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La función parte entera.

Parte entera de un número real. Función parte entera

Se llama parte entera de un número real \(x\) al número entero \(\text{E}(x)\) dado por:

\[\text{E}(x)=\text{Max}\{p\in\mathbb{Z}\,:\,p\leqslant x\}\]

La abreviatura \(\text{Max}\) indica que estamos calculando el máximo del conjunto correspondiente. El conjunto de números enteros \(\{p\in\mathbb{Z}\,:\,p\leqslant x\}\) ha de tener máximo pues está formado por todos los enteros que son menores o iguales que \(x\) (es decir, está mayorado por \(x\), con lo que ha de existir un entero que sea el mayor de ese conjunto y menor o igual que \(x\)). Dicho de otro modo, \(\text{E}(x)\) representa el mayor entero que no excede a \(x\).

Por ejemplo:

\[\text{E}(4.5)=4\quad\text{;}\quad\text{E}(7.39)=7\quad\text{;}\quad\text{E}(-9.12)=-10\quad\text{;}\quad\text{E}(7)=7\]

Inmediatamente se deduce de la definición que

\[x-1<\text{E}(x)\leqslant x\,,\,\forall x\in\mathbb{R}\]

de donde se obtiene también inmediatamente que

\[\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+1\,,\,\forall x\in\mathbb{R}\]

y que si \(p\) es un número entero verificando \(p\leqslant x<p+1\) entonces

\[p=\text{E}(x)\]

Además, se cumplen estas otras dos propiedades de la parte entera:

\[\text{E}(x+y)\geqslant\text{E}(x)+\text{E}(y)\,,\,\forall\,x,\,y\in\mathbb{R}\]

\[\text{E}(x+p)=\text{E}(x)+p\,,\,\forall\,x\in\mathbb{R}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{Z}\]

La función parte entera asigna, a cada número real \(x\), su parte entera, es decir, podemos definir

\[\begin{matrix}f:&\mathbb{R}  &\longrightarrow  &\mathbb{R} \\  &x  & \longmapsto  &\text{E}(x) \end{matrix}\]

El dominio de está función es claramente todo el conjunto de los números reales y su imagen es el conjunto de los números enteros. Su representación gráfica es la siguiente.

La función parte entera.

Como puedes ver, la función parte entera es continua en todo su dominio salvo en los números enteros, pues si \(p\) es un número entero entonces:

\[\lim_{x\rightarrow p^-}\text{E}(x)=p-1\quad\text{;}\quad\lim_{x\rightarrow p^+}\text{E}(x)=p\]

Es decir, cuando \(x\) tiende a cualquier número entero \(p\) los límites laterales son distintos, por lo que no existe el límite de la función parte entera cuando \(x\rightarrow p\). Esto quiere decir que en cada número entero hay una discontinudad de salto finito, siendo la longitud del salto igual a \(1\).

En inglés y, por tanto, en muchos programas para realizar representaciones gráficas de funciones, a la función parte entera se le llama “floor“. O sea, si queremos representar la parte entera de una función, tendremos que introducir floor y a continuación, la expresión de la función entre paréntesis. Así, con Desmos, para representar la función parte entera de la función \(x^2\), escribiremos \(\text{floor}(x^2)\) (que es la función \(y=\text{E}(x^2)\)). Su gráfica puedes verla representada aquí.

Actualización: demostración de las propiedades

Actualización: demostración de las propiedades

La primera propiedad

\[x-1<\text{E}(x)\leqslant x\,,\,\forall x\in\mathbb{R}\]

es consecuencia inmediata de la definición ya que si \(x\in\mathbb{Z}\) es \(E(x)=x\), y si \(x\notin\mathbb{Z}\), entonces \(x-1\notin\mathbb{Z}\), con lo que existe un número entero \(p\) entre \(x-1\) y \(x\): \(x-1<p<x\). Por la definición de parte entera es precisamente \(p=E(x)\) (el mayor de los enteros menores que \(x\)).

Si sumamos uno en todos miembros de la doble desigualdad anterior tenemos:

\[x<\text{E}(x)+1\leqslant x+1\,,\,\forall x\in\mathbb{R}\]

con lo que queda automáticamente probaba la segunda propiedad

\[\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+1\,,\,\forall x\in\mathbb{R}\]

La tercera propiedad: si \(p\) es un número entero verificando \(p\leqslant x<p+1\) entonces

\[p=\text{E}(x)\]

es también fácil de probar por definición, pues si no fuese \(p\) la parte entera de \(x\), al ser \(\text{E}(x)\) un número entero tendría que ser menor que \(p\) y esto es imposible porque \(\text{E}(x)\) es el más grande de los enteros menores o iguales que \(x\).

Demostremos ahora la cuarta propiedad:

\[\text{E}(x+y)\geqslant\text{E}(x)+\text{E}(y)\,,\,\forall\,x,\,y\in\mathbb{R}\]

Para ello tomemos dos números reales \(x\) e \(y\), fijos pero arbitrarios. Como \(\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+1\) se debe de dar una de las dos posibilidades siguientes:

\(\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+\frac{1}{2}\) o bien \(\text{E}(x)+\frac{1}{2}\leqslant x<\text{E}(x)+1\)

Lo mismo debe ocurrir para \(y\):

\(\text{E}(y)\leqslant y<\text{E}(y)+\frac{1}{2}\) o bien \(\text{E}(y)+\frac{1}{2}\leqslant y<\text{E}(y)+1\)

A partir de aquí podemos considerar los siguientes casos:

1) Si \(\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+\frac{1}{2}\) y \(\text{E}(y)\leqslant y<\text{E}(y)+\frac{1}{2}\), tenemos, sumando miembro a miembro que:

\[\text{E}(x)+\text{E}(y)\leqslant x+y<\text{E}(x)+\text{E}(y)+1\]

y puesto que \(\text{E}(x)+\text{E}(y)\) es entero, la tercera propiedad nos dice que \(\text{E}(x+y)=\text{E}(x)+\text{E}(y)\).

2) Si \(\text{E}(x)+\frac{1}{2}\leqslant x<\text{E}(x)+1\) y \(\text{E}(y)+\frac{1}{2}\leqslant y<\text{E}(y)+1\), tenemos, sumando miembro a miembro que:

\[\text{E}(x)+\text{E}(y)+1\leqslant x+y<(\text{E}(x)+\text{E}(y)+1)+1\]

y puesto que \(\text{E}(x)+\text{E}(y)+1\) es entero, la tercera propiedad nos dice que \(\text{E}(x+y)=\text{E}(x)+\text{E}(y)+1\).

En cualquiera de los dos casos se obtiene que \(\text{E}(x+y)\geqslant\text{E}(x)+\text{E}(y)\).

Hay otros dos casos intermedios que son realmente el mismo, por simetría:  \(\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+\frac{1}{2}\) y \(\text{E}(y)+\frac{1}{2}\leqslant y<\text{E}(y)+1\), o bien \(\text{E}(x)+\frac{1}{2}\leqslant x<\text{E}(x)+1\) y \(\text{E}(y)\leqslant y<\text{E}(y)+\frac{1}{2}\). Naturalemente, dependiendo de la posición de los reales \(x\) e \(y\) se ha de dar que, o bien \(\text{E}(x+y)=\text{E}(x)+\text{E}(y)\), o bien \(\text{E}(x+y)=\text{E}(x)+\text{E}(y)+1\). En cualquier caso

\[\text{E}(x+y)\geqslant\text{E}(x)+\text{E}(y)\,,\,\forall\,x,\,y\in\mathbb{R}\]

Finalmente, para demostrar la quinta propiedad

\[\text{E}(x+p)=\text{E}(x)+p\,,\,\forall\,x\in\mathbb{R}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{Z}\]

puesto que \(\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+1\), sumando \(p\) en todos los miembros, \(\text{E}(x)+p\leqslant x+p<\text{E}(x)+p+1\). Si llamamos \(m=\text{E}(x)+p\), entonces \(m\leqslant x+p<m+1\) y, por la tercera propiedad \(\text{E}(x+p)=m\), es decir, \(\text{E}(x+p)=\text{E}(x)+p\), que es justo lo que queríamos probar.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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