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La regla de Cramer

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La regla de Cramer

Consideremos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas como el siguiente:

\[\left\{\begin{array}{c}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\
    .................................... \\
    a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n
  \end{array}
\right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes:

\[A=\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
    \end{array}
  \right)\quad;\quad
  A|b=\left(
    \begin{array}{cccc|c}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
    \end{array}
  \right)
\]

Según el teorema de Rouché, si el rango de la matriz de los coeficientes es igual que el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible. Si además, dicho rango coincide con el número de incógnitas, es decir, si \(r(A)=r(A|b)=n\), entonces el sistema es compatible determinado, o sea, que tiene solución única. La condición necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir:

\[|A|\neq0\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n\]

En este caso, la solución del sistema viene dada por según una serie de identidades que se conocen con el nombre de regla de Cramer:

\[x_1=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
              b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              b_n & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[x_2=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\
              a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]

\[x_n=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\
              a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_n
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

Obsérvese que, en la práctica, para obtener la incógnita \(x_i\) se dividen los valores de dos determinantes. El del numerador es el mismo que el de la matriz de los coeficientes, con la salvedad de que la columna \(i\) se sustituye por la columna de los términos independientes. El denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes en todos los casos.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla de Cramer.

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases}
  8x-6y+2z=-1\\
  3x+y-z=10\\
  -x+3y-2z=5
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[|A|=\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & 2 \\
              3 & 1 & -1\\
              -1 & 3 & -2
            \end{array}
\right|=(-16-6+18)-(-2+36-24)=-4-10=-14\]

Como el determinante anterior es distinto de cero el sistema es compatible determinando (rango de la matriz de los coeficientes, igual al rango de la matriz ampliada, igual a tres, que es el número de incógnitas). Aplicando la regla de Cramer obtenemos las soluciones:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              -1 & -6 & 2 \\
              10 & 1 & -1\\
              5 & 3 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(2+30+60)-(10+120+3)}{-14}=\frac{92-133}{-14}=\frac{-41}{-14}=\frac{41}{14}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -1 & 2 \\
              3 & 10 & -1\\
              -1 & 5 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(-160-1+30)-(-20+6-40)}{-14}=\frac{-131+54}{-14}=\frac{-77}{-14}=\frac{77}{14}=\frac{11}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & -1 \\
              3 & 1 & 10\\
              -1 & 3 & 5
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(40+60-9)-(1-90+240)}{-14}=\frac{91-151}{-14}=\frac{-60}{-14}=\frac{30}{7}\]

Ejemplo 2

La regla de Cramer también es útil cuando el sistema es compatible indeterminado. Consideremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y+z+t=4\\
  x-y+z=1\\
  y-z+t=1
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{cccc}
            1 & 1 & 1 & 1 \\
            1 & -1 & 1 & 0 \\
            0 & 1 & -1 & 1
          \end{array}
\right)\]

cuyo rango es 3 porque contienen un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 1 \\
          1 & -1 & 1 \\
          0 & 1 & -1
        \end{array}
\right|=(1+1)-(-1+1)=2-0=2\]

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 3 (el menor anterior nos serviría para demostrarlo) y, como el número de incógnitas es 4, el sistema es compatible determinado. El grado de libertad del sistema es igual al número de incógnitas menos el rango, en este caso, es igual a 1. Si llamamos \(t=\lambda\) el sistema lo podemos reescribir así:

\[\begin{cases}
  x+y+z=4-\lambda\\
  x-y+z=1\\
  y-z=1-\lambda
\end{cases}\]

El determinante hallado anteriormente es el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema, es decir, \(|A|=2\). Aplicando la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              4-\lambda & 1 & 1 \\
              1 & -1 & 1\\
              1-\lambda & 1 & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(4-\lambda+1-\lambda+1)-(-1+\lambda-1+4-\lambda)}{2}=\frac{4-2\lambda}{2}=2-\lambda\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 4-\lambda & 1 \\
              1 & 1 & 1\\
              0 & 1-\lambda & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+1+\lambda)-(-4+\lambda+1-\lambda)}{2}=\frac{3-\lambda}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 1 & 4-\lambda \\
              1 & -1 & 1\\
              0 & 1 & 1-\lambda
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+\lambda+4-\lambda)-(1-\lambda+1)}{2}=\frac{1+\lambda}{2}\]

Por tanto, las soluciones son:

\[(x,y,z,t)=\left(2-\lambda,\frac{3-\lambda}{2},\frac{1+\lambda}{2},\lambda\right)\]

Soluciones que también podemos escribir del siguiente modo:

\[(x,y,z,t)=\left(2,\frac{3}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda\left(-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)\]

Desde el punto de vista geométrico, la igualdad anterior viene ser la ecuación vectorial de una recta en un espacio de dimensión cuatro. O sea, que el sistema de ecuaciones del cual hemos extraído las soluciones no es otra cosa que una recta en el hiperespacio.

Ejemplo 3

Usando la regla de Cramer también podemos hallar el punto de corte de dos rectas. Por ejemplo, sean las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x+2y-z=1\\
-x+y-3z=2
\end{cases}\quad;\quad
s\equiv\begin{cases}
x+y=0\\
3x+2y+z=a
\end{cases}\]

Vamos a hallar el valor del parámetro \(a\) para el que ambas rectas son secantes y, para ese valor de \(a\), hallaremos el punto de corte. El sistema de ecuaciones formado por ambas rectas es

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
  3x+2y+z=a
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
                   1 & 2 & -1 \\
                   -1 & 1 & -3 \\
                   1 & 1 & 0 \\
                   3 & 2 & 1
                 \end{array}\right)\]

cuyo rango es 3 ya que contiene un menor de orden tres distinto de cero, por ejemplo

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 2 & -1 \\
          -1 & 1 & -3 \\
          1 & 1 & 0
        \end{array}
\right|=(-6+1)-(-1-3)=-5+4=-1\neq0\]

La matriz ampliada \(A|b\) es una matriz cuadrada de orden 4. Hallemos su determinante:

\[\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 2 & -1 & 1 \\
          -1 & 1 & -3 & 2 \\
          1 & 1 & 0 & 0 \\
          3 & 2 & 1 & a
        \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 1 & -1 & 1 \\
          -1 & 2 & -3 & 2 \\
          1 & 0 & 0 & 0 \\
          3 & -1 & 1 & a
        \end{array}\right|=\]

\[=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        2 & -3 & 2 \\
        -1 & 1 & a
      \end{array}
\right|=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        0 & -1 & 0 \\
        0 & 0 & a+1
      \end{array}
\right|=-a-1\]

De lo anterior se deduce que si \(a\neq-1\), el determinante anterior es distinto de cero, o lo que es lo mismo, el rango de la matriz ampliada es \(4\). Y como el rango de la matriz de los coeficientes es \(3\), el sistema será incompatible. En este caso las rectas no serán secantes (serán paralelas o se cruzarán).

Sin embargo, si \(a=-1\), el determinante anterior es igual a cero, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz de los coeficientes es tres, igual que el número de incógnitas. Se trata pues de un sistema compatible determinado (solución única). Es decir, ambas rectas se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema. Como el rango es tres, podemos eliminar una de las ecuaciones y usar la regla de Cramer. Es decir, resolveremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
\end{cases}\]

Ya hemos visto que el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a \(-1\). Por tanto, por la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & -1 \\
                  2 & 1 & -3 \\
                  0 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-2)-(-3)}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 2 & -3 \\
                  1 & 0 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-3)-(-2)}{-1}=\frac{-1}{-1}=1\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & 1 \\
                  -1 & 1 & 2 \\
                  1 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(4-1)-(1+2)}{-1}=\frac{0}{-1}=0\]

Resumiendo, si \(a=1\), las rectas son secantes y el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\) es el punto \((-1,1,0)\).


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Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. Recordemos pues, en primer lugar, el enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\
\,\,\,.................................\\
{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}
\end{array} \right.\]

un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas y sean también

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}\,\,\,\,{b_1}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}\,\,\,\,{b_2}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}\,\,\,\,{b_m}}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente, asociadas al sistema. Llamemos \(r(A)\) al rango de la matriz \(A\) y \(r(A|b)\) al rango de la matriz ampliada. Entonces:

1. Si \(r(A)\neq r(A|b)\) el sistema es incompatible (no tiene solución).

2. Si \(r(A)=r(A|b)\) el sistema es compatible. Además:

2.1. Si \(r(A)=r(A|b)=n\), el sistema es compatible determinado (solución única).

2.2. Si \(r(A)=r(A|b)<n\), el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). En este caso, llamando \(r\) al rango, se pueden expresar \(r\) incógnitas en función de las \(n-r\) restantes. Al número \(n-r\) se le llama grado de libertad del sistema.

Ejemplo 1

En el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z - t = 2\\
2x - y - z + t = 3\\
x + y + 3z - 2t = 4
\end{array} \right.\]

tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1\\
1&1&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}&2\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1&3\\
1&1&3&{ - 2}&4
\end{array}} \right)\]

Ya vimos en otro artículo cómo calcular el rango de una matriz usando los determinantes. En este caso, tanto el rango de la matriz de los coeficientes, como el rango de la matriz ampliada, es al menos tres. Pero es que hay por lo menos un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5\\
2&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&3
\end{array}} \right| = \left( { - 9 - 2 + 10} \right) - \left( { - 5 + 12 - 3} \right) =  - 1 - 4 =  - 5 \ne 0\]

Por tanto \(r = r(A) = r(A|b) = 3 < 4 = n\), con lo que, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Como su grado de libertad es \(n - r = 4 - 3 = 1\), entonces tres de las incógnitas se expresarán en función de una restante. Usando el menor distinto de cero que hemos escogido anteriormente (formado por las tres primeras columnas), tomaremos como incógnita libre la última, que pasaremos al segundo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir, si llamamos \(t=\lambda\), el sistema se puede escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z = 2 + \lambda \\
2x - y - z = 3 - \lambda \\
x + y + 3z = 4 + 2\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + \lambda }&2&5\\
{3 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\
{4 + 2\lambda }&1&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{5 + 5\lambda }}{{ - 5}} =  - 1 - \lambda \,\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{2 + \lambda }&5\\
2&{3 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{4 + 2\lambda }&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{50 + 15\lambda }}{{ - 5}} =  - 10 - 3\lambda\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&{2 + \lambda }\\
2&{ - 1}&{3 - \lambda }\\
1&1&{4 + 2\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{ - 25 - 10\lambda }}{{ - 5}} = 5 + 2\lambda\]

Ejemplo 2

Dado el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y - z = 4\\
x - y + 2z = 1\\
x + 2y + z = 0\\
x + 2y + 5z =  - 3
\end{array} \right.\]

tenemos que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son las siguientes:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1\\
1&2&5
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right)\]

En este caso \(r(A)=3\), ya que hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 2 - 2} \right) - \left( {1 + 1 + 8} \right) =  - 2 - 10 =  - 12 \ne 0\]

Y también \(r(A|b)=3\), pues el único menor de orden cuatro (el menor principal de orden cuatro) es igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1} - 2{f_2}}\\
{{f_2} - {f_3}}\\
{}\\
{{f_4} - {f_3}}
\end{array} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&3&{ - 5}&2\\
0&{ - 3}&1&1\\
1&2&1&0\\
0&0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 5}&2\\
{ - 3}&1&1\\
0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = 0\]

Obsérvese las transformaciones que se han hecho para hallar el determinante. Primero hemos hecho ceros teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (se pueden hacer de muchas otras formas distintas) y luego hemos desarrollado por los elementos de la primera columna. El último determinante (el de orden tres) es igual a cero porque la última fila es igual a la opuesta de la primera menos la segunda (aunque también se puede calcular aplicando la regla de Sarrus).

Por tanto \(r(A) = r(A|b) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Para resolverlo podemos eliminar la última ecuación pues, por ser \(r(A|b) = 3\), dependerá linealmente de las demás. Las soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
0&2&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( { - 4 - 2} \right) - \left( {1 + 16} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{ - 6 - 17}}{{ - 12}} = \frac{{23}}{{12}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4&{ - 1}\\
1&1&2\\
1&0&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {2 + 8} \right) - \left( { - 1 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{10 - 3}}{{ - 12}} =  - \frac{7}{{12}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&4\\
1&{ - 1}&1\\
1&2&0
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {1 + 8} \right) - \left( { - 4 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{9 - 0}}{{ - 12}} =  - \frac{9}{{12}} =  - \frac{3}{4}\]

Sistemas que dependen de un parámetro

Es corriente que, dado un sistema de ecuaciones lineales, alguno o algunos de los coeficientes o de los términos independientes sean desconocidos y dependan de uno o más parámetros. Discutir un sistema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros es identificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distinguiendo los casos en que es determinado o indeterminado.

Es posible discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Aquí veremos cómo hacerlo con la ayuda de los determinantes. Como mejor se entiende es viendo algunos ejemplos.

Ejemplo 3

Discutiremos el sistema de ecuaciones

\[\left\{ \begin{array}{l}
ax + y + z = 2a\\
x - y + z = a - 1\\
x + (a - 1)y + az = a + 3
\end{array} \right.\]

según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1&{2a}\\
1&{ - 1}&1&{a - 1}\\
1&{a - 1}&a&{a + 3}
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 1 - ( - 1) = 2\]

Además

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right| = ( - {a^2} + 1 + a - 1) - ( - 1 + a + {a^2} - a) =\]

\[= ( - {a^2} + a) - ({a^2} - 1) =  - 2{a^2} + a + 1\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - 2{a^2} + a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - \frac{1}{2}\\
a = 1
\end{array} \right.\,\).

Veamos ahora las distintas opciones que se pueden presentar.

Si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), \(\left| A \right| \ne 0\) y entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a =  - \frac{1}{2}\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&1&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{ - 1/2}&{5/2}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{5/2}
\end{array}} \right| = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}} \right) - \left( {1 + \frac{5}{2} - \frac{9}{8}} \right) = \frac{5}{4} - \frac{{19}}{8} =  - \frac{9}{8} \ne 0\]

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible.

Finalmente, si \(a=1\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&{ - 1}&1&0\\
1&0&1&4
\end{array}} \right)\]

cuyo rango también es tres pues vuelve a haber un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&{ - 1}&0\\
1&0&4
\end{array}} \right| = ( - 4 + 0 + 0) - ( - 2 + 4 + 0) =  - 4 - 2 =  - 6 \ne 0\]

Por tanto, otra vez \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), y el sistema vuelve a ser incompatible.

En el primer caso, cuando \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), podemos hallar la solución única aplicando la regla de Cramer. Recordemos que \(\left| A \right| =  - 2{a^2} + a + 1\). Entonces:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a}&1&1\\
{a - 1}&{ - 1}&1\\
{a + 3}&{a - 1}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - 2{a^2} + a + 3 + {a^2} - 2a + 1} \right) - \left( { - a - 3 + {a^2} - a + 2{a^2} - 2a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( { - {a^2} - a + 4} \right) - \left( {3{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{2a}&1\\
1&{a - 1}&1\\
1&{a + 3}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 2a + a + 3} \right) - \left( {a - 1 + 2{a^2} + {a^2} + 3a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 3a + 3} \right) - \left( {3{a^2} + 4a - 1} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&{2a}\\
1&{ - 1}&{a - 1}\\
1&{a - 1}&{a + 3}
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - {a^2} - 3a + a - 1 + 2{a^2} - 2a} \right) - \left( { - 2a + a + 3 + {a^3} - 2{a^2} + a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} =\]

\[= \frac{{\left( {{a^2} - 4a - 1} \right) - \left( {{a^3} - 2{a^2} + 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

Como se puede apreciar, para cada valor del parámetro   hay un sistema distinto y su correspondiente solución única. Por ejemplo, si \(a=-1\), tendríamos que \(x=0\), \(y=0\), \(z=-2\) (¡compruébese!).

Hay una interpretación geométrica de todo esto. Sabemos que una ecuación lineal del primer grado con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Pues bien, si \(a=-\frac{1}{2}\) o \(a=1\), los tres planos no tienen ningún punto en común.

Sin embargo, si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), los tres planos tienen un punto en común, el punto de coordenadas

\[\left( {\frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}} \right)\]

Ejemplo 4

Dados los planos \(\alpha  \equiv x + y + z = 1\), \(\beta  \equiv ax + y = 1\), \(\gamma  \equiv x + (a + 1)z = 0\), determinar la posición relativa de los mismos según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

Planteemos el sistema formado por los tres planos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
ax + y = 1\\
x + (a + 1)z = 0
\end{array} \right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
a&1&0&1\\
1&0&{a + 1}&0
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right| = 0 - 1 =  - 1 \ne 0\]

Además, el determinante de \(A\) es

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right| = (a + 1 + 0 + 0) - (1 + a(a + 1) + 0) = (a + 1) - (1 + {a^2} + a) =  - {a^2}\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Los distintos casos que se pueden dar los analizamos a continuación.

Si \(a\ne0\), entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Esta solución es:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
0&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = \frac{{\left( {a + 1} \right) - \left( {1 + {a^2} + a} \right)}}{{ - {a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ - {a^2}}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&1\\
1&0&0
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

Si \(a=0\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&0&1\\
1&0&1&0
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es dos pues todos los menores de orden tres son iguales a cero. También es fácil decidir que el rango es dos argumentando que la tercera fila es la primera menos la segunda.

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 2 < 3 = n\), con lo que el sistema es compatible indeterminado, es decir,  hay infinitas soluciones. Vamos a hallarlas. El grado de libertad del sistema es \(3-2=1\), con lo que una incógnita va libre y las otras dos dependen de ella. Pongamos pues \(z=\lambda\) y eliminemos la última ecuación. El sistema es el siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\]

Rápidamente vemos que las soluciones del sistema anterior son \(x=-\lambda\), \(y=1\), \(z=\lambda\).

La interpretación geométrica de los dos casos anteriores es la siguiente.

Si \(a\ne0\) los tres planos se cortan en un punto de coordenadas

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right)\]

Si \(a=0\) los tres planos se cortan según una recta de ecuación vectorial

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \lambda ,1,\lambda } \right) = \left( {0,1,0} \right) + \lambda \left( { - 1,0,1} \right)\]

Ejemplo 5

Discutamos por último el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = a\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = a
\end{array} \right.\]

para los diferentes valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}\\
2&0&{ - 3}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right)\]

El rango de la matriz \(A\) es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right| =  - 2 - 1 =  - 3\]

Hallemos el determinante de la matriz \(A|b\), que es cuadrada de orden cuatro:

\[\left| {A|b} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
1&0&1&{a + 5}\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
1&{ - 2}&3\\
2&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \]

\[ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
0&{ - 3}&{ - a - 2}\\
0&{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&{ - a - 2}\\
{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = (3a + 30) - (5a + 10) =  - 2a + 20\]

Se deja al lector que analice las propiedades de los determinantes que se han utilizado para calcular el determinante anterior. Por tanto \(\left| B \right| = 0 \Leftrightarrow a = 10\), con lo que podemos hacer la siguiente discusión:

Si \(a \ne 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = 4 \ne r\left( A \right) = 3\) y el sistema es incompatible.

Si \(a = 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = r\left( A \right) = 3\) y el sistema es compatible determinado (solución única). En este caso el sistema adopta la forma siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = 10\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = 10
\end{array} \right.\]

Podemos eliminar la última ecuación y aplicar la regla de Cramer para obtener la solución del sistema.

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 1}&0\\
{10}&1&1\\
3&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 10 - 3 + 0) - (0 + 20 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 33}}{{ - 3}} = 11\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&5&0\\
0&{10}&1\\
1&3&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 20 + 5 + 0) - (0 + 0 + 3)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 18}}{{ - 3}} = 6\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&5\\
0&1&{10}\\
1&0&3
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{(3 - 10 + 0) - (5 + 0 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 12}}{{ - 3}} = 4\]


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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\qquad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema (1). Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 1 < 3 = n\]

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

\[\pi  \equiv \pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

Caso 2

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2\]

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

\[\pi\, |\,|\,\pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

Caso 3

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2 < 3 = n\]

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi  \cap \pi ' = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\]

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi  \equiv 2x - 3y + z - 1 = 0\) y \(\pi ' \equiv  - x + y - 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z - 1 = 0\\
 - x + y - 4z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
 - x + y - 4z =  - 1
\end{array} \right.\]

Es muy fácil darse cuenta de que

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right) = 2\]

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 2 - 3 =  - 1 \ne 0\]

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 - \lambda \\
 - x + y =  - 1 + 4\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1 + 4\lambda }&1
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{1 - \lambda  - \left( {3 - 12\lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 11\lambda }}{{ - 1}} = 2 - 11\lambda\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{1 - \lambda }\\
{ - 1}&{ - 1 + 4\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 8\lambda  - \left( { - 1 + \lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 7\lambda }}{{ - 1}} = 1 - 7\lambda\]

Estas soluciones las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 - 11\lambda ,1 - 7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( { - 11,7,1} \right)\]

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( { - 11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

sistemas03


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Rango de una matriz usando determinantes

En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz \(A\), \(r(A)\), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz: una vez aplicado el método, el rango de una matriz coincide con el número de filas no nulas.

Pero hay otro método, en muchos casos más eficiente, para calcular rangos de matrices. Para ello haremos uso de los determinantes.

Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden \(m\times n\): \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}\).

  • Se llama submatriz de \(A\) a cualquier matriz que se obtenga a partir de \(A\) suprimiendo filas y columnas.
  • Si una submatriz de \(A\) es cuadrada de orden \(k\), a su determinante se le llama menor de orden \(k\) de la matriz \(A\).
  • Al menor formado por las \(k\) primeras filas y las \(k\) primeras columnas de \(A\) se le llama menor principal de orden \(k\) y lo denotaremos \(\delta_k\). Si la matriz \(A\) es cuadrada, es decir, si \(m=n\), entonces \(\delta_n=|A|\).

Veamos un ejemplo para entender las definiciones anteriores.

Supongamos que tenemos la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3&4&{ - 6}\\
2&0&9&{ - 5}\\
1&1&{ - 1}&0\\
2&{ - 4}&4&{ - 7}
\end{array}} \right)\]

Entonces, por un lado, el menor de orden dos formado por las filas tercera y cuarta y por las columnas segunda y tercera; y por otro, el menor principal de orden tres, son los siguientes:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
{ - 4}&4
\end{array}} \right|\quad;\quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3&4\\
2&0&9\\
1&1&{ - 1}
\end{array}} \right|\]

Ahora ya estamos en condiciones de definir el rango de una matriz.

Definición

Se define el rango de una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}\) como el mayor orden de los menores no nulos de \(A\). Al rango de la matriz \(A\) lo denotaremos por \(r(A)\).

Por ejemplo, dada la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}\\
2&1&2&2
\end{array}} \right)\]

vemos claramente que hay más de un menor de orden dos distinto de cero. Por ejemplo, el menor principal de orden dos es

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4\\
1&3
\end{array}} \right| = 9 - 4 = 5 \ne 0\]

Esto quiere decir que el rango de la matriz \(A\) es, como mínimo, \(2\). Si hubiera algún menor de orden tres distinto de cero el rango sería igual a \(3\). Pero resulta que

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4\\
1&3&2\\
2&1&2
\end{array}} \right| = 0\quad;\quad\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&0\\
1&3&{ - 2}\\
2&1&2
\end{array}} \right| = 0\]

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&0\\
1&2&{ - 2}\\
2&2&2
\end{array}} \right| = 0\quad;\quad\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&4&0\\
3&2&{ - 2}\\
1&2&2
\end{array}} \right| = 0\]

Es decir, todos los menores de orden tres son iguales a cero, con lo que el rango de la matriz no es \(3\). Por tanto \(r(A)=2\). Obsérvese que, en este caso, también habría sido fácil decidir que el rango es dos porque la última fila de la matriz \(A\) es la diferencia de las dos primeras, es decir, las tres filas no son linealmente independientes, sino que únicamente lo son dos de ellas y por eso el rango de la matriz \(A\) es \(2\).

El rango de una matriz tiene algunas propiedades de interés que pasamos a enumerar a continuación.

  • El rango de una matriz no varía si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas.
  • Si una matriz \(A\) tiene una fila o columna de ceros, el rango de \(A\) coincide con el de la matriz que se obtiene al suprimir esta fila o esta columna.
  • El rango de una matriz no cambia si se suprime una fila o columna que sea combinación lineal de las restantes.

Utilizando la propiedad número 3 y la observación realizada anteriormente podríamos escribir

\[\text{rango}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}\\
2&1&2&2
\end{array}} \right) = \text{rango}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}
\end{array}} \right)=2\]

Esta forma de calcular rangos utilizando los determinantes es más eficiente que el método de Gauss cuando se trata de calcular el rango de una matriz que depende de uno o más parámetros.

Así, por ejemplo, discutamos para los distintos valores de \(m\in\mathbb{R}\), el rango de la  matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
{m + 1}&3&{m - 1}\\
{m - 1}&{m + 3}&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

En primer lugar, observemos que, al ser la matriz cuadrada de orden \(3\), el rango será tres cuando \(|A|\ne0\). Calculemos pues el determinante de la matriz \(A\) y decidamos para qué valores de \(m\) el rango es \(3\) y para cuáles no.

\[|A|=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
{m + 1}&3&{m - 1}\\
{m - 1}&{m + 3}&{ - 1}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
m&0&m\\
{m - 2}&m&0
\end{array}} \right| = \left( {3{m^2} - 6m - m^2} \right) - {m^2} = m^2-6m\]

En el primer paso, aplicando las propiedades de los determinantes, hemos restado a la segunda fila la primera y a la tercera también la primera, con lo que el determinante no varía. Así, el determinante queda más sencillo para aplicar la regla de Sarrus. Ahora es fácil hacer el siguiente razonamiento:

  • \(|A|=0\Leftrightarrow m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0\ \text{o}\ m=6\).
  • \(|A|\ne0\Leftrightarrow m^2-6m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\ \text{y}\ m\ne6\).

Por tanto está claro que si \(m\ne0\) y \(m\ne6\), entonces \(r(A)=3\); y que si \(m=0\) o \(m=6\), entonces \(r(A)<3\). Analicemos lo que ocurre en estos dos últimos casos.

\[m = 0 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
1&3&{ - 1}\\
{ - 1}&3&{ - 1}
\end{array}} \right)\ ;\ m = 6 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
7&3&5\\
5&9&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

Con lo que, si \(m=0\) o \(m=6\), se tiene que \(r(A)=2\), pues en ambos casos se pueden encontrar menores de orden dos distintos de cero.

Finalmente resolveremos un sistema de ecuaciones que dependa de un parámetro. Recordemos que, según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas tiene solución si \(r(A)=r(A|b)\), donde \(A\) es la matriz de los coeficientes y \(A|b\) es la matriz ampliada, la cual resulta de añadir a la matriz \(A\) la columna de los términos independientes del sistema. Si \(r(A)\ne r(A|b)\), el sistema no tiene solución (incompatible). Además, si \(r(A)=r(A|b)=n\) el sistema tiene solución única (compatible determinado); y si \(r(A)=r(A|b)<n\) el sistema tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado).

Supongamos que deseamos saber el carácter del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
mx + z = 1\\
my + z = m\\
 - mx - my + \left( {m + 1} \right)z =  - m - 1
\end{array} \right.\]

en  función del parámetro \(m\in\mathbb{R}\).

Observemos en primer lugar que la forma matricial del sistema es

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
m\\
{ - m - 1}
\end{array}} \right)\]

Además

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1&1\\
0&m&1&m\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}&{ - m - 1}
\end{array}} \right)\]

Por un lado tenemos que

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right| = {m^3} + {m^2} - \left( { - {m^2} - {m^2}} \right) = {m^3} + 3{m^2} = {m^2}\left( {m + 3} \right)\]

con lo que si \(m=0\) o \(m=-3\), entonces \(|A|=0\) y en estos dos casos el rango de la matriz \(A\) no puede ser \(3\). Sin embargo, si \(m\ne 0\) y \(m\ne-3\), tenemos que \(|A|\ne0\), con lo que en este caso \(r(A)=r(A|b)=3\) y el sistema será compatible determinado (solución única).

Si \(m=0\) tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1\\
0&0&1\\
0&0&1
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1&1\\
0&0&1&0\\
0&0&1&-1
\end{array}} \right)\]

con lo que claramente \(r(A)=1\) (las tres filas de \(A\) son iguales) y \(r(A|b)=2\), pues hay al menos un menor de orden dos distinto de cero. Por tanto \(r(A)\ne r(A|b)\) y el sistema será incompatible (no tiene solución).

En el caso \(m=-3\) se tiene que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-3&0&1\\
0&-3&1\\
3&3&-2
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-3&0&1&1\\
0&-3&1&-3\\
3&3&-2&2
\end{array}} \right)\]

Ahora también es claro que hay menores de orden dos de la matriz \(A\) distintos de cero, con lo que \(r(A)=r(A|b)=2\) y el sistema será compatible indeterminado (infinitas soluciones). En estos casos al número \(n-r(A)\) se le llama grado de libertad del sistema e indica el número de incógnitas que van libres. El resto de incógnitas se podrán poner en función de las que van libres. En este caso, como \(n-r(A)=3-2=1\), tenemos que una incógnita va libre (por ejemplo \(z=\lambda\)) y las otras dos, \(x\) e \(y\) se pueden expresar en función de \(z=\lambda\). Además, podemos eliminar una de las ecuaciones del sistema pues, al ser \(r(A)=r(A|b)=2\), cualquiera de ellas depende linealmente de las otras dos. Por tanto:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 3x + z = 1\\
 - 3y + z =  - 3\\
3x + 3y - 2z = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3x = 1 - \lambda \\
 - 3y =  - 3 - \lambda
\end{array} \right.\]

de donde se deduce claramente que \(x=\dfrac{\lambda+1}{3}\), \(y=\dfrac{\lambda+3}{3}\), \(z=\lambda\).

También se pueden obtener, en función del parámetro \(m\), la solución cuando el sistema es compatible determinado. Recordemos que \(|A|=m^2(m+3)\). Aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&m&1\\
{ - m - 1}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{m^2} + m - {m^2}} \right) - \left( { - {m^2} - m - m} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} =\]

\[=\frac{{{m^2} + 3m}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{m\left( {m + 3} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{1}{m}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&1&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m - 1}&{m + 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{m^3} + {m^2} - m} \right) - \left( { - {m^2} - {m^2} - m} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \]

\[ = \frac{{{m^3} + 3{m^2}}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&m\\
{ - m}&{ - m}&{ - m - 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( { - {m^3} - {m^2}} \right) - \left( { - {m^2} - {m^3}} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{0}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = 0\]

Por ejemplo, si \(m=-5\), el sistema es

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 5x + z = 1\\
 - 5y + z =  - 5\\
5x + 5y - 4z = 4
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son \(x=-\dfrac{1}{5}\), \(y=1\), \(z=0\).


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Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss

En los artículos anteriores se ha analizado la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, y la ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas, así como su interpretación geométrica en el plano y en el espacio afín. En otro artículo, dedicado a los sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas, ya se ha hecho uso de un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Gauss. En este artículo se expone con detalle este método. Pero comenzaremos por el principio, explicando algunos conceptos previos.

Ecuación lineal

Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Por ejemplo, son ecuaciones lineales: \(2x - 3y + 4z = 8\), \(2\left( {3x - 6y + z} \right) - 5 = 7y + z - 1\). Sin embargo, no son ecuaciones lineales: \({x^2} - y + 3z = 1\), \(2x - xy + 3xyz = 6\).

O sea, que para que una ecuación sea lineal, en cada término ha de haber a lo sumo una incógnita como mucho elevada a uno. Se llaman ecuaciones lineales porque una ecuación lineal con dos incógnitas geométricamente representa una recta (línea), y una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o las mismas soluciones). Si se les suma o se les resta a los dos miembros de una ecuación un mismo número se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, también se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Por ejemplo: \(\dfrac{{ - 3\left( {2x - y} \right)}}{3} - \frac{{y - z}}{4} = \frac{1}{2} + x\) es equivalente a \(- 12\left( {2x - y} \right) - \left( {y - z} \right) = 6 + 12x\) (se han multiplicado todos los términos por 12), que es equivalente a \(- 24x + 12y - y + z = 6 + 12x\), que también es equivalente a \(- 36x + 11y + z = 6\). El razonamiento anterior, en lenguaje simbólico, se escribe así:

\[\frac{{ - 3\left( {2x - y} \right)}}{3} - \frac{{y - z}}{4} = \frac{1}{2} + x\Leftrightarrow - 12\left( {2x - y} \right) - \left( {y - z} \right) = 6 + 12x\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow - 24x + 12y - y + z = 6 + 12x\Leftrightarrow - 36x + 11y + z = 6\]

Por cierto, la ecuación anterior es un plano en el espacio afín tridimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se dan con el objetivo de determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas.

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto de rectas. Se trata de saber si se cortan o no en algún punto (que sería la solución del sistema). Si, en cambio, las ecuaciones tienen tres incógnitas, se trataría de un conjunto de planos y habría que determinar si tiene un punto en común, o una recta común (haz de planos), o no tienen ningún punto en común.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Son aquellos que tienen las mismas soluciones. Es posible que dos sistemas sean equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que los forman. Por ejemplo, los sistemas 

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = - 7\\
- x + y = - 1
\end{array} \right.\quad \text{y}\quad
\left\{ \begin{array}{l}
4x + 5y = - 3\\
- 3x - 2y = 4
\end{array} \right.\]

tienen ambos por solución \(x=-2\), \(y=1\), es decir, son equivalentes. Sin embargo, las ecuaciones que los forman no son para nada equivalentes las de uno con las del otro.

Transformaciones para obtener sistemas equivalentes

Un sistema se puede transformar en otro que sea equivalente, es decir, que tenga la mismas soluciones. Estas transformaciones pretenden reducir el primer sistema a otro más sencillo y a su vez a otro más simple, con el objetivo de obtener las soluciones del último de manera fácil. Estas soluciones también lo serán del primero, pues todos ellos eran equivalentes. Las transformaciones para obtener sistemas equivalentes son:

  • Multiplicar o dividir los dos miembros de una de las ecuaciones por un número distinto de cero.
  • Añadir una ecuación que sea combinación  lineal de las otras o, al contrario, suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
  • Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle otra multiplicada previamente por un número.

Veamos un ejemplo.

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 5y = - 1\\
- 3x + y = - 5\\
5x - 6y = 4
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 5y = - 1\\
- 3x + y = - 5
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
6x - 15y = - 3\\
- 6x + 2y = - 10
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
6x - 15y = - 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 13y = - 13
\end{array} \right.\]

En la primera transformación se ha suprimido la tercera ecuación pues es el resultado de restar la primera menos la segunda. En la segunda transformación se ha multiplicado la primera por \(3\) y la segunda por \(2\). Y en la tercera transformación a la segunda ecuación se le ha sumado la primera. Obsérvese que el último sistema es fácil de resolver.

Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Ejemplos

Un sistema de ecuaciones se dice que es compatible si tiene solución. Si no tiene solución se dice que es incompatible. Los sistemas compatibles pueden ser de dos tipos: compatible determinado si el sistema tiene una única solución, y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Por ejemplo, el sistema del ejemplo anterior es compatible determinado, pues tiene una única solución (\(x=2\), \(y=1\)). Ya sabemos que geométricamente significa que las rectas \(2x - 5y =  - 1\), \(-3x+y=-5\), \(5x-6y=4\) son secantes, es decir, se cortan en un punto, el punto de coordenadas \(\left( {2,1} \right)\).

Veamos otro ejemplo.

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = 5\\
- 2x + 6y = 1
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 6y = 10\\
- 2x + 6y = 1
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 6y = 10\\
0 = 11
\end{array} \right.\]

Supongo que serás capaz de interpretar las transformaciones realizadas. Observa que finalmente se obtiene la igualdad \(0=11\), que es contradictoria. Esto quiere decir que el sistema no tiene solución: es un sistema incompatible. Geométricamente significa que las rectas \(x-3y=5\), \(-2x+6y=10\), son paralelas.

Hagamos ahora un par de ejemplos de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

En primer lugar veamos un ejemplo de un sistema con solución única.

\[\left\{ \begin{array}{l}
- 3x + y - 2z = 1\\
2x - 3y + z = - 1\\
x + 5y - z = - 2
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
- 3x + y - 2z = 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 7y - z = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,16y - 5z = - 5
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
- 3x + y - 2z = 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 7y - z = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 51z = - 51
\end{array} \right.\]

Si llamamos \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\) a las filas del sistema podemos abreviar las operaciones realizadas en cada una de las transformaciones del sistema. En la primera transformación se han hecho las siguientes operaciones:

\[3f_2+2f_1\quad\text{;}\quad3f_3+f_1\]

Y en la segunda transformación se ha realizado la siguiente operación:

\[7f_3+16f_2\]

Es fácil deducir del último sistema que la solución del sistema es \(x=-1\), \(y=0\), \(z=1\) y que, por tanto, el sistema es compatible determinado. Geométricamente quiere decir que los tres planos son secantes en un punto, es decir, que se tocan en un único punto de coordenadas \(\left( { - 1,0,1} \right)\).

Veamos a continuación otro ejemplo de sistema que tiene infinitas soluciones.

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - z = 5\\
- x - y + z = 0\\
- 4x - 7y + z = - 15
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, - y - z = - 5
\end{array} \right.\longrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + z = 5
\end{array} \right.\]

En este segundo ejemplo la primera transformación ha consistido en realizar las siguientes operaciones:

\[2f_2+f_1\quad\text{;}\quad f_3+2f_2\]

Y en la segunda transformación hemos realizado la siguiente operación:

\[f_3+f_2\]

Observa que al realizar la última transformación desaparece la última ecuación pues se obtiene \(0x + 0y + 0z = 0\Leftrightarrow 0=0\), que no aporta nada. En este caso (cuando al final el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones) hay infinitas soluciones: el sistema es compatible indeterminado. Para calcularlas se procede de la siguiente manera: a una de las dos incógnitas de la última ecuación se le nombra con otra letra (generalmente la letra griega \(\lambda\), que recibe el nombre de parámetro). Este parámetro se pasa al segundo miembro y se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas resultante. Llamemos pues \(z=\lambda\). Entonces:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - \lambda = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + \lambda = 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 5 + \lambda \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 5 - \lambda
\end{array} \right.\]

Sustituyendo el valor de \(y\) en la primera ecuación, operando y despejando la incógnita \(x\), se obtiene:

\[2x - 3\left( {5 - \lambda } \right) = 5 + \lambda  \Rightarrow 2x - 15 + 3\lambda  = 5 + \lambda  \Rightarrow 2x = 20 - 2\lambda  \Rightarrow x = 10 - \lambda \]

Por tanto las infinitas soluciones del sistema son \(x = 10 - \lambda\), \(y=5-\lambda\), \(z=\lambda\). O mediante la terna \(\left( {10 - \lambda ,\,\,5 - \lambda ,\,\,\lambda } \right)\). Geométricamente significa que los planos \(2x + 3y - z = 5\), \(- x - y + z = 0\), \(- 4x - 7y + z = 15\) son secantes según una recta, o bien que forman un haz de planos de base la recta

\[\left( {10 - \lambda ,\,\,5 - \lambda ,\,\,\lambda } \right)=\left( {10,\,\,5,\,\,0} \right) + \lambda \left( { - 1,\,\, - 1,\,\,1} \right)\]

Vamos, que los tres planos se cortan en una recta (ver figura de más abajo). Obsérvese que la recta anterior pasa por el punto \(\left( {10,\,\,5,\,\,0} \right)\) y un vector director suyo es \(\left( { - 1,\,\, - 1,\,\,1} \right)\).

sistemas gauss 01

Sistemas escalonados

En los ejemplos anteriores, después de hacer las transformaciones pertinentes, se obtienen sistemas muy fáciles de resolver pues, desde abajo hacia arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita por el método de sustitución. Este tipo de sistemas se llaman sistemas escalonados.

Obsérvese que en el caso del ejemplo anterior, donde el sistema era compatible indeterminado, el procedimiento de sustituir \(z\) por el parámetro \(lambda\) nos lleva a un sistema escalonado

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y - \lambda = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y + \lambda = 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 5 + \lambda \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 5 - \lambda
\end{array} \right.\]

que como vimos, también es muy fácil de resolver aunque las soluciones sean infinitas.

Hay sistemas que son escalonados, aunque a simple vista parece que no lo son.

Veamos otro par de ejemplos.

El sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = - 1\\
2y = 2\\
3x - 2y + 5z = 6
\end{array} \right.\]

no parece, aparentemente, escalonado. Pero observemos lo que ocurre si intercambiamos sus ecuaciones adecuadamente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y + 5z = 6\\
2x - 3y = - 1\\
2y = 2
\end{array} \right.\]

Además, si la incógnita \(z\) la ponemos en primer lugar, la incógnita \(x\) en segundo y la incógnita \(y\) en tercer lugar, el sistema queda así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
5z + 3x - 2y = 6\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x - 3y = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2y = 2
\end{array} \right.\]

Ahora si se ve claramente que es escalonado y fácil de resolver (la solución es \(x=1\), \(y=1\), \(z=1\)).

Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales

Un sistema, por ejemplo, de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede escribir genéricamente así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}x + {a_{12}}y + {a_{13}}z = {b_1}\\
{a_{21}}x + {a_{22}}y + {a_{23}}z = {b_2}\\
{a_{31}}x + {a_{32}}y + {a_{33}}z = {b_3}
\end{array} \right.\]

 donde \(a_{ij}\) son números reales llamados coeficientes; \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) también son números reales llamados términos independientes; y las incógnitas son \(x\), \(y\), \(z\). Si escribimos los coeficientes en filas y columnas obtenemos una expresión de la forma:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right)\]

a la que llamaremos matriz de los coeficientes. A veces se designa con la letra mayúscula \(A\). Si a la matriz de los coeficientes le añadimos una columna con los términos independientes tendremos la expresión:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{b_3}}
\end{array}} \right)\]

que recibe el nombre de matriz ampliada o matriz asociada al sistema. A veces se designa con la letra mayúscula \(B\), o mediante la expresión \(A|b\).

Método de Gauss

El proceso de transformación de un sistema de ecuaciones en otro equivalente, pero escalonado recibe el nombre de método de Gauss. En la práctica el método no se aplica con las ecuaciones, sino que se trabaja con la matriz asociada al sistema, con lo que se simplifica bastante el proceso de transformaciones sucesivas. Por tanto, una vez expresado el sistema mediante su matriz asociada, el método consiste en "hacer ceros", hasta llegar a una matriz asociada a un sistema escalonado. Para ello podemos hacer dos tipos de transformaciones, que nos llevarán a matrices asociadas a sistemas equivalentes:

  • Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.
  • Sumar a una fila otra, previamente multiplicada por un número distinto de cero.

Al aplicar el método de Gauss, ¿qué ocurre al finalizar el proceso, o incluso en algún paso intermedio? Podemos distinguir los siguientes casos.

  1. Que salga una fila de ceros. Entonces esta fila se corresponderá con una ecuación trivial y podremos prescindir de ella (ya hemos visto un ejemplo anteriormente).
  2. Que obtengamos dos filas iguales o proporcionales. Entonces podemos eliminar una de las dos, pues se corresponden con ecuaciones equivalentes.
  3. Que obtengamos una fila de ceros, salvo el último número, que es distinto de cero. Entonces se trata de una ecuación imposible y, en este caso, el sistema es incompatible.

Conclusión: una vez finalizado el proceso llegaremos a una de las tres posibilidades siguientes, o equivalentes, a alguna de ellas:

  1. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
    0&0&{{a_{33}}}&{{b_3}}
    \end{array}} \right)\), donde \(a_{33}\) es un número distinto de cero y \(b_3\) un número real cualquiera. En este caso tenemos tantas ecuaciones como incógnitas. Se obtiene un sistema escalonado, del que es muy fácil obtener la única solución. El sistema es compatible determinado.
  2. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
    0&0&0&0
    \end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}
    \end{array}} \right)\), donde \(a_{22}\) es un número distinto de cero. En este caso hay menos ecuaciones que incógnitas. Ya hemos resuelto anteriormente un sistema de este tipo y así se procede. Hay infinitas soluciones: el sistema es compatible indeterminado.
  3. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{b_1}}\\
    0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{b_2}}\\
    0&0&0&{{b_3}}
    \end{array}} \right)\), donde \(b_3\) es distinto de cero. Esto es imposible y el sistema es incompatible, es decir, no tiene soluciones.

Veamos otro par de ejemplos.

Apliquemos el método de Gauss a la resolución del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
- x + y + 3z = - 2\\
4x + 2y - z = 5\\
2x + 4y - 7z = 1
\end{array} \right.\]

Transformando la matriz asociada al sistema:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&3&{ - 2}\\
4&2&{ - 1}&5\\
2&4&{ - 7}&1
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&3&{ - 2}\\
0&6&{11}&{ - 3}\\
0&6&{ - 13}&{ - 3}
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&3&{ - 2}\\
0&6&{11}&{ - 3}\\
0&0&{ - 24}&0
\end{array}} \right)\]

En la primera transformación hemos hecho las operaciones \(f_2+4f_1\) y \(2f_3-f_2\). En la segunda transformación hemos hecho la operación \(f_3-f_2\). Nos encontramos en el caso 1: el sistema es compatible determinado. El sistema asociado es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
- x + y + 3z = - 2\\
\,\,\,\,\,\,\,6y + 11z = - 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 24z = 0
\end{array} \right.\]

sistema escalonado cuyas soluciones son muy fáciles de obtener: \(z=0\), \(y=-\dfrac{1}{2}\), \(x=\dfrac{3}{2}\).

Resolvamos ahora el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z = 1\\
2x + 3y - z = - 1\\
- x - 4y + 3z = 5
\end{array} \right.\]

Escribamos la matriz asociada y hagamos las transformaciones oportunas (transformaciones que no son difíciles de descubrir):

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
2&3&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 4}&3&5
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&5&{ - 5}&{ - 3}\\
0&{ - 5}&5&9
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&5&{ - 5}&{ - 3}\\
0&0&0&6
\end{array}} \right)\]

Estamos en el caso 3. Por tanto el sistema es incompatible y no tiene solución. Obsérvese que el sistema asociado es

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z = 1\\
\,\,\,\,\,5y - 5z = - 3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0z = 6
\end{array} \right.\]

La última de las ecuaciones no tiene sentido. Por eso el sistema es incompatible.

Discusión de sistemas dependientes de un parámetro

Hay sistemas que dependen de un parámetro. Por ejemplo

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
2x - y - z = - 3\\
x + ky - 3z = 0
\end{array} \right.\]

Este tipo de sistemas son en realidad "muchos sistemas". Hay uno para cada valor del parámetro \(k\). De todos ellos algunos serán compatibles y otros incompatibles. Por tanto, discutir un sistema dependiente de un parámetro consiste en encontrar los valores del parámetro para los que el sistema es compatible o no y, caso de ser compatible, distinguir cuándo es determinado o indeterminado. Para ello se procede igual que en los ejemplos anteriores, utilizando el método de Gauss y tomando el parámetro como si fuera un número. Como ejemplo, discutamos el sistema anterior.

Tomemos la matriz asociada y apliquemos las transformaciones oportunas:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
2&{ - 1}&{ - 1}&{ - 3}\\
1&k&{ - 3}&0
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&{ - 3}&{ - 3}&{ - 15}\\
0&{k - 1}&{ - 4}&{ - 6}
\end{array}} \right)\longrightarrow\]

\[\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&1&1&5\\
0&{k - 1}&{ - 4}&{ - 6}
\end{array}} \right)\longrightarrow
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&1&1&5\\
0&0&{ - 3 - k}&{ - 1 - 5k}
\end{array}} \right)\]

Obsérvese que hemos realizado tres transformaciones. En la primera se han hecho las siguientes operaciones: \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\). En la segunda hemos dividido la segunda fila entre \(-3\). Y en la tercera hemos realizado la operación \(f_3-(k-1)f_2\).

Analicemos lo que pasa ahora.

Si \(-3-k=0\), es decir, si \(k=3\), entonces estamos en el caso 3 y el sistema es incompatible: la última matriz es, en este caso

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&6\\
0&1&1&5\\
0&0&0&{14}
\end{array}} \right)\]

con lo que la última ecuación (\(0=14\)) es imposible.

Ahora bien, si \(k\neq3\), estamos en el caso 1, pues \(-3-k\neq0\), y el sistema será compatible determinado (solución única). En este caso el sistema asociado a la última matriz es

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
\,\,\,\,\,\,\,\,y + z = 5\\
\left( { - 3 - k} \right)z = - 1 - 5k
\end{array} \right.\]

De aquí se deduce que

\[z = \frac{{ - 1 - 5k}}{{ - 3 - k}} = \frac{{\left( { - 1} \right)\left( {5k + 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)\left( {k + 3} \right)}} \Rightarrow z = \frac{{5k + 1}}{{k + 3}}\]

Sustituyendo en la segunda ecuación:

\[y + \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = 5 \Rightarrow y = 5 - \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = \frac{{5\left( {k + 3} \right)}}{{k + 3}} - \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = \frac{{5k + 15 - 5k - 1}}{{k + 3}} \Rightarrow y = \frac{{14}}{{k + 3}}\]

Finalmente, sustituyendo en la primera:

\[x + \frac{{14}}{{k + 3}} + \frac{{5k + 1}}{{k + 3}} = 6 \Rightarrow x + \frac{{5k + 15}}{{k + 3}} = 6 \Rightarrow \]

\[\Rightarrow x = 6 - \frac{{5k + 15}}{{k + 3}} = \frac{{6\left( {k + 3} \right)}}{{k + 3}} - \frac{{5k + 15}}{{k + 3}} = \frac{{6k + 18 - 5k - 15}}{{k + 3}} = \frac{{k + 3}}{{k + 3}} \Rightarrow x = 1\]

Resumiendo:

Si \(k=-3\) el sistema es incompatible: no tiene solución. Es el caso del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
2x - y - z = - 3\\
x - 3y - 3z = 0
\end{array} \right.\]

donde se ha sustituido \(k\) por \(-3\).

Si \(k\neq-3\), el sistema es compatible es determinado: solución única, una para cada valor de \(k\). Tal solución única es

\[x=1\quad\text{;}\quad y=\frac{14}{k+3}\quad\text{;}\quad z=\frac{5k+1}{k+3}\]

Por ejemplo, si \(k=-1\), el sistema se convierte en

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 6\\
2x - y - z = - 3\\
x - y - 3z = 0
\end{array} \right.\]

y la única solución es \(x=1\), \(y=7\), \(z=2\). Es conveniente insistir en que para cada \(k\neq-3\) hay un sistema y una única solución para ése valor de \(k\).


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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\quad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, una recta en el plano. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[r \equiv Ax + By + C = 0\quad\text{;}\quad  s \equiv A'x + B\,'y + C' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos rectas en el plano son tres: coincidentes, paralelas y secantes.

Si son coincidentes es porque una recta es la misma que la otra salvo un factor numérico, es decir,

\[Ax + By + C = k\left( {A'x + B\,'y + C'} \right) = 0 \Rightarrow Ax + By + C = kA'x + kB\,'y + kC' = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}\]

De aquí se deduce que \(A = kA'\,\,,\,\,B = kB\,'\,\,,\,\,C = kC'\) y despejando \(k\) obtenemos una condición para que las dos rectas coincidan:

\[r \equiv s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} = \frac{C}{{C'}}\]

Si las dos rectas son paralelas tienen la misma dirección, con lo que los vectores directores de \(r\) y \(s\) son iguales o proporcionales. Es decir, llamando \(\vec u\) al vector director de \(r\), y \(\vec v\) al vector director de \(s\), tenemos que \(\vec u = k\vec v\), donde \(k\) es un número real. Pero recordemos que los vectores directores se podían obtener fácilmente de la ecuación general de la recta: \(\vec u = \left( { - B,A} \right)\) y \(\vec v = \left( { - B\,',A'} \right)\), con lo que:

\[\vec u = k\vec v \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = k\left( { - B\,',A'} \right) \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = \left( { - kB\,',kA'} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- B = - kB\,'\\
A = kA'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{B}{{B\,'}}\\
k = \frac{A}{{A'}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}}\]

Así pues para que dos rectas sean paralelas tenemos la siguiente condición:

\[r\,|\,|\,s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} \ne \frac{C}{{C'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) no tienen ninguna solución (claro: dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común, no se cortan en ningún punto).

Por último, si las dos rectas son secantes, han de tener distinta dirección, con lo que sus vectores directores no serán proporcionales. Esto nos lleva a la siguiente condición:

\[r \cap s = \left\{ P \right\} \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} \ne \frac{B}{{B\,'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) tienen una única solución. Esta solución es el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\): \(P\left( {a,b} \right)\).

Veamos un ejemplo.

Consideremos el sistema de ecuaciones \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 7 = 0\\
- 5x - y + 3 = 0
\end{array} \right.\). Este sistema está formado por las rectas \(r \equiv 2x - 3y - 7 = 0\) y \(s \equiv - 5x - y + 3 = 0\). Como tenemos que \(\dfrac{2}{{ - 5}} \ne \dfrac{{ - 3}}{{ - 1}}\), entonces las rectas son secantes. Si queremos saber el punto de corte basta resolver el sistema. Por reducción es muy sencillo. Multiplicando la segunda ecuación por \(-3\) tenemos: \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 8 = 0\\
15x + 3y - 9 = 0
\end{array} \right.\) y sumando ambas ecuaciones obtenemos \(17x - 17 = 0 \Rightarrow x = 1\). Sustituyendo en la primera ecuación podemos despejar \(y\): \(2 - 3y - 8 = 0 \Rightarrow - 3y - 6 = 0 \Rightarrow y = - 2\). Entonces el punto de corte de las rectas es \(P\left( {1, - 2} \right)\).

sistemas01

Puede que ahora sea un buen momento de hablar de independencia lineal. Es un concepto muy sencillo. Para ello vamos a pensar en dimensión tres, en un espacio tridimensional como en el que vivimos. Es decir, vamos a fijar un sistema de referencia afín donde cada punto y cada vector tiene tres coordenadas. Este sistema de referencia afín lo podemos escribir así: \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\) y \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Algo así como decir que \(\text{i}\) mide la anchura, \(\text{j}\) la profundidad y \(\text{k}\) la altura. De modo que, por ejemplo, el vector \(\vec u\left( {3,4,2} \right)\) tiene tres unidades de anchura, cuatro de profundidad y dos de altura.

Pues bien, un vector es siempre linealmente independiente y genera una recta (la recta que lo contiene, que es un espacio de dimensión uno). Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección, en cuyo caso generan todo un plano (el plano que los contiene, que es de dimensión dos). Si dos vectores no tienen distinta dirección serán proporcionales (uno se puede poner como el otro multiplicado por un número) y no son linealmente independientes. Tres vectores son linealmente independientes si no están situados en un mismo plano (no coplanarios) y generan todo el espacio, que es de dimensión tres.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de que dos vectores linealmente independientes generan el plano que los contiene? Pues que, combinando adecuadamente los dos vectores, podemos llegar a cualquier otro vector del plano.

Veamos un ejemplo. Para ello volvamos a la dimensión dos. Consideremos los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\), que tienen distinta dirección. Por tanto, según hemos definido anteriormente, son linealmente independientes, y generan todo el plano de dimensión dos. Esto quiere decir que cualquier otro vector se puede poner como combinación de ellos. Pensemos, por ejemplo en el vector \(\left( {3,-5} \right)\). ¿Podremos llegar a él usando los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\)? Es decir, ¿existirán números reales \(x\), \(y\) tales que \(x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right)\)? Seguro que sí. Veamos:

\[x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left( {x,3x} \right) + \left( { - 2y,y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left( {x - 2y,3x + y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3\\
3x + y = - 5
\end{array} \right.\]

Resolviendo el sistema anterior se obtiene \(x =  - 1\), \(y=-2\). Esto quiere decir que si el vector \(\left( {1,3} \right)\) lo multiplicamos por \(-1\) (o sea, le cambiamos el sentido), el vector \(\left( {-2,1} \right)\) lo multiplicamos por \(-2\) (o sea, lo duplicamos en longitud y le cambiamos el sentido) y, finalmente, sumamos ambos resultados, obtenemos como resultado el vector \(\left( {3,-5} \right)\). Esto, en matemáticas, se resume diciendo que el vector \(\left( {3,-5} \right)\) se puede poner como combinación lineal de los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\):

\[\left( {3, - 5} \right) =  - 1\left( {1,3} \right) + \left( { - 2} \right)\left( { - 2,1} \right)\]

Podemos ver el resultado en la figura siguiente:

sistemas02

Si en el sistema \(\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\) escribimos los términos independientes en el segundo miembro, lo podemos reescribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}x + {a_{12}}y = {b_1}\\
{a_{21}}x + {a_{22}}y = {b_2}
\end{array} \right.\]

Una vez escrito así vamos incluso a disponer de una forma más cómoda el sistema. Llamaremos \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right)\) matriz de los coeficientes del sistema y \(A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{b_1}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{b_2}}
\end{array}} \right)\) a la matriz ampliada del sistema. No descubrimos nada nuevo si pensamos en una matriz como una disposición de elementos en filas y en columnas. Obsérvese que al escribir la matriz ampliada \(A|b\) tenemos completamente definido el sistema sin necesidad de escribir las incógnitas.
Ahora, la posición relativa de las dos rectas depende del carácter de la matriz de los coeficientes \(A\) y del de la matriz ampliada \(A|b\), en el siguiente sentido:

  • Si las rectas son coincidentes, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales y las de la matriz \(A|b\) también.
  • Si las rectas son paralelas, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales, pero no los son las de la matriz \(A|b\).
  • Si las rectas son secantes, las filas de la matriz \(A\) no son proporcionales y, por tanto, tampoco lo son los de la matriz \(A|b\).

Este carácter de las matrices en matemáticas se conoce con el nombre de rango de una matriz. Hemos de observar que las filas de las matrices las podemos ver como vectores (con dos, tres, cuatro,\(\ldots\,\) coordenadas). Se define el rango de una matriz como el número de filas (vectores) linealmente independientes. Esto nos lleva a reescribir la posición relativa de dos rectas, en función de los rangos de la matriz de los coeficientes \(A\) y de la matriz ampliada \(A|b\), del siguiente modo:

  • Si las rectas son coincidentes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=1\).
  • Si las rectas son paralelas, entonces \(\text{rango}A=1\neq\text{rango}A|b=2\).
  • Si las rectas son secantes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=2\).

Estas ideas se pueden generalizar a un sistema de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas. Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que un sistema del tipo anterior tenga solución se ha de cumplir que el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual al rango de la matriz ampliada: \(\text{rango}A=\text{rango}A|b\). Además, si este número es igual al número de incógnitas \(n\), el sistema tiene solución única (sistema compatible determinado). Sin embargo, si este número es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). Por último, si \(\text{rango}A\neq\text{rango}A|b\). el sistema no tiene solución (sistema incompatible).

Seguiremos dándole vueltas a todo esto en un artículo que dedicaremos a los sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas.


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Interpretando ecuaciones e inecuaciones matemáticas con desmos

En el último examen de matemáticas que han realizado mis alumnos de 1º de Bachillerato (Matemáticas I, modalidad de Ciencias y Tecnología) les propuse, entre otras cosas, que resolvieran un par de ecuaciones, un sistema de ecuaciones no lineal, una inecuación con la incógnita en el denominador, y un sistema de inecuaciones. Si representamos cada una de ellas con una aplicación gráfica, en este caso con desmos, podremos interpretar gráficamente las soluciones. Vamos a verlo.

Las ecuaciones

La primera ecuación propuesta fue \(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{1-2x}{x^2-x-6}=0\). Si se resuelve se obtienen como soluciones \(x_1=-7\) y \(x_2=-1\). Representando gráficamente la función \(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{1-2x}{x^2-x-6}\) se obtiene la gráfica de más abajo. Se aprecia (hay que fijarse un poco, eso sí) que la gráfica corta al eje de abscisas o eje \(X\) en los puntos \(-7\) y \(-1\), soluciones de la ecuación.

desmos 02

La segunda ecuación que propuse fue una ecuación irracional, es decir, una ecuación cuya incógnita se encuentra bajo el símbolo radical: \(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{4x-3}+3=0\). Su solución es \(x=3\). De nuevo, representando gráficamente la función \(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{4x-3}+3\), se observa que la gráfica corta al eje \(X\) en el punto \(x=3\).

desmos 03

En este caso me gustaría resaltar que la gráfica, en la parte superior, empieza o está detenida (según la dibujemos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), en un determinado punto. La coordenada \(x\) de este punto es, si nos fijamos bien, \(x=\dfrac{3}{4}=0,75\). Esto es porque una de las raíces de la ecuación original es \(\sqrt{4x-3}\). Sabemos que una raíz no tiene sentido si el radicando es menor que cero. En este caso \(4x-3<0\Leftrightarrow x<\dfrac{3}{4}\). Por eso, para puntos \(x\) menores que \(\dfrac{3}{4}\), desmos empieza a dibujar o no sigue dibujando. El radicando del otro radical que aparece en la ecuación es \(x+1\) y \(x+1<0\) si, y sólo si, \(x<-1\). Pero los puntos \(x\) menores que \(-1\) también lo son menores que \(\dfrac{3}{4}\) y quedan contenidos en la desigualdad. \(x<\dfrac{3}{4}\).

El sistema de ecuaciones

Se planteó también la resolución del sistema de ecuaciones \(\begin{cases}\displaystyle x+\frac{2}{y}=1\\ \displaystyle y+\frac{1}{x}=6\end{cases}\). Este s¡stema tiene dos parejas de soluciones: \(x_1=\dfrac{1}{2}\ \text{,}\ y_1=4\) ; \(x_2=\dfrac{1}{2}\ \text{,}\ y_2=3\). Para verlo gráficamente he seleccionado parte de las gráficas. La de color rojo corresponde a la primera ecuación, y la de color azul a la segunda.

desmos 04

La inecuación

La inecuación propuesta fue \(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+1}>\dfrac{6}{5}\), cuya solución es, expresada en forma de intervalos, la siguiente: \(\left(-1\ ,\ -\dfrac{1}{3}\right)\cup(3\ ,\ 4)\). En la gráfica siguiente se ha representado la función \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{6}{5}\). Obsérvese que los "trozos" de gráfica que se encuentran por encima del eje \(X\), es decir, las soluciones de \(f(x)>0\), corresponden exactamente a la unión de los intervalos mencionados anteriormente.

desmos 05

El sistema de inecuaciones

El sistema de inecuaciones que se propuso en el examen fue \(\begin{cases}10-3x-x^2<0\\3x+5>-16\end{cases}\). Su solución es \((-7\ ,\ -5)\cup(2\ ,\ +\infty)\). En la gráfica se han representado las funciones \(f(x)=10-3x-x^2\) (una parábola) y \(g(x)=3x+5+16=3x+21\) (una recta). La solución del sistema se interpreta de la siguiente manera: son los trozos de ambas gráficas en los que simultáneamente es \(f(x)<0\) y \(g(x)>0\). Si se lanzan unas imaginarias líneas verticales que pasen por los puntos de corte con los ejes, se ve que esto ocurre exactamente en los intervalos solución del sistema.

desmos 06

Finalmente, para apreciar con mayor calidad visual todo lo comentado anteriormente puedes acudir a todas las gráficas en el siguiente enlace. En el panel de la izquierda están las ecuaciones (números 1 y 2), el sistema de ecuaciones (números 3 y 4), la inecuación (número 5) y el sistema de inecuaciones (números 6 y 7). Puedes seleccionar los números correspondientes en el citado panel para obtener una visualización adecuada de estas situaciones.

A modo de conclusión

Creo que es importante que los alumnos sepan asociar a las soluciones de una ecuación, de un sistema de ecuaciones, de una inecuación o de un sistema de inecuaciones, su visualización gráfica. Esto les ayudará también a relacionar dos partes de las matemáticas aparentemente disociadas para ellos: el álgebra y el análisis. Cuando hagan el estudio gráfico de una función rápidamente asociarán los puntos de corte con el eje de abscisas de la función \(y=f(x)\) con las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\). La resolución de ecuaciones tendrá un sentido gráfico. Muchas situaciones reales llevan asociados modelos matemáticos que, con la ayuda de una aplicación como desmos, se pueden representar gráficamente. A veces la ecuación asociada a este modelo gráfico es bastante difícil de resolver, pero la visualización de la gráfica ayudará a darse cuenta de que las soluciones de tal ecuación son los cortes con el eje \(X\).

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Sistemas de ecuaciones no lineales

Cuando se estudian las matemáticas a un nivel básico en la secundaria, una de las cosas que primero se aprende a resolver es una ecuación de primer grado. A continuación se puede introducir sin mucha dificultad el concepto de sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. La forma, digamos reducida, de un sistema de este tipo es:

\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]

Los números reales \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\) reciben el nombre de coeficientes y los números \(c_1\) y \(c_2\) son los términos independientes del sistema (parecido a la nomenclatura estudiada en las expresiones algebraicas, monomios y polinomios). Las incógnitas o números reales de los cuales deseamos saber si satisfacen ambas ecuaciones, son \(x\) e \(y\).

Básicamente existen tres métodos para resolver este tipo de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

El primero de ellos, el de sustitución, consiste en despejar una de las dos incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituirla en la otra.

Por ejemplo, dado el sistema

\[\begin{cases}2x+3y=4\\5x-2y=-9\end{cases}\]

despejamos la incógnita \(y\) de la primera ecuación, \(y=\dfrac{4-2x}{3}\), y la sustituimos en la segunda:

\[5x-2\frac{4-2x}{3}=-9\Rightarrow15x-2(4-2x)=-27\Rightarrow15x-8+4x=-27\Rightarrow19x=-19\Rightarrow x=-1\]

Sustituyendo el valor de \(x\) en la igualdad donde está la incógnita \(y\) despejada obtenemos:

\[y=\frac{4-2\cdot(-1)}{3}=\frac{4+2}{3}=\frac{6}{3}\Rightarrow y=2\]

Los sistemas lineales se caracterizan porque la representación gráfica de cada una de las dos ecuaciones es una recta. Si ambas se cortan, el punto de corte es la solución del sistema. En el caso del ejemplo anterior la representación gráfica queda reflejada en la figura siguiente.

sistema-no-lineal-02

En un sistema de ecuaciones no lineal con dos incógnitas, al menos una de las dos ecuaciones no es lineal, es decir, su representación gráfica no es una recta. Este tipo de sistemas se suelen resolver por el método de sustitución, método cuyo uso se ha visto en el ejemplo anterior para un sistema lineal. Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones no lineal.

Consideremos el sistema dado en la imagen que encabeza este artículo:

\[\begin{cases}x^2-2y^2=1\\xy=6\end{cases}\]

Despejando \(y\) de la segunda ecuación tenemos \(y=\dfrac{6}{x}\). Y sustituyendo este valor en la primera ecuación:

\[x^2-2\left(\frac{6}{x}\right)^2=1\Rightarrow x^2-\frac{72}{x^2}=1\]

Multiplicando ahora todos los términos por \(x^2\) llegamos a una ecuación bicuadrada:

\[x^4-72=x^2\Rightarrow x^4-x^2-72=0\]

Hagamos el cambio de variable \(x^2=z\) para obtener una ecuación de segundo grado:

\[z^2-z-72=0\Rightarrow z=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-72)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+288}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{1\pm17}{2}=\begin{cases}z_1=9\\z_2=-8\end{cases}\]

Deshaciendo ahora el cambio \(x^2=z\) obtenemos las soluciones de para la incógnita \(x\). Así, si \(z=9\), entonces tenemos dos soluciones para \(x\): \(x_1=3\) y \(x_2=-3\). Si \(z=-8\), la ecuación \(x^2=-8\) no proporciona soluciones reales para \(x\). Cada una de las dos soluciones anteriores para \(x\), \(x_1=3\) y \(x_2=-3\), proporcionan sendas soluciones para \(y\) sustituyendo en la fórmula donde habíamos despejado la incógnita \(y\) al comienzo de este método de sustitución, \(y=\dfrac{6}{x}\). Es decir si \(x_1=3\), entonces \(y_1=2\). Y si \(x_2=-3\), entonces \(y_2=-3\).

Resumiendo, y escribiendo las soluciones en forma de pares ordenados, el sistema no lineal tiene dos soluciones:

\[(3,\ 2)\quad\text{;}\quad(-3,\ -2)\]

Estos dos puntos del plano son los puntos donde se cortan las curvas \(x^2-2y^2=1\), \(xy=6\).

sistema no lineal 03

En esta página puedes encontrar una relación de ejercicios de sistemas no lineales, entre otras relaciones de ejercicios de matemáticas. Contiene las soluciones finales de cada uno de ellos. Además también hay algunos problemas cuya solución se obtiene en muchos casos plantenando un sistema de ecuaciones no lineal con dos incógnitas.

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El teorema de Rouché-Frobenius

En estos apuntes (los puedes descargar en un enlace al final de esta entrada) se desarrolla parte del bloque temático de álgebra, en la materia Matemáticas II de 2º de Bachillerato, en su modalidad de Ciencias y Tecnología: sistemas de ecuaciones lineales y el teorema de Rouché-Frobenius (este teorema lo enunció el matemático francés Eugène Rouché y lo demostró el matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius).  Los contenidos son los siguientes.

Matemáticas II - El teorema de Rouché-Frobenius

  1. Sistemas de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas.
  2. Clasificación de los sistemas lineales.
  3. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada.
  4. Regla de Cramer.
  5. Teorema de Rouché-Frobenius.
  6. Sistemas lineales homogéneos.
  7. Discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
  8. Eliminación de parámetros.
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