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Archivo de Etiquetas: derivada

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Se proponen a continuación varios ejercicios relacionados con las derivadas y sus aplicaciones (por ejemplo, cálculo de extremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones,…). Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle y del teorema del valor medio. Alguno de ellos (el número 12, por ejemplo) es de especial interés, pues ...

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Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Ya hemos hablado en un par de artículos anteriores del concepto de derivada y de su interpretación tanto desde el punto de vista geométrico como desde el punto de vista físico. Son los siguientes: La derivada y la recta tangente a una curva. El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas. En este artículo desarrollaremos las ...

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Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de la derivada de una función en un punto usando la definición y aprovechando el cálculo de límites. A continuación, se introducen inmediatamente las reglas de derivación: de un número por una función, de la suma y la ...

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Otros 5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

Ejercicio 1 Sea la siguiente función \[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x+3a}{10}&\text{si}&x<0\\\displaystyle\frac{2x+1}{7x+5}&\text{si}& 0\leq x\leq1\\\displaystyle\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}&\text{si}&x>1\end{cases}\] Hallar el valor de \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\). Estudiar la continuidad de \(f\) en \(x=1\). Ejercicio 2 Calcular los siguientes límites: a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-12x^2+7x+1}{(2x+1)(1-4x)}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x+1}\right)\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)\) ; d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x}}{x-1}\) Ejercicio 3 De la función siguiente calcular el dominio, los puntos de corte con los ...

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5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

Ejercicio 1 Estudiar la continuidad de la siguiente función definida por trozos. En el caso de que no sea continua, decir el tipo de discontinuidad existente. Representarla gráficamente. \[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}&\text{si}&x<-2\\-2x-4&\text{si}& -2\leq x<1\\5&\text{si}& x=1\\\displaystyle\frac{-6}{2x-1}&\text{si}&x>1\end{cases}\] Ejercicio 2 Calcular los siguientes límites: a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-3x^3+4x-5}{2x^2+4x-5}\)  ;  b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2-x^3+10x}{-x^2-5x-6}\)  ; c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-\sqrt{x^4-2x^2}}{-x^2+2}\)  ;  d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{1}{x}-1}{\sqrt{x}-1}\) Ejercicio 3 De la función siguiente calcular el dominio, los puntos ...

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El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

Un problema relacionado con la velocidad Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza ...

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La derivada y la recta tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente ...

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