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Un número complejo en forma binómica.

Forma binómica de un número complejo. Representación gráfica

En el artículo anterior, en el que se introducían los números complejos, vimos que el conjunto de los números complejos \(\mathbb{C}\) contiene al de los números reales \(\mathbb{R}\). También podemos considerar, como subconjunto de \(\mathbb{C}\), los números complejos cuya parte real es nula:

\[\{(0,\,b)\ :\ b\in\mathbb{R}\}\]

A este tipo de números complejos se les llama imaginarios puros.

Designemos al complejo imaginario puro \((0,\,1)\) con la letra \(i\), al que llamaremos unidad imaginaria:

\[(0,\,1)=i\]

Con esta forma de escribir y teniendo en cuenta que cada complejo con parte imaginaria nula se identifica con un número real, podemos extraer un par de consecuencias (la primera de ellas ya se avanzaba al final de la entrada anterior):

\[\begin{Bmatrix}(0,\,1)\cdot(0,\,1)=(-1,\,0)=-1\\i\cdot i=i^2\end{Bmatrix}\Rightarrow i^2=-1\Rightarrow i=\sqrt{-1}\]

\[\begin{Bmatrix}(b,\,0)\cdot(0,\,1)=(0,\,b)\\(b,\,0)\cdot i=bi\end{Bmatrix}\Rightarrow(0,\,b)=bi\]

Basándonos en la definición de suma, cualquier número complejo se puede descomponer en suma de otros dos, uno de ellos con parte imaginaria nula (un real) y otro con parte real nula (un imaginario puro):

\[(a,\,b)=(a,\,0)+(0,\,b)=a+bi\]

La expresión anterior es la llamada forma binómica de un número complejo.

Esta escritura es muy cómoda para operar con números complejos. Las operaciones se realizan como si fueran binomios, teniendo cuidado de sustituir las potencias de \(i\) por sus correspondientes valores (esto lo veremos más adelante), en especial que \(i^2=-1\).

Así, en forma binómica las operaciones suma y producto, que antes quedaron establecidas con pares de \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), quedan ahora así de sencillas:

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

\[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=\]

\[=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i\]

Por ejemplo:

\[\left(\sqrt{2}-3i\right)+\left(3\sqrt{2}+5i\right)=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{2}\right)+(-3+5)i=4\sqrt{2}+2i\]

\[\left(2\sqrt{2}-3i\right)\cdot\left(5-\sqrt{2}i\right)=10\sqrt{2}-2\sqrt{2}\sqrt{2}i-15i+3\sqrt{2}i^2=\]

\[=10\sqrt{2}-4i-15i-3\sqrt{2}=7\sqrt{2}-19i\]

Puesto que los números complejos son pares de \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), pueden representarse en unos ejes perpendiculares, de la misma forma que se representan los puntos del plano. De este modo el número complejo \(a+bi=(a,\,b)\), está representado en la figura siguiente por el punto \(A\), que recibe el nombre de afijo del número complejo.

En el «eje horizontal» se toma la parte real del número complejo, y en el perpendicular la parte imaginaria. De esta manera, los complejos de la forma \((a,\,0)=a\) que no tienen parte imaginaria, tienen su afijo en el eje horizontal que por eso se llama eje real. Los complejos imaginarios puros \((0,\,b)=bi\) representan sus puntos afijos en el eje perpendicular al eje real, llamado eje imaginario.

El cuerpo de los números complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades, que se justifican elementalmente, basándose en las leyes formales del cuerpo de los números reales.

Asociativa

\([(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)]\)

Conmutativa

\((a+bi)+(c+di)=(c+di)+(a+bi)\)

Existencia de elemento neutro

\(\forall\,a+bi\in\mathbb{C},\,\exists\, p+qi\in\mathbb{C}\,:\,(a+bi)+(p+qi)=a+bi\). Es fácil demostrar que este elemento neutro es único y es \(p+qi=0+0i=0\).

Existencia de elemento opuesto

\(\forall\,a+bi\in\mathbb{C},\, \exists\, r+si\in\mathbb{C}\,: (a+bi)+(r+si)=0+0i=0\). El elemento opuesto de \(a+bi\) es claramente \(r+si=-a-bi\), y también es único.

Las cuatro propiedades anteriores se resumen diciendo que el conjunto \(\mathbb{C}\) de los números complejos con la operación suma, \((\mathbb{C},\,+)\), es un grupo conmutativo o abeliano.

En cuanto al producto de número complejos, las propiedades son las que se exponen a continuación.

Asociativa

\([(a+bi)\cdot(c+di)]\cdot(e+fi)=(a+bi)\cdot[(c+di)\cdot(e+fi)]\)

Conmutativa

\((a+bi)\cdot(c+di)=(c+di)\cdot(a+bi)\)

Existencia de elemento neutro o elemento unidad

\(\forall\,a+bi\in\mathbb{C},\,\exists\, p+qi\in\mathbb{C}\,:\,(a+bi)\cdot(p+qi)=a+bi\). Este elemento neutro para el producto es único y es \(p+qi=1+0i=1\).

Todo complejo distinto de cero admite un elemento opuesto para el producto o elemento inverso

\(\forall\,a+bi\in\mathbb{C}-\{0\},\, \exists\, \alpha+\beta i\in\mathbb{C}\,: (a+bi)\cdot(\alpha+\beta i)=1+0i=1\). Este elemento inverso es único y no es difícil demostrar que \(\alpha+\beta i=\dfrac{a}{a^2+b^2}+\dfrac{-b}{a^2+b^2}i\).

Distributividad del producto respecto de la suma

\[(a+bi)\cdot[(c+di)+(e+fi)]=(a+bi)\cdot(c+di)+(a+bi)\cdot(e+fi)\]

Las propiedades anteriores se resumen diciendo que \(\mathbb{C}\), con las operaciones suma y producto, tiene estructura de cuerpo conmutativo, el cuerpo de los números complejos.

En la próxima entrada veremos otras operaciones con números complejos y, como consecuencia de la radicación, seremos capaces de resolver ecuaciones de grado superior incluso con coeficientes complejos.

← 1. De los reales a los complejos. Definición y operaciones básicas con números complejos

3. Otras operaciones con números complejos: diferencia, división, potenciación y radicación de complejos →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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