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Relación entre las pendientes \(m_r\) y \(m_s\) de dos rectas perpendiculares \(r\) y \(s\).

Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas \(r\) y \(s\) de pendientes respectivas \(m_1\) y \(m_2\) son paralelas, forman un ángulo de \(0^{\circ}\). En ese caso:

\[\text{tg}\,0^{\circ}=0\Rightarrow\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}=0\Rightarrow m_2-m_1=0\Rightarrow m_2=m_1\]

Esto nos lleva a un resultado conocido: dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

\[r||s\Leftrightarrow m_r=m_s\]

Este resultado está de acuerdo con la fórmula que veíamos en la sección 1 pues, efectivamente, si consideramos dos rectas

\[Ax+By+C=0\quad;\quad A’x+B’y+C’=0\]

tenemos que:

\[\begin{cases}m_2=-\frac{A’}{B’}\\ m_1=-\frac{A}{B}\end{cases}\ ;\ r||s\Leftrightarrow m_1=m_2\Rightarrow -\frac{A’}{B’}=-\frac{A}{B}\Rightarrow \frac{A’}{B’}=\frac{A}{B}\]

  • Ejemplo 9

Calcula \(k\) para que las rectas

 \[r\equiv x+2y-3=0\quad;\quad s\equiv x-ky+4=0\]

sean paralelas.

\[\begin{cases}m_1=-\frac{1}{2}\\ m_2=\frac{1}{k}\end{cases}\Rightarrow-\frac{1}{2}=\frac{1}{k}\Rightarrow k=-2\]

  • Ejemplo 10

Calcula la ecuación de la recta \(s\) paralela a la recta \(r\equiv x+3y−5=0\), y que pasa por el punto \(A(2,5)\).

\[s||r\Leftrightarrow m_s=m_r\ ;\ m_s=-\frac{1}{3}\]

Usando la eucación punto-pendiente:

\[s\equiv y-5=-\frac{1}{3}(x-2)\Leftrightarrow s\equiv x+3y-17=0\]

Si dos rectas son perpendiculares, forman un ángulo de \(90^{\circ}\). En ese caso, la fórmula

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}\]

exige que \(\text{tg}\,90^{\circ}\rightarrow\infty\). Para ello, el denominador ha de ser nulo. O sea:

\[1+m_2\cdot m_1=0\Rightarrow m_2=-\frac{1}{m_1}\]

Es decir:

\[r\perp s\Leftrightarrow m_s=-\frac{1}{m_r}\]

Así pues, dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.

Observando la expresión de la sección 4:

\[m=-\frac{A}{B}=\frac{p_2}{p_1}\]

se puede comprender esta interesante interpretación de los coeficientes de los términos lineales de la ecuación general de una recta. Veamos, sea \(r\) una recta:

\[r\equiv Ax+By+C=0\]

Un vector director de \(r\) es:

\[\vec{p}=(-B,A)\]

Si consideramos ahora el vector

\[\vec{v}=(A,B)\]

y hacemos el producto escalar de ambos vectores

\[\vec{p}\cdot\vec{v}=(-B,A)\cdot(A,B)=-A\cdot B+A\cdot B=0\Leftrightarrow\vec{p}\perp\vec{v}\]

La conclusión de todo lo anterior es, por tanto, la siguiente:

\[\vec{v}=(A,B)\perp r\equiv Ax+By+C=0\]

  • Ejemplo 11

Calcula la ecuación de la recta s, perpendicular a \(r\equiv x+2y+3=0\), por el punto \(A(3,5)\).

Calculamos la pendiente de la recta \(r\) y obtenemos así la de \(s\) (la inversa de la de r cambiada de signo):

\[m_r=-\frac{A}{B}=-\frac{1}{2}\Rightarrow m_s=2\]

Entonces:

\[s\equiv y-5=2\cdot(x-3)\Leftrightarrow s\equiv 2x-y-1=0\]

  • Ejemplo 12

Haz el ejercicio anterior, usando vectores directores y la forma continua de la recta.

Un vector director de \(r\) es:

\[\vec{p}=(-2,1)\]

y un vector perpendicular a \(r\) será pues :

\[\vec{v}=(1,2)\]

Por tanto, este último vector, será un vector director de la recta \(s\). Entonces:

\[s\equiv \frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{2}\Leftrightarrow s\equiv 2x-y-1=0\]

← 4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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