Últimas noticias
Home » Archivo de Etiquetas: límites

Archivo de Etiquetas: límites

Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir: \[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\] Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función ...

Leer más »

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de la derivada de una función en un punto usando la definición y aprovechando el cálculo de límites. A continuación, se introducen inmediatamente las reglas de derivación: de un número por una función, de la suma y la ...

Leer más »

Otros 5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

Ejercicio 1 Sea la siguiente función \[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x+3a}{10}&\text{si}&x<0\\\displaystyle\frac{2x+1}{7x+5}&\text{si}& 0\leq x\leq1\\\displaystyle\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}&\text{si}&x>1\end{cases}\] Hallar el valor de \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\). Estudiar la continuidad de \(f\) en \(x=1\). Ejercicio 2 Calcular los siguientes límites: a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-12x^2+7x+1}{(2x+1)(1-4x)}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x+1}\right)\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)\) ; d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x}}{x-1}\) Ejercicio 3 De la función siguiente calcular el dominio, los puntos de corte con los ...

Leer más »

5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

Ejercicio 1 Estudiar la continuidad de la siguiente función definida por trozos. En el caso de que no sea continua, decir el tipo de discontinuidad existente. Representarla gráficamente. \[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}&\text{si}&x<-2\\-2x-4&\text{si}& -2\leq x<1\\5&\text{si}& x=1\\\displaystyle\frac{-6}{2x-1}&\text{si}&x>1\end{cases}\] Ejercicio 2 Calcular los siguientes límites: a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-3x^3+4x-5}{2x^2+4x-5}\)  ;  b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2-x^3+10x}{-x^2-5x-6}\)  ; c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-\sqrt{x^4-2x^2}}{-x^2+2}\)  ;  d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{1}{x}-1}{\sqrt{x}-1}\) Ejercicio 3 De la función siguiente calcular el dominio, los puntos ...

Leer más »

Sucesiones de Cauchy. El teorema de complitud de \(R\)

Hemos dedicado varios artículos a hablar de sucesiones de números reales y de la noción de convergencia de una sucesión de números reales. De hecho, hemos visto ejemplos en los que se demostraba, haciendo uso de la definición, que una sucesión era convergente hacia cierto límite. También hemos demostrado que toda sucesión monótona y acotada es convergente, pero salvo en ...

Leer más »

Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes

En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes y que se utilizan a menudo en las matemáticas de bachillerato a la hora de calcular límites de funciones. Nos referimos a aquello de que el límite de la suma, producto o división es la suma, ...

Leer más »

Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Tanto en la educación secundaria obligatoria como en el bachillerato se habla poco de las sucesiones de números reales. Si acaso se dedica una unidad didáctica a las progresiones aritméticas y a las progresiones geométricas. Puesto que las sucesiones de números reales y, sobre todo, el concepto de convergencia para dichas sucesiones, son fundamentales para el estudio de las funciones ...

Leer más »

La regla de L’Hôpital y el cálculo de límites

La regla de L’Hôpital permite calcular límites que presentan la indeterminación “cero partido por cero”. Debemos enunciar la regla con rigor pues en ella hay que asegurarse de que las dos funciones que intervienen (la del numerador y la del denominador) son ambas derivables en un entorno del punto donde se quiere hallar el límite. Es decir, si \(f\) y ...

Leer más »

Comparando infinitos. Infinitésimos equivalentes

Comparación de infinitos A veces es muy útil para el cálculo de límites, tanto en un punto como en el infinito, comparar el carácter de distintas funciones elementales conocidas con el objetivo de que el cálculo de límite sea más fácil de hacer. Normalmente, si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\pm\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\pm\infty\), se dice que \(f(x)\) es un infinito de orden superior a \(g(x)\) ...

Leer más »

Resolviendo algunas indeterminaciones. Límites funcionales de interés (I)

Se ha demostrado en un artículo anterior que \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\text{e}\quad(1)\] La demostración la puedes ver aquí. Es más, en realidad se ha demostrado un resultado más general: \[f(x)\rightarrow\pm\infty\Rightarrow\left(1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\rightarrow\text{e}\quad(2)\] Si en la expresión \((2)\) hacemos el cambio de variable \(h(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) entonces, como \(f(x)\rightarrow\pm\infty\), tenemos que \(h(x)\rightarrow0\), con lo que obtenemos el siguiente resultado equivalente: \[h(x)\rightarrow0\Rightarrow\left(1+h(x)\right)^{\frac{1}{h(x)}}\rightarrow\text{e}\quad(3)\] Supongamos ahora que deseamos estudiar el carácter ...

Leer más »