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Archivo de Etiquetas: cálculo integral

Integrales indefinidas y cálculo de áreas

Uno de los problemas típicos que se proponen siempre en Selectividad, en la materia de Matemáticas II, son el cálculo de integrales indefinidas y el uso de las integrales para el cálculo de áreas. Os propongo un par de integrales indefinidas (racionales) y un par de problemas de cálculo de áreas. Como siempre, hay que pensarlos e intentar hacerlos antes ...

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Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas (II)

En la entrada anterior sobre integrales indefinidas se obtuvieron las siguientes: \[\int{\cos^2x\,dx}=\frac{x+\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\] \[\int{\text{sen}^2x\,dx}=\frac{x-\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\] \[\int{x\cos x\,dx}=x\,\text{sen}\,x+\cos x+C\] \[\int{x\,\text{sen}\,x\,dx}=-x\cos x+\text{sen}\,x+C\] \[\int{\text{sen}\,x\cos x\,dx}=\frac{\text{sen}^2x}{2}+C=-\frac{\cos^2x}{2}+C\]  Vamos a calcular un par de ellas más. Para ello utilizaremos algunas de las fórmulas anteriores. Si introduces la expresión x*(sin(x))^2 en WolframAlpha obtienes la integral indefinida: \[\int{x\,\text{sen}^2x\,dx}=\frac{1}{8}\left(2x(x-\text{sen}\,2x)-\cos2x\right)+C\] que es equivalente a la obtenida anterioremente ya que \[\frac{1}{8}\left(2x(x-\text{sen}\,2x)-\cos2x\right)=\frac{1}{8}(2x^2-2x\,\text{sen}\,2x-\cos2x)=\] ...

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Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas (I)

Utilizando distintos métodos de integración se resuelven muchas integrales al nivel de 2º de Bachillerato Científico-Técnico (en la materia de Matemáticas II). Las que siguen contienen senos y cosenos y una técnica común es utilizar el método de integración por partes. Hay otra forma más rápida de hacer esta integral, pero hemos de recordar una fórmula trigonométrica: \[\cos 2x=\cos^2x-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos 2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)\Rightarrow\] ...

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Volumen de un cuerpo de revolución

Para calcular el área de una figura por medio de una integral se dividía esta figura en rectangulitos pequeñísimos de base \(dx\) y altura \(f(x)\), y la suma de las áreas de estos infinitos rectangulitos era el área de toda la figura: \(A=\int_a^b f(x)\, dx\) (ver el artículo dedicado a la integral definida). De la misma manera, para calcular el ...

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Cálculo de áreas de figuras planas

Tanto en el artículo dedicado al teorema fundamental del cálculo como en el de la regla de Barrow hemos visto ya ejemplos de que la integral definida \(\int_a^b f(x)dx\) se interpreta geométricamente como el área encerrada por la gráfica de la función \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\). En este artículo daremos unas pautas, según ...

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La regla de Barrow

Dada una función continua en un intervalo \([a,\,b]\), podemos calcular \(\int_a^b f(x)dx\) de una manera mucho más rápida y eficiente a cómo se ha hecho en uno de los ejemplos del artículo anterior, en el que directamente se había aplicado el teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que la función \(G(x)=\int_a^x ...

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El teorema fundamental del cálculo

En el artículo anterior hemos visto que el concepto de integral definida de una función \(f\) en un intervalo \([a,\,b]\), \(\int_a^b f(x)dx\), viene a representar el área comprendida entre la curva (gráfica de \(f\)), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), tal y como se representa en la siguiente figura. Existe una estrecha relación entre la integral ...

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Integral definida

Consideremos una función \(y=f(x)\) continua en un intervalo \([a,\,b]\). Hagamos una partición de este intervalo por los puntos \(t_0,\,t_1,\,t_2,\,\ldots,\,t_{n-1},\,t_n\). Supongamos también que esta partición cumple que \(a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b\). Consideremos los rectángulos cuyas bases son los intervalos parciales \([t_i,\,t_{i+1}]\) y cuyas alturas son los mínimos \(m_i\) de la función en cada uno de dichos intervalos. La suma de las áreas de esos ...

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El método de integración por partes

El método de integración por partes se deduce de la regla de derivación de un producto. Dadas dos funciones \(f\) y \(g\) tenemos que: \[\left(f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\] Si despejamos el último sumando la expresión anterior la podemos escribir así: \[f(x)\cdot g'(x)=\left(f(x)\cdot g(x)\right)’-f'(x)\cdot g(x)\] Integrando las funciones de ambos miembros de la igualdad tendremos: \[\int f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx\] ...

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