Home » Geometría » Lugares geométricos
Bisectriz de un ángulo.

Lugares geométricos

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada, de un modo integrante y excluyente.

  • Integrante significa que todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
  • Excluyente, que todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones. Es lo que se hace en los siguientes ejemplos. En ellos veremos dos lugares geométricos básicos: la mediatriz de un segmento y las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas.

Lugares geométricos destacables en el plano son las cónicas:

  • Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.
  • Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamdos focos es constante.
  • Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamdo foco.

Puedes ver un estudio de las cónicas en otro curso dedicado exclusivamente a ellas.

  • Ejemplo 18

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento \(AB\), tal que \(A(2,2)\) y \(B(8,0)\).

La mediatriz \(m\) es el lugar geométrico de todos los puntos que distan lo mismo de los extremos del segmento.

O sea, con un punto cualquiera \(P(x,y)\) que pertenezca al lugar, se cumple:

\[d(P,A)=d(P,B)\]

Entonces

\[\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-8)^2+(y-0)^2}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(x-2)^2+(y-2)^2=(x-8)^2+y^2\Rightarrow m\equiv3x-y-14=0\]

  • Ejemplo 19

Calcula la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas

\[r\equiv4x-3y=0\quad;\quad s\equiv5x+12y-7=0\]

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que distan lo mismo de cada uno de los lados del ángulo.

O sea, que un punto cualquiera \(P(x,y)\) que pertenezca al lugar, se cumple:

\[d(P,r)=d(P,s)\]

Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección 7 dedicada a este curso de geometría plana, la relación anterior la podemos escribir así:

\[\frac{|4x-3y|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|5x+12y-7|}{\sqrt{25+144}}\Rightarrow\frac{4x-3y}{5}=\pm\frac{5x+12y-7}{13}\]

Con el signo \(+\):

\[b_1\equiv27x+99y+35=0\]

Con el signo \(−\):

\[b_2\equiv77x+21y-35=0\]

Obsérvese que las bisectrices \(b_1\) y \(b_2\) son perpendiculares pues el producto escalar de dos vectores directores suyos es nulo. En efecto:

\[(99,27)\cdot(-21,77)=99\cdot(-21)+27\cdot77=-2079+2079=0\]

← 9. Cambio de sistema de referencia ortonormal

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (3)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide \(2\sqrt{2}\) unidades y se encuentra sobre la ...

Recta perpendicular a una dada. Representaciones gráficas con desmos

En un antiguo artículo de esta web se hace un estudio completísimo de la relación ...

A %d blogueros les gusta esto: