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Forma polar de un número complejo.

Forma polar de un número complejo

El número complejo \(z=a+bi\), en lugar de quedar determinado por sus componentes real e imaginaria, \(a\) y \(b\), puede quedar fijado mediante su módulo y su argumento, cuyas definiciones se dan a continuación. Contemplemos antes la siguiente figura:

Módulo de un número complejo \(z\) es el módulo del vector determinado por el origen del sistema de referencia y su afijo.

\[\text{Módulo de }z=r=|\overrightarrow{OA}|\]

Argumento de un número complejo \(z\) es el ángulo que el vector correspondiente forma con el semieje real positivo. O sea, observando la figura anterior:

\[\text{Argumento de }z=\alpha\]

De este modo resultan equivalentes estas tres formas de escribir un número complejo \(z\):

  • En forma de par: \(z=(a,\,b)\)
  • En forma binómica: \(z=a+bi\)
  • En forma polar: \(z=r_{\alpha}\)

Conviene darse cuenta de que un mismo número complejo, escrito en forma polar, tiene un número ilimitado de argumentos: todos los ángulos que se diferencian en un número entero de «vueltas». Así, el número complejo en forma polar debería escribirse \(z=r_{\alpha+2k\pi}\) o bien \(z=r_{\alpha+360^\text{o}\pi}\).

Se acostumbra a escribir, sin embargo, \(z=r_{\alpha}\), siendo \(\alpha\) el llamado argumento principal. Así, el argumento principal es un ángulo comprendido entre \(0^{\circ}\) y \(360^{\circ}\).

Relación entre las formas binómica y polar de un número complejo. Forma trigonométrica

Si de la figura del principio en la que se representa el número complejo \(z=a+bi=r_{\alpha}\) nos quedamos con el triángulo rectángulo que se ha formado, \(OCA\), vemos que en él se cumple:

\[r=\sqrt{a^2+b^2}\]

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{b}{a}\Rightarrow \alpha=\text{arctg}\,\frac{b}{a}\]

Las igualdades anteriores permiten pasar números complejos de su forma binómica a la polar. Veamos un par de ejemplos.

  • Ejemplo 1

Escribe en forma polar el número complejo \(z=1+\sqrt{3}i\)

\[\left.\begin{matrix}r=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2\\ \text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=60^{\,\text{o}}\end{matrix}\right\}\Rightarrow z=2_{60^{\,\text{o}}}\]

Obsérvese que como tanto la parte real, \(1\), como la parte imaginaria, \(\sqrt{3}\), son positivas, el argumento del número complejo \(z\) debe ser un ángulo del primer cuadrante. En este caso \(\alpha=\text{arctg}\,\sqrt{3}=60^{\text{o}}\).

  • Ejemplo 2

Pasa a forma polar el número complejo \(z=-\sqrt{3}-i\)

\[\left.\begin{matrix}r=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2\\ \text{tg}\,\alpha=\dfrac{-1}{-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\alpha=210^{\,\text{o}}\end{matrix}\right\}\Rightarrow z=2_{210^{\,\text{o}}}\]

Obsérvese ahora que el argumento no es \(30^\text{o}\), sino \(210^\text{o}\), ya que al ser tanto la parte real como imaginaria negativas el argumento ha de ser un ángulo del tercer cuadrante.

Si lo que se quiere es pasar de la forma polar a la forma binómica, obsérvese que la figura anterior también nos proporciona las fórmulas necesarias:

\[\text{cos}\,\alpha=\frac{a}{r}\Rightarrow a=r\cdot\text{cos}\,\alpha\]

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{b}{r}\Rightarrow b=r\cdot\text{sen}\,\alpha\]

  • Ejemplo 3

Escribe en forma binómica el número complejo \(z=4_{120^\text{o}}\)

\[4_{120^\text{o}}=a+bi\Rightarrow\begin{Bmatrix}a=4\cdot\text{cos}\,{120^\text{o}}=4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right )=-2\\ b=4\cdot\text{sen}\,{120^\text{o}}=4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\end{Bmatrix}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4_{120^\text{o}}=-2+2\sqrt{3}i\]

Si en la forma binómica de un número complejo \(z=a+bi\), sustituimos sus componentes real e imaginaria por las expresiones anteriores, queda:

\[z=a+bi=r\cdot\text{cos}\,\alpha+i\cdot r\cdot\text{sen}\,\alpha\]

O lo que es lo mismo:

\[z=r\cdot\left(\text{cos}\,\alpha+i\cdot \text{sen}\,\alpha\right)\]

La expresión anterior es la llamada forma trigonométrica de un número complejo.

En la siguiente sección trataremos sobre el producto y el cociente de números complejos en forma polar.

← 3. Otras operaciones con números complejos: diferencia, división, potenciación y radicación de complejos

5. Producto y cociente de números complejos en forma polar  →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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