir, existen números \(c\) y \(d\) del intervalo \([a\,,\,b]\) para los cuales se cumple que:

\[\forall\,x\in[a\,,\,b]\ \text{es}\ f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c)\]

Un bonito ejercicio de aplicación del teorema de los ceros de Bolzano es el siguiente.

  • Ejercicio

Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura

La solución aquí

La solución aquí

Consideremos la función temperatura definida sobre una circunferencia (Ecuador) \(T:[0,\,2\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) que según la hipótesis es continua y sea ahora la función \(f:[0,\,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=T(x+\pi)-T(x)\), que es continua por serlo \(T\).

Se tiene, por un lado, que \(f(0)=T(\pi)-T(0)\) y, por otro, que \(f(\pi)=T(2\pi)-T(\pi)=T(0)-T(\pi)\).

Si \(T(\pi)-T(0)=0\Rightarrow T(\pi)=T(0)\) y habríamos terminado (\(0\) y \(\pi\) son, evidentemente, puntos antípodas).

Supongamos que \(T(\pi)-T(0)\neq 0\). Entonces puede ocurrir que \(f(0)=T(\pi)-T(0)>0\), con lo que \(f(\pi)=T(0)-T(\pi)<0\). O puede ocurrir que \(f(0)=T(\pi)-T(0)<0\), con lo que , en este caso será \(f(\pi)=T(0)-T(\pi)>0\).

En cualquier caso, aplicando el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,\,\pi)\) tal que \(f(c)=T(c+\pi)-T(c)=0\), es decir, \(T(c+\pi)=T(c)\), tal y como queríamos demostrar.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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