Home » Geometría » Ecuación normal de la recta. Cosenos directores
Ecuación normal de la recta cuya ecuación general es \(Ax+ By+C=0\).

Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

En la figura 9 hemos tomado la recta

\[r\equiv Ax+By+C=0\]

Sobre ella se consideran los puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(X(x,y)\) que determinan el vector

\[\overrightarrow{AX}=(x-a_1,y-a_2)\]

El vector \(\vec{z}\) se ha construido unitario y perpendicular a \(r\)Por tanto tiene la misma dirección que el vector \(\vec{v}=(A,B)\). Para obtener \(\vec{z}\) basta multiplicar \(\vec{v}\) por el inverso de su módulo:

\[\vec{z}=\frac{1}{|\vec{v}|}\cdot(A,B)=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\]

Ahora bien:

\[\overrightarrow{AX}\perp\vec{z}\Rightarrow\frac{A\cdot(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}+\frac{B\cdot(y-a_2)}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\]

O sea:

\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{-A\cdot a_1-B\cdot a_2}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\quad(\ast)\]

Pero si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto \(A\), resulta:

\[A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0\Leftrightarrow C=-A\cdot a_1-B\cdot a_2\]

Sustituyendo en \((\ast)\):

\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\]

La ecuación anterior es la ecuación normal de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la \(x\) y de la \(y\) de esa ecuación normal de la recta? Obsérvese que son las componentes del vector unitario \(z\). Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal \(\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\), son el coseno y el seno del ángulo \(\alpha\) que forma con el vector \(\mathbf{i}\) de la base. Así pues:

\[\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\quad;\quad\text{sen}\,\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Esas expresiones reciben el nombre de cosenos directores de \(r\), pues la segunda también puede escribirse:

\[\text{sen}\,\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)\]

  • Ejemplo 13

Halla los cosenos directores y escribe en forma normal la recta

\[r\equiv5x+12y-4=0\]

 Los cosenos directores son:

\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{5}{13}\quad;\quad\cos(90^{\circ}-\alpha)=\text{sen}\,\alpha=\frac{12}{13}\]

Entonces:

\[r\equiv\frac{5}{13}x+\frac{12}{13}y-\frac{4}{13}=0\]

← 5. Paralelismo y perpendicularidad

7. Distancia de un punto a una recta →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (3)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide \(2\sqrt{2}\) unidades y se encuentra sobre la ...

Recta perpendicular a una dada. Representaciones gráficas con desmos

En un antiguo artículo de esta web se hace un estudio completísimo de la relación ...

A %d blogueros les gusta esto: