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Archivo de Etiquetas: matemáticas

Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (I)

Los logaritmos irrumpen en la historia de la humanidad hace casi 400 años y fueron utilizados durante casi 350 años como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Un increíble esfuerzo se ahorró usándolos, pues permitieron trabajar con los pesados cálculos necesarios en los problemas de agrimensura, astronomía, y particularmente en las aplicaciones a la navegación. Merced a estos números, ...

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Hilbert. “Debemos saber, sabremos”

En la contraportada del libro que lleva por título “El reto de Hilbert”, escrito por el historiador de la matemática Jeremy J. Gray, dice así: David Hilbert es un nombre mítico en la historia de la matemática. Y no sólo de la matemática: también de la física cuántica, la ciencia que “transformó el mundo” durante el siglo XX se encuentra ...

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Abel, un héroe trágico

Extraído del libro La vida secreta de los números, de George G. Szpiro Niels Henrik Abel nació en Noruega, el 5 de agosto de 1802. Murió el 6 de abril de 1829, de tuberculosis, cuando aún no tenía 27 años. Abel ha sido uno de los matemáticos más eminentes de la historia. Su trabajo es tan importante que en el año ...

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Un par de problemas de teoría de números

Hace un tiempo encontré un par de problemas de matemáticas en la Web Gaussianos. En concreto se trata de dos problemas de teoría de números. Empecé a pensar en ellos e intenté resolverlos utilizando únicamente matemáticas básicas, sin recurrir a estrategias de las que se dan en la facultad. Es realmente fascinante enfrascarse con un problema de teoría de números y ...

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Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas: \[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\] \[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\] Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita. En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que \[x=\sqrt{1+x}\] Entonces: \[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\] Y resolviendo ...

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Series infinitas de números reales. Series convergentes

Las sucesiones de números reales se introdujeron con la intención de poder considerar posteriormente sus “sumas” \[a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_n+\ldots\] Ya vimos un ejemplo de esta situación en el artículo dedicado a la paradoja de Zenón. Vimos también que se hablaba de “suma infinita” en el sentido de convergencia de una sucesión muy especial: la sucesión de sumas parciales. Vamos a formalizar esta ...

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Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Se proponen a continuación varios ejercicios relacionados con las derivadas y sus aplicaciones (por ejemplo, cálculo de extremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones,…). Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle y del teorema del valor medio. Alguno de ellos (el número 12, por ejemplo) es de especial interés, pues ...

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Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Ya hemos hablado en un par de artículos anteriores del concepto de derivada y de su interpretación tanto desde el punto de vista geométrico como desde el punto de vista físico. Son los siguientes: La derivada y la recta tangente a una curva. El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas. En este artículo desarrollaremos las ...

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Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de la derivada de una función en un punto usando la definición y aprovechando el cálculo de límites. A continuación, se introducen inmediatamente las reglas de derivación: de un número por una función, de la suma y la ...

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Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teorema afirmaba que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos, pero nada nos informa sobre los puntos en los que se alcanzan. Bajo la hipótesis adicional de que la función es inyectiva vamos a ver enseguida que el máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, pero esto ...

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