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Archivo de Etiquetas: primitivas

Cálculo de áreas de recintos planos. Volumen de un cuerpo de revolución

En este artículo damos por hecho que se saben integrar funciones elementales utilizando los conocidos métodos de integración. Utilizaremos además la conocida regla de Barrow, según la cual si \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\), y \(f(x)\) es continua en un intervalo cerrado \([a\ ,\ b]\), entonces: \[\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)\] Cálculo de áreas de recintos planos Si una función \(y=f(x)\) ...

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La regla de Barrow

Dada una función continua en un intervalo \([a,\,b]\), podemos calcular \(\int_a^b f(x)dx\) de una manera mucho más rápida y eficiente a cómo se ha hecho en uno de los ejemplos del artículo anterior, en el que directamente se había aplicado el teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que la función \(G(x)=\int_a^x ...

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El teorema fundamental del cálculo

En el artículo anterior hemos visto que el concepto de integral definida de una función \(f\) en un intervalo \([a,\,b]\), \(\int_a^b f(x)dx\), viene a representar el área comprendida entre la curva (gráfica de \(f\)), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), tal y como se representa en la siguiente figura. Existe una estrecha relación entre la integral ...

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El método de integración por partes

El método de integración por partes se deduce de la regla de derivación de un producto. Dadas dos funciones \(f\) y \(g\) tenemos que: \[\left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\] Si despejamos el último sumando la expresión anterior la podemos escribir así: \[f(x)\cdot g'(x)=\left(f(x)\cdot g(x)\right)’-f'(x)\cdot g(x)\] Integrando las funciones de ambos miembros de la igualdad tendremos: \[\int f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx\] ...

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Una integral racional

Vamos a calcular una primitiva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-a^2}\) donde \(a\) es un número real cualquiera distinto de cero. Es decir, se trata de calcular la integral indefinida \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\). Para ello vamos a descomponer en dos fracciones simples la fracción \(\dfrac{1}{x^2-a^2}\). Como \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\), tenemos: \[\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{E}{x+a}+\frac{F}{x-a}=\frac{E(x-a)+F(x+a)}{(x+a)(x-a)}=\] \[=\frac{Ex-Ea+Fx+Fa}{x^2-a^2}=\frac{(E+F)x-Ea+Fa}{x^2-a^2}\] De aquí se deduce, igualando las fracciones algebraicas primera y última, que \[\begin{cases}E+F=0\\-Ea+Fa=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}E=-F\\2Fa=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}E=-\frac{1}{2a}\\F=\frac{1}{2a}\end{cases}\] Es ...

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Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

En los exámenes de Selectividad (PAEG) de Matemáticas II que la Universidad de Castilla-La Mancha ha propuesto durante estos últimos años, han aparecido, como es natural, muchos ejercicios de cálculo de integrales indefinidas. Para resolverlas, o bien la integral es inmediata, o bien se utilizan alguno de los métodos vistos durante el curso en Matemáticas II: sustitución o cambio de ...

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