Menu
La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Prev Next

Porcentajes

Porcentajes

Un porcentaje o tanto por ciento, \(k\)% de una cantidad dada \(c\) es una parte \(a\) de dicha cantidad \(c\), que viene dada mediante la siguiente fórmula:

\[\frac{k\cdot c}{100}=a\qquad\qquad(1)\]

Así por ejemplo, el 35% de 6200 es \(\dfrac{35\cdot6200}{100}=\dfrac{217000}{100}=2170\).

Problemas con porcentajes

Ya hemos visto que en los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el propio porcentaje o tanto por ciento, que hemos llamado \(k\), la cantidad total \(c\), y la parte \(a\) de dicha cantidad que se obtiene al aplicar el porcentaje.

Cualquiera de las tres cantidades anteriores se pueden calcular despejando de la fórmula \((1)\), si se conocen las otras dos. Veamos algunos ejemplos de problemas de este tipo donde aparecen porcentajes.

Ejemplo 1

Joaquín compra un abrigo en una tienda donde todos sus artículos están rebajados un 18%. ¿Qué cantidad le descontarán si el precio del abrigo es de 352 €?

Este problema es el más sencillo, pues se desconoce la parte \(a\) que se obtiene al aplicar el porcentaje. El tanto por ciento y la cantidad total son conocidas. Así pues:

\[a=\frac{18\cdot352}{100}=\frac{6336}{100}=63.36\,\text{€}\]

Ejemplo 2

Jaime compra un coche por 16000 € y le hacen un descuento de 1920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan?

En este caso conocemos la cantidad total, 16000, y la parte resultante tras aplicar el porcentaje correspondiente, que es desconocido. Entonces:

\[\frac{k\cdot16000}{100}=1920\Rightarrow k=\frac{1920\cdot100}{16000}=12\]

Por tanto, a Jaime le descuentan un 12% en la compra del coche.

Ejemplo 3

Ana trabaja desde hace 10 años en una empresa, y ha cobrado 235 € en concepto de antigüedad, que es el 20% de su salario. ¿A cuánto asciende el salario de Ana?

Ahora conocemos la parte que corresponde a aplicar un 20% al salario de Ana, que son 235 €. Tenemos que calcular la cantidad total, es decir, el salario de Ana.

\[\frac{20\cdot c}{100}=235\Rightarrow c=\frac{235\cdot100}{20}=1175\]

Es decir, el salario de Ana es de 1175 €.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentar una cantidad \(c\) un \(k\)% equivale a calcular el \((100+k)\)% de dicha cantidad, es decir hemos de realizar la siguiente operación:

\[\frac{(100+k)\cdot c}{100}=a\]

Disminuir una cantidad \(c\) un \(k\)% equivale a calcular el \((100-k)\)% de dicha cantidad, es decir hemos de realizar la siguiente operación:

\[\frac{(100-k)\cdot c}{100}=a\]

En sendas formulas anteriores la cantidad \(a\) es la parte resultante tras hacer el aumento o la disminución porcentual.

Veamos otro par de ejemplos.

Ejemplo 4

Después de gastar el 15% del depósito de gasolina de un coche, quedan 42,5 litros. ¿Cuál es la capacidad total del depósito? 

Desconocemos la cantidad total \(c\) de gasolina o capacidad total del depósito. Como se ha gastado el 15%, hemos de hacer una dismunición porcentual. Se conoce que la parte resultante tras realizar la disminución porcentual es de 42,5 litros. Así pues:

\[\frac{(100-15)\cdot c}{100}=42,5\Rightarrow c=\frac{42,5\cdot100}{85}=50\]

Por tanto la capacidad total del depósito es de 50 litros.

Ejemplo 5

La factura de la comida de dos viajantes en un restaurante ascendió a 47,7 €. Tal factura incluía un 6% de IVA. ¿Cuál sería el valor de la factura sin IVA? 

Ahora también desconocemos la cantidad \(c\) a la que ascendía la factura sin IVA y a la que se a aplicado un aumento porcentual (el 6% de IVA). También sabemos que, tras realizar el aumento, la factura asciende a 47,7 €. Por tanto:

\[\frac{(100+6)\cdot c}{100}=47,7\Rightarrow c=\frac{47,7\cdot100}{106}=45\]

O sea, el valor de la factura sin IVA era de 45 €.

Leer más ...

Matemáticas en el gallinero

  • Publicado en Retos
Extraído del libro "La seducción de las matemáticas", de Christoph Drösser

Al decir de muchos, Marilyn vos Savant es la mujer más inteligente del mundo; en todo caso, durante añós figuró en el Libro Guinnes de los récords como la persona con el coeficiente de inteligencia más alto que jamás se haya medido, hasta que se suprimió esta sección del libro.

Esta señora publica una columna semanal (Ask Marilyn) en la revista estadounidense Parade (aquí su página Web, en inglés), en la que resuelve problemas de lógica y responde a preguntas de contenido filosófico. La más famosa es su respuesta (correcta) al «problema de las cabras», que trata de la mejor estrategia electoral en un programa de televisión. No abordaremos aquí el problema de las cabras (el que esté interesado puede leerlo aquí, una entrada muy recomendable en un fenomenal sitio Web dedicado a las matemáticas: gaussianos), pero sí haremos constar que Marilyn vos Savant tuvo razón y miles de lectores que enviaron cartas al director, incluidos algunos catedráticos de matemáticas, se equivocaron.

Un lector le planteó una vez la siguiente pregunta: «Si una gallina y media pone un huevo y medio en un día y medio, ¿cuántas gallinas hacen falta para que en seis días pongan seis huevos?»

La sabia mujer respondió: «A mi padre también le gustaba este problema, pero de niña logré entenderlo tan poco como hoy: ¿cuál es el problema? Si una gallina y media pone un huevo y medio, etc., significa que una gallina pone un huevo por día. Y si una única gallina pone cada día un huevo a lo largo de seis días, obtenemos exactamente seis huevos, ¿no es cierto?».

En este caso, Marilyn vos Savant se equivocó. La respuesta «una gallina» es incorrecta. Por lo que se ve, hasta los más sabios entre los sabios tienen problemas con el método de cálculo que nos enseñan en el colegio con el nombre de «regla de tres». Normalmente se aprende al final de la primaria, pero todavía hoy recibo llamadas de amigos que me piden que calcule el importe del IVA a partir del total de una factura, para lo cual también se aplica la regla de tres.

Analicemos el problema de las gallinas. Lo primero que llama la atención es que hay tres magnitudes, a saber, el número de gallinas (\(g\)), el número de días (\(d\)) y el número de huevos (\(h\)). Por supuesto que no existen medias gallinas ni tercios de huevos, pero esto no es ningún impedimento, pues las tres magnitudes podrán adoptar valores enteros. ¿Cómo se relacionan las tres magnitudes? Podemos utilizar un truco y mantener constante una de las tres magnitudes; por ejemplo, nos referiremos a un sólo día. Entonces no cabe duda de que \(g\) y \(h\) son directamente proporcionales entre sí: cuantas más gallinas haya, tantos más huevos producirán cada día.

Si se mantiene constante el valor de \(g\) y se considera únicamente la producción de una única gallina, \(d\) y \(h\) también son directamente proporcionales entre sí: cuantos más días demos a la gallina, tantos más huevos pondrá.

La relación entre \(d\) y \(g\), sin embargo, es distinta: si se trata de calcular el tiempo necesario para obtener un número predeterminado de huevos, digamos que 10, el número de días disminuirá al aumentar el de gallinas. Esto significa que el tiempo y las gallinas son magnitudes inversamente proporcionales: una magnitud aumenta cuando la otra disminuye. Si se representa gráficamente esta relación, no se obtiene una línea recta o función lineal (que es lo que ocurre con las magnitudes directamente proporcionales), sino que se obtiene una rama de hipérbola en el primer cuadrante (función de proporcionalidad inversa).

Si \(g\) es invariable, \(d\) y \(h\) son directamente proporcionales entre sí, es decir, \(h\) es un múltiplo de \(d\):

\[h_{g}=l\cdot d\]

El subíndice \(g\) indica que contemplamos la relación en el supuesto de que sólo haya una gallina. La \(l\) minúscula es una constante e indica el número de huevos que pone una gallina cada día. (En el ejemplo, el rendimiento de cada gallina, por supuesto, es el mismo.)

Esta es la producción de huevos de cada gallina. Para calcular la producción total de huevos hay que multiplicar el conjunto por el número de gallinas:

\[h=l\cdot d\cdot g\]

En esta ecuación están todos los factores que describen la relación entre el número de gallinas, el de huevos y el de días. Ahora podemos despejar, por ejemplo, la incógnita \(d\):

\[d=\frac{h}{l\cdot g}\]

Con esta ecuación se resuelven problemas como los planteados por las siguientes preguntas: «¿Cuánto tiempo precisan 12 gallinas para poner 17 huevos?» Sin embargo, la pregunta formulada a Marilyn vos Savant era: «¿Cuántas gallinas hacen falta para...?» Por tanto, hay que transforma la ecuación para despejar \(g\):

\[g=\frac{h}{l\cdot d}\]

Esta es la fórmula que permite hallar la solución; ya solo contiene una única incógnita, la constante \(l\). Su valor, sin embargo, se deduce de la confusa información de la gallina y media, el huevo y medio y el día y medio. Hemos de transformar el enunciado hasta saber cuántos huevos pone cada gallina al día: 3/2 gallinas ponen 3/2 huevos en 3/2 días.

¿Cuántos huevos pone una gallina en el mismo período? ¡Menos! Hay que dividir el número de huevos entre 3/2 (el número de gallinas), con lo que obtenemos que 1 gallina pone 1 huevo en 3/2 días.

¿Cuántos huevos son al día? Hay que dividir nuevamente entre 3/2 (este es el paso que seguramente omitió la señora Vos Savant): 1 gallina pone en 1 día 2/3 de huevo.

La constante \(l\), por tanto, indica que cada gallina pon 2/3 de huevo en 1 día. Podemos sustituirlo en la ecuación anterior y obtenemos:

\[g=\frac{h}{\frac{2}{3}\cdot d}=\frac{3h}{2d}\]

Y puesto que la pregunta se refiere a 6 huevos en 6 días, la solución es 18/12 o 3/2. ¡Una gallina y media!

Aunque este cálculo ha sido un poco extenso, tiene la ventaja de que es aplicable a todos los problemas con magnitudes inversamente proporcionales que pueden resolverse con la regla de tres, incluso cuando se trata de cuatro magnitudes, como en el siguiente: «Si 2 máquinas quitanieves son capaces de retirar en 3 horas la nieve de una tramo de 12 kilómetros de una carretera de 4 metros de ancho, ¿cuánto tiempo tardarán 10 máquinas quitanieves para despejar 1 kilómetro de una carretera de 12 metros de ancho?»

Por supuesto, Marilyn vos Savant recibió numerosas cartas de lectores que le echaron en cara su error, y ella se lo tomó con deportividad: «¡Me habéis pillado, queridos! Los que han respondido que una gallina y media tienen razón, y mi respuesta de "una gallina" es incorrecta. Siempre pensé que se trataba de un trabalenguas, pero en realidad se trata de un problema de lógica».

En una mesa hay dos vasos del mismo tamaño. Contienen la misma cantidad de líquido, pero en uno es agua y en el otro es whisky. Tomamos una cucharadita de whisky y lo vertemos en el vaso de agua removiendo bien. De esta mezcla tomamos ahora una cuharadita y la trasladamos al whisky. ¿Hay ahora más agua en el whisky que whisky en el agua?
Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas