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Fórmula del área del triángulo de vértices los puntos \((a_1,a_2)\), \((b_1,b_2)\), \((c_1,c_2)\).

Área del triángulo

Trabajaremos en el triángulo de la figura 11.

En él, la ecuación de la recta \(r\) es

\[r\equiv\frac{x-c_1}{b_1-c_1}=\frac{y-c_2}{b_2-c_2}\Leftrightarrow(b_2-c_2)x+(b_1-c_1)y+(b_1c_2-c_1b_2)=0\]

El área \(S\) del triángulo \(ABC\) es

\[S=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot|\overrightarrow{AH}|\]

Pero

\[|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}\]

\[|\overrightarrow{AH}|=\frac{|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|}{\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}}\]

Obsérvese que para hallar \(AH\) se ha utilizado la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección anterior. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del área del triángulo, queda

\[S=\frac{1}{2}\cdot|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|\]

La fórmula anterior no es fácil de recordar de memoria. Pero hay una expresión matemática equivalente, que se llama determinante, con el que no es necesario recordar esa fórmula, y se aplica como se hace en el ejemplo siguiente.

\[S=\frac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & 1\\
b_1 & b_2 & 1\\
c_1 & c_2 & 1
\end{vmatrix}\right|\]

  • Ejemplo 15

Halla el área del triángulo cuyos vértices son \(A(2\,,\,0)\); \(B(3\,,\,4)\) y \(C(-2\,,\,5)\).

 \[S=\frac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}
2 & 0 & 1\\
3 & 4 & 1\\
-2 & 5 & 1
\end{vmatrix}\right|=\]

\[=\frac{1}{2}\cdot|2\cdot4\cdot1+3\cdot5\cdot1+0\cdot1\cdot(-2)-1\cdot4\cdot(-2)-1\cdot5\cdot2-0\cdot3\cdot1|=\frac{21}{2}\]

Los seis productos del determinante corresponden al esquema siguiente, conocido como regla de Sarrus: las diagonales continuas se suman y las diagonales en trazos se restan.

← 7. Distancia de un punto a una recta

9. Cambio de sistema de referencia ortonormal →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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