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Archivo de Etiquetas: matemáticas bachillerato

Volumen de un cuerpo de revolución

Para calcular el área de una figura por medio de una integral se dividía esta figura en rectangulitos pequeñísimos de base \(dx\) y altura \(f(x)\), y la suma de las áreas de estos infinitos rectangulitos era el área de toda la figura: \(A=\int_a^b f(x)\, dx\) (ver el artículo dedicado a la integral definida). De la misma manera, para calcular el ...

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Problema de optimización 2

Problema de optimización para Matemáticas II (2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología). Enunciado. Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r’\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas ...

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Problema de optimización 1

Problema de optimización – Matemáticas II Enunciado. Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x, y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima. Indicación. Tómese cómo origen de coordenadas el centro de la circunferencia.

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El último axioma. El axioma del supremo

Hay conceptos matemáticos de los que apenas se habla en las matemáticas del Bachillerato, o bien se pasa de puntillas sobre ellos. Es cierto que “jugamos” con los números reales dando por hecho muchas propiedades de los mismos y eso está bien, pues de manera intuitiva el alumno no tiene porqué preguntarse algunas cosas realmente obvias. Por poner un par ...

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Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes

En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes y que se utilizan a menudo en las matemáticas de bachillerato a la hora de calcular límites de funciones. Nos referimos a aquello de que el límite de la suma, producto o división es la suma, ...

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Intersección de una cónica y una recta

Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica. La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado. Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema ...

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La parábola

Definición Entre las muchas aplicaciones de la parábola es destacable el hecho de que la trayectoria de cualquier proyectil es parabólica. Ecuación reducida Hallaremos la ecuación de una parábola cuyo foco se encuentre en el eje de abscisas y cuya directriz sea una recta vertical a la misma distancia del origen que el foco. Como la distancia entre foco y ...

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La hipérbola

Definición A esa constante se la suele llamar \(2a\). La hipérbola es también una curva con abundantes aplicaciones. Un ejemplo bastante conocido es la relación entre la presión y el volumen de un gas ideal a temperatura constante, que viene representada por la rama positiva de una hipérbola equilátera. Lo veremos al final de esta entrada. Ecuación reducida Veremos la ...

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La elipse

Definición A esa constante se la suele designar por \(2a\). Las órbitas de los planetas en torno al sol y la del electrón en torno al núcleo del átomo son elípticas. Ecuación reducida Vamos a averiguar la ecuación de una elipse cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas (ver figura). ...

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Eje radical de dos circunferencias

Si tenemos dos circunferencias y buscamos los puntos cuya potencia respecto de las dos circunferencias es la misma, obtendremos una recta: el eje radical. Vamos a comprobar que, en efecto, dicho lugar geométrico es una recta. Si \(P(x_0\,,\,y_0)\) es un punto del lugar geométrico y \[c\equiv x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad;\quad c’\equiv x^2+y^2+D’x+E’y+F’=0\] son las dos circunferencias, se ha de tener: \[\text{Pot}_c(P)=\text{Pot}_c'(P)\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F=x_0^2+y_0^2+D’x_0+E’y_0+F’\] Pasando ...

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