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Ecuación con radicales o ecuación irracional.

Ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales

En este tipo de ecuaciones la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Nos vamos a ceñir al caso en que la incógnita se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para resolver este tipo de ecuaciones se aísla la raíz (o una de las raíces si hay más de una) en uno de los miembros y luego se elevan los dos miembros al cuadrado. Si la ecuación original tiene más de una raíz habrá que volver a repetir este proceso.

En este procedimiento, al elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad, pueden aparecer soluciones que no lo son de la ecuación original y que, por tanto, habría que rechazar. Por ello, en este tipo de ecuaciones es de obligado cumplimiento comprobar todas las soluciones en la ecuación original y rechazar aquéllas que no se adecúen a la misma.

Lo veremos mejor con un par de ejemplos.

En el primer ejemplo resolveremos la ecuación

\[-\sqrt{2x-3}+1=x\]

Aislamos el radical restando uno en los dos miembros. Luego elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuación resultante:

\[-\sqrt{2x-3}=x-1\Rightarrow \left(-\sqrt{2x-3}\right)^2=(x-1)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2x-3=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}=\frac{4}{2}=2\]

La ecuación de segundo grado anterior se podría haber resuelto sin echar mano de la fórmula pues:

\[x^2-4x+4=0\Rightarrow(x-2)^2=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\]

Ahora comprobamos si esta solución se cumple en la ecuación original.

\[-\sqrt{2\cdot2-3}+1=-\sqrt{4-3}+1=-\sqrt{1}+1=-1+1=0\neq2\]

Por tanto \(x=2\) no es solución de la ecuación \(-\sqrt{2x-3}+1=x\). Observa que si la ecuación original hubiera sido \(\sqrt{2x-3}+1=x\), entonces sí que \(x=2\) sería una solución de esta última.

En el segundo ejemplo resolveremos la ecuación de la imagen superior, que tiene dos radicales. Para ello aislamos uno de ellos y elevamos al cuadrado. Luego tendremos que volver a repetir el proceso.

\[\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6\Rightarrow\sqrt{2x-1}=6-\sqrt{x+4}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(\sqrt{2x-1})^2=(6-\sqrt{x+4})^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2x-1=36-12\sqrt{x+4}+x+4\Rightarrow12\sqrt{x+4}=41-x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(12\sqrt{x+4})^2=(41-x)^2\Rightarrow144(x+4)=1681-82x+x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow144x+576=1681-82x+x^2\Rightarrow x^2-226x+1105=0\Rightarrow\]

\[x=\frac{226\pm\sqrt{(-226)^2-4\cdot1\cdot1105}}{2\cdot1}=\frac{51076\pm\sqrt{4420}}{2}=\frac{226\pm\sqrt{46656}}{2}=\]

\[=\frac{226\pm216}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{442}{2}\Rightarrow x_1=221\\x_2=\frac{10}{2}\Rightarrow x_2=5\end{cases}\]

Comprobemos ahora si estos valores verifican o no la ecuación original:

\[\sqrt{2\cdot221-1}+\sqrt{221+4}=\sqrt{441}+\sqrt{225}=21+15=36\neq6\]

\[\sqrt{2\cdot5-1}+\sqrt{5+4}=\sqrt{9}+\sqrt{9}=3+3=6\]

Por tanto la única solución de la ecuación original, \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6\), es \(x=5\).

Te propongo, finalmente, que intentes resolver las siguientes ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales:

a) \(\sqrt{5x+6}=3+2x\)

La solución aquí

La solución aquí

\[(\sqrt{5x+6})^2=(3+2x)^2\Rightarrow5x+6=9+12x+4x^2\Rightarrow4x^2+7x+3=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot4\cdot3}}{2\cdot4}=\frac{-7\pm\sqrt{49-48}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{1}}{8}=\]

\[=\frac{-7\pm1}{8}=\begin{cases}x_1=\frac{-7+1}{8}=\frac{-6}{8}=\frac{-3}{4}\\x_2=\frac{-7-1}{8}=\frac{-8}{8}=-1\end{cases}\]

Ahora debemos comprobar si estas soluciones lo son, o no, de la ecuación original.

Si \(x=\dfrac{-3}{4}\) tenemos, por un lado:

\[\sqrt{5\left(\dfrac{-3}{4}\right)+6}=\sqrt{-\dfrac{15}{4}+6}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}\]

Por otro lado:

\[3+2\cdot\frac{-3}{4}=3-\frac{6}{4}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\]

Esto quiere decir que se cumple la ecuación original y, por tanto, \(x=\dfrac{-3}{4}\) sí que es solución de la ecuación.

Ahora, si \(x=-1\) tenemos:

\[\sqrt{5\cdot(-1)+6}=\sqrt{-5+6}=\sqrt{1}=1\quad\text{;}\quad3+2\cdot(-1)=3-2=1\]

De lo anterior se desprende que \(x=-1\) también es solución de la ecuación original.

b) \(\displaystyle x+\sqrt{7-3x}=1\)

La solución aquí

La solución aquí

\[\sqrt{7-3x}=1-x\Rightarrow(\sqrt{7-3x})^2=(1-x)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow7-3x=1-2x+x^2\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\]

\[=\frac{-1\pm5}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2\\x_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{cases}\]

Veamos si estas son soluciones de la ecuación original.

Si \(x=2\) tenemos que:

\[2+\sqrt{7-3\cdot2}=2+\sqrt{7-6}=2+\sqrt{1}=2+1=3\neq1\]

De lo anterior deducimos que \(x=2\) no es solución de \(x+\sqrt{7-3x}=1\).

Sin embargo, si \(x=-3\):

\[-3+\sqrt{7-3\cdot(-3)}=-3+\sqrt{7+9}=-3+\sqrt{16}=-3+4=1\]

Entonces \(x=-3\) sí que es solución de la ecuación original.

c) \(\sqrt{2-5x}+x\sqrt{3}=0\)

La solución aquí

La solución aquí

\[\sqrt{2-5x}=-x\sqrt{3}\Rightarrow(\sqrt{2-5x})^2=(-x\sqrt{3})^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2-5x=3x^2\Rightarrow3x^2+5x-2=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot3\cdot(-2)}}{2\cdot3}=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{6}=\]

\[=\frac{-5\pm7}{6}=\begin{cases}x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\x_2=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2\end{cases}\]

Probemos si los valores obtenidos son soluciones de la ecuación inicial, \(\sqrt{2-5x}+x\sqrt{3}=0\).

Si \(x=\dfrac{1}{3}\) tenemos, sustituyendo:

\[\sqrt{2-5\cdot\frac{1}{3}}+\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{2-\frac{5}{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\]

\[=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\neq0\]

Por tanto, \(x=\dfrac{1}{3}\) no es solución de la ecuación. Obsérvese el momento en que se ha racionalizado para poder efectuar la suma en la comprobación anterior.

Veamos ahora qué ocurre con \(x=-2\):

\[\sqrt{2-5\cdot(-2)}+(-2)\sqrt{3}=\sqrt{2+10}-2\sqrt{3}=\sqrt{12}-2\sqrt{3}=\]

\[=\sqrt{2^2\cdot3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\]

Cómo se cumple la igualdad, \(x=-2\) sí que es una solución de la ecuación original.

d) \(\sqrt{2x}+\sqrt{5x-6}=4\)

La solución aquí

La solución aquí

\[\sqrt{5x-6}=4-\sqrt{2x}\Rightarrow(\sqrt{5x-6})=(4-\sqrt{2x})^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow5x-6=16-8\sqrt{2x}+2x\Rightarrow8\sqrt{2x}=22-3x(8\sqrt{2x})^2=(22-3x)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow64\cdot(2x)=484-132x+9x^2\Rightarrow9x^2-260x+484=0\Rightarrow\]

\[x=\frac{260\pm\sqrt{(-260)^2-4\cdot9\cdot484}}{2\cdot9}=\frac{260\pm\sqrt{67600-17424}}{18}=\]

\[=\frac{260\pm\sqrt{50176}}{18}=\frac{260\pm224}{18}=\begin{cases}x_1=\frac{260+224}{18}=\frac{484}{18}=\frac{242}{9}\\x_2=\frac{260-224}{18}=\frac{36}{18}=2\end{cases}\]

Comprobemos ahora si las anteriores son soluciones de la ecuación original.

Si \(x=\dfrac{242}{9}\) tenemos:

\[\sqrt{2\cdot\frac{242}{9}}+\sqrt{5\cdot\frac{242}{89}-6}=\sqrt{\frac{484}{9}}+\sqrt{\frac{1210}{9}-6}=\]

\[=\sqrt{\frac{484}{9}}+\sqrt{\frac{1156}{9}}=\frac{22}{3}+\frac{34}{3}=\frac{56}{3}\neq4\]

Por tanto \(x=\dfrac{242}{9}\) no es solución de la ecuación.

Veamos qué ocurre para \(x=2\):

\[\sqrt{2\cdot2}+\sqrt{5\cdot2-6}=\sqrt{4}+\sqrt{4}=2+2=4\]

Entonces \(x=2\) sí que es solución de la ecuación original.

e) \(\sqrt{3x+3}-1=\sqrt{8-2x}\)

La solución aquí

La solución aquí

Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad tenemos:

\[3x+3-2\sqrt{3x+3}+1=8-2x\Rightarrow-2\sqrt{3x+3}=4-5x\]

Volviendo a elevar al cuadrado los dos miembros de esta última igualdad queda:

\[4(3x+3)=16-40x+25x^2\Rightarrow12x+12=16-40x+25x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow25x^2-52x+4=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{52\pm\sqrt{2704-400}}{50}=\frac{52\pm48}{50}=\begin{cases}x=2\\ \frac{4}{50}=\frac{2}{25}\end{cases}\]

Si sustituimos \(x=2\) en la ecuación original tenemos:

\[\sqrt{3\cdot2+3}-1=\sqrt{9}-1=3-1=2\]

\[\sqrt{8-2\cdot2}=\sqrt{4}=2\]

Sustituyendo ahora \(x=\dfrac{2}{25}\) en la ecuación original tenemos:

\[\sqrt{3\cdot\frac{2}{25}+3}-1=\sqrt{\frac{81}{25}}-1=\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}\]

\[\sqrt{8-2\cdot\frac{2}{25}}=\sqrt{\frac{196}{25}}=\frac{14}{5}\]

Por tanto, la única solución de la ecuación original es \(x=2\,\).

f) \(\sqrt{\dfrac{7x+1}{4}}=\dfrac{5x-7}{6}\)

La solución aquí

La solución aquí

La ecuación es equivalente a esta otra \(\dfrac{\sqrt{7x+1}}{2}=\dfrac{5x-7}{6}\). Multiplicando ambos miembros por \(6\) se obtiene \(3\sqrt{7x+1}=5x-7\). Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros y despejamos la incógnita:

\[(3\sqrt{7x+1})^2=(5x-7)^2\Rightarrow9(7x+1)=25x^2-70x+49\Rightarrow\]

\[\Rightarrow63x+9=25x^2-70x+49\Rightarrow25x^2-133x+40=0\Rightarrow \]

\[\Rightarrow x=\frac{133\pm\sqrt{(-133)^2-4\cdot25\cdot40}}{2\cdot25}=\frac{133\pm\sqrt{17689-4000}}{50}=\]

\[=\frac{133\pm\sqrt{13689}}{50}=\frac{133\pm117}{50}=\begin{cases}x_1=\frac{133+117}{50}=\frac{250}{50}=5\\x_2\frac{133-117}{50}=\frac{16}{50}=\frac{8}{25}\end{cases}\]

Si \(x=5\):

\[\sqrt{\frac{7\cdot5+1}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{6}{2}=3\]

\[\frac{5\cdot5-7}{6}=\frac{25-7}{6}=\frac{18}{6}=3\]

Por tanto \(x=5\) sí que es solución de la ecuación.

Sin embargo, si \(x=\dfrac{8}{25}\) tenemos:

\[\sqrt{\frac{7\cdot\frac{8}{25}+1}{4}}=\sqrt{\frac{\frac{56}{25}+1}{4}}=\sqrt{\frac{\frac{81}{25}}{4}}=\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac{9}{10}\]

\[\frac{5\cdot\frac{8}{25}-7}{6}=\frac{\frac{40}{25}-7}{6}=\frac{\frac{-27}{5}}{6}\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}\]

De lo anterior se desprende que \(x=\dfrac{8}{25}\) no es solución de la ecuación original.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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