Últimas noticias
Home » Archivo de Etiquetas: número e

Archivo de Etiquetas: número e

Resolviendo algunas indeterminaciones. Límites funcionales de interés (I)

Se ha demostrado en un artículo anterior que \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\text{e}\quad(1)\] La demostración la puedes ver aquí. Es más, en realidad se ha demostrado un resultado más general: \[f(x)\rightarrow\pm\infty\Rightarrow\left(1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\rightarrow\text{e}\quad(2)\] Si en la expresión \((2)\) hacemos el cambio de variable \(h(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) entonces, como \(f(x)\rightarrow\pm\infty\), tenemos que \(h(x)\rightarrow0\), con lo que obtenemos el siguiente resultado equivalente: \[h(x)\rightarrow0\Rightarrow\left(1+h(x)\right)^{\frac{1}{h(x)}}\rightarrow\text{e}\quad(3)\] Supongamos ahora que deseamos estudiar el carácter ...

Leer más »

El número \(e\) como límite de una determinada función

Pretendemos demostrar en este artículo que el límite de la función \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\) cuando \(x\rightarrow+\infty\) es el número \(e\). Obsérvese que la función anterior no está definida en el intervalo \([-1,\,0]\) (pues en estos casos la base es negativa y nos limitamos al estudio de funciones del tipo \(f(x)^{g(x)}\) con \(f(x)\) positivo). Además, cuando \(x\rightarrow+\infty\) tenemos \[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=1^{+\infty}\] que es una de ...

Leer más »

Descubriendo el número \(e\)

Antes de leer este artículo, en el que vamos a demostrar la existencia de un número irracional como límite de una determinada sucesión (el número \(e\)), se recomienda hacer una lectura atenta de este otro: “Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión”. Proposición Consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) de números reales definida por: \[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\] a)  \(\{x_n\}\) es convergente ...

Leer más »

El número \(e\)

Si se introduce el número \(e\), uno de los números reales más importantes, a la manera matemáticamente formal, quizás dé un poco de miedo. Así que lo haré de una forma, si no divertida, al menos curiosa. Para ello prácticamente transcribiré parte de un libro cuyo título es “Matemática, ¿estás ahí?“. Su autor es Adrián Paenza. Adrián es doctor en ...

Leer más »

La función exponencial

Las funciones exponenciales se utilizan para describir fenómenos de crecimiento y decrecimiento. Una función exponencial en su versión más simplificada adopta la forma \(f(x)=a^x\) donde la base \(a\) es un número positivo y distinto de la unidad. Dominio y continuidad El dominio de las funciones exponenciales es \(\mathbb{R}\) y son continuas en él. Puntos de corte con los ejes y ...

Leer más »