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Paradojas famosas como elemento de razonamiento

  • Publicado en Retos
Extraído del libro "Uno + uno son diez", de José María Letona.

Hablar de paradojas es hablar de Bertrand Russell, matemático y filósofo del siglo XX (1872-1970).

Durante un siglo vivió como filólogo y crítico social, como escritor y educador, como miembro de la Cámara de los Lores y como interno de la cárcel de Brixton. Fue una fuerza intelectual irresistible y un gran vividor.

En cierta ocasión dijo que había pensado suicidarse, pero que abandonó la idea por la cantidad de Matemáticas que le quedaban por aprender.

Lean con detenimiento lo que les voy a contar, porque en ello reside la base para crear y comprender las paradojas.

En 1901 Russell estaba metido de lleno en sus investigaciones sobre los fundamentos lógicos de las Matemáticas, lo que le llevó a examinar las relaciones entre colecciones de elementos (lo que ahora conocemos por conjuntos). La naturaleza de los elementos de los conjuntos era inmaterial. Lo que importaba era la lógica abstracta de la teoría de conjuntos.

Consideremos el conjunto que llamaremos \(S\), formado por los elementos \(a\), \(b\) y \(c\). Tanto \(a\) como \(b\) y como \(c\) pertenecen al conjunto \(S\) y lo escribiremos así \(S=\{a,\,,b\,,c\}\) (por cierto la relación de pertenencia se escribe así: \(a\in S\), \(b\in S\), \(c\in S\). Otro elemento distinto de los tres anteriores, como el \(d\), no es elemento del conjunto \(S\) (\(d\notin S\)). Los elementos en este caso no forman ellos conjuntos, pero puede que un conjunto esté formado por elementos que sean a su vez conjuntos, por ejemplo, \(Q=\{a\,,\{b\,,c\}\}\), escritura que significa que el conjunto \(Q\) está formado por el elemento \(a\) y otro conjunto formado por los elementos \(b\) y \(c\) (dicho de otra manera, \(Q\) tiene dos elementos: \(a\) y \(\{b\,,c\}\)).

El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros o elemento otros conjuntos suscitó en Russell la pregunta de si un conjunto puede contenerse a sí mismo como un miembro más, es decir, en la nomenclatura que hemos definido, \(Q=\{a\,,\{b\,,c\}\,,Q\}\).

Russell escribió: "me parecía que un conjunto es y a veces no es miembro de sí mismo". Veamos lo que quería decir.

Supongamos un conjunto \(T\), que contiene todas las cosas menos las que sean relojes de cualquier tipo. Este conjunto contiene números, letras, palabras, concejales de urbanismo y todo aquello que no es un reloj, por lo que podemos decir que este conjunto tampoco es un reloj, nunca podremos saber la hora con él, y por ende debe estar contenido en \(T\) (es decir, \(T\) es un elemento de \(T\): \(T\in T\)).

Otro conjunto, \(W\), podría ser el de todos los relojes, que obviamente no es un reloj, por lo que no podría ser elemento del conjunto \(W\) (\(W\notin W\)). A estos conjuntos los llamaremos conjuntos Russell.

Obviamente un conjunto pertenece a un tipo u otro.

Partiendo de estas reflexiones, Russell llegó a considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Es decir, un conjunto con todos los conjuntos Russell. A este conjunto lo llamaremos \(R\).

Reflexione y conteste a la siguiente pregunta: ¿es \(R\) miembro de sí mismo? Dicho de otra manera: ¿es el conjjnto de todos los conjuntos Russell un conjunto de Russell? Seguro que ha llegado a la conclusión de que tiene dos respuestas: sí o no.

Vamos a analizar las dos respuestas posibles. Primero supongamos que la respuesta es sí, entonces \(R\) es un miembro de \(R\). Para ser un miembro de \(R\) tiene que cumplir el criterio de no ser miembro de ellos mismos. Por tanto, si \(R\) es miembro de \(R\), entonces \(R\) no puede ser un miembro de \(R\). Esta contradicción excluye la respuesta "sí".

Si las únicas respuestas posibles son sí o no, parece que como no es sí, tendrá que ser no.

Comprobemos la respuesta no. \(R\) entonces no es un miembro de \(R\) y, como en el ejemplo de los relojes, cumple los requisitos para ser miembro. Por tanto, si \(R\) no es un miembro de \(R\), automáticamente debe convertirse en miembro de \(R\), lo que nuevamente es una contradicción, por lo que tampoco es posible. Cada alternativa de sí o no nos lleva a la contraria y, por tanto, a una contradicción.

Esto es lo que conocemos como la paradoja de Russell. Esta paradoja ponía en entredicho la posibilidad de construir las Matemáticas sobre el fundamento de la lógica.

Para salir de estas contradicciones los lógicos zanjaron la cuestión estipulando que un conjunto que se contiene a sí mismo como elemento no se puede considerar como conjunto. Tema resuelto.

Dentro de las paradojas clásicas están las siguientes, que pasamos a comentar.

El barbero de Sevilla

En Sevilla hay un barbero que sólo afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. ¿Se afeitará el barbero a sí mismo?

Si se afeita a sí mismo, entonces por la primera parte de la afirmación, no debería afeitarse a sí mismo; pero si no se afeita a sí mismo, entonces por la segunda parte debería afeitarse a sí mismo. Claramente el continente no puede estar en el contenido.

La ciudad de los alcaldes

Supongamos que en un país se crea una ciudad que es habitada sólo por alcaldes de municipios del país. Mediante ley aprobada por el congreso se establece que todo alcalde sólo puede vivir en su propia ciudad o en la ciudad de los alcaldes. Como todo municipio debe tener un alcalde, la pregunta es: ¿en dónde vive el alcalde de la ciudad de los alcaldes?

Hay dos posibilidades:

  1. Que el alcalde viva en su propia ciudad; en este caso vivirá en la ciudad de los alcaldes, pero esto implica que el alcalde no vive en su propia ciudad.
  2. Que el alcalde no viva en su propia ciudad; en este caso vivirá en la ciudad de los alcaldes, que es precisamente su propia ciudad.

Como podemos darnos cuenta, ambas soluciones nos conducen a contradicciones.

Paradoja del Quijote

Sancho Panza es nombrado gobernador de la ínsula Barataria, en donde por ley toda persona que llega a esta ínsula debe explicar el motivo de su viaje. Si la persona dice la verdad, es puesta en libertad; si la persona miente, será ajusticiada. Uno que llega Barataria, afirma: estoy aquí para que me cuelguen. ¿Será ajusticiado?

Caben dos soluciones:

  1. Si lo que dice es falso, es ajusticiado, con lo que lo dicho es verdadero y por tanto no puede ser ajusticiado.
  2. Si lo que dice es cierto, debe ser colgado, pero esto es sólo válido si la frase es falsa, lo que vuelve a ser una contradicción. O sea, que no es ajusticiado y queda en libertad.

Paradoja del abogado

Un abogado concertó con sus alumnos que deberían pagarle por sus enseñanzas si y solo si ganaban su primer pleito. Uno de sus discípulos, que había terminado sus estudios, resolvió no aceptar ningún caso para de esta forma eludir el pago. El abogado lo demandó para obligarle a pagar. Si el alumno paga es porque perdió el caso y por tanto no ha ganado su primer pleito, lo que según las condiciones le exoneraría del pago. Si el alumno no paga es porque el resultado le favoreció y por tanto ganó su primer pleito, lo que le obliga a pagar.

Cerremos el tema con lo que afirma Cantor: "si en una paradoja estamos seguros de que no hay contradicciones, la dejaremos de llamar paradoja y la incorporaremos a las Matemáticas".

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El problema de las piedras mágicas

  • Publicado en Retos
Extraído del libro "Uno + uno son diez", de José María Letona.

En 1885 la expedición científica, dirigida por el eminente profesor Onarres Nabetse, a la Amazonia, para hacer un inventario de las hojas de los árboles, recogió, en sus cuadernos de campo, una bella historia que había sucedido en plena selva, en la tribu de los Licaf Recah, tribu de valientes guerreos que vivían de la pesca y la caza.

En ella se relata como su jefe, el viejo Anotel, sintiéndose cansado y viendo llegar el final de sus días, hizo llamar a sus dos hijos varones para proponerles un problema cuya solución determinaría cuál de los dos hijos le iba a suceder.

En Licaf Recah existía un mito relativo a piedras blancas y piedras negras. Las primeras significaban el bien y las segundas encarnaban el mal.

De esta forma, si querían ahuyentar los espíritus malignos, arrojaban cantos negros y si querían solicitar el amparo de los dioses, se guardaban piedras blancas.

Disponible en la cabaña sagrada, que ocupara un lugar preferente en el albero de la tribu, había dos sacos: uno con unas 2000 piedras negras y otro con una 2000 piedras blancas, a disposición de los integrantes de la tribu.

Hasta allí llevó Anotel a sus dos hijos a los que planteó el siguiente problema:

—Como véis, hijos —dijo con voz entrecortada por la emoción dle momento—, aquí están los sacos sagrados con sus piedras mágicas. Tendréis que coger un número, el que os parezca oportuno de piedras blancas y las introduciréis en el saco de las piedras negras. Una vez hecho esto las removeréis de forma que queden bien repartidas, procediendo después a coger la misma cantidad de piedras del saco de las negras y echarlas en el de las blancas, procediendo de nuevo a mezclarlas. De nuevo tomaréis una cantidad del saco de las blancas para echarlo en el de las negras y removeréis para que se mezclen lo mejor posible. Del saco de las negras tomaréis la misma cantidad para echarlo en el de las blancas. Y esto repetido 150 veces. Me diréis, al cabo de estas operaciones, si hay más piedras negras en el saco de las blancas o blancas en el saco de las negras.

Terminada su exposición, Anotel miró a cada uno de sus hijos para comprobar que habían entendido bien la propuesta de sucesión. Afirmaron con la cabeza y se pusieron a manipular las piedras con las normas establecidas.

Mientras trasvasaban piedras de un saco al otro, la hija de Anotel, Aluap Orenidrás, se acercó a su padre y en voz muy baja le habló de tal manera que el jefe de la tribu, levantándose de su trono, gritó:

—¡Dejadlo!, mi sucesor será mi hija Aluap, que me ha demostrado su capacidad para resolver problemas difíciles en el Licaf Recah.

¿Qué le había susurrado la bella Aluap a su padre Anotel?


La joven le dijo a su padre la solución que dedujo pasando a plantear el problema con su esquema más simple. Como en este caso, en múltiples ocasiones el problema que nos plantean resulta difícil por su tamaño, por presentar demasiados elementos que lo hacen enrevesado y lo que procede es hacer la simplificación que se planteó Aluap: supongamos que trasvasamos solo una piedra negra al saco de las piedras blancas. Removemos y sacamos una que puede ser la negra que hemos introducido o una de las blancas que hay en el saco. Si fuera la negra, al meterla de nuevo en el saco de las negras, tendríamos tantas blancas en el saco de las negras como negras en el saco de las blancas, es decir, ninguna. Si la que hemos sacado después de remover es blanca y la metemos en el saco de las negras, es claro que tendremos tantas blancas en el saco de las negras como negras en el saco de las blancas, es decir, una.

Dicho esto, la respuesta es que, en cualquier caso, las negras en el saco de las blancas serán las mismas que las blancas en el saco de las negras.

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Los gongs de Ganimedes

  • Publicado en Retos

Este artículo se ha extraído del libro "Juegos y enigmas de otros mundos", de Martin Gardner


Los antiguos cultos rara vez desaparecen. Tienen la característica de resurgir de las cenizas como el legendario Ave Fénix. Así fue como a mediados del siglo XXII, por una agradable coincidencia que tuvo lugar en Fénix, Arizona, el doctor Matrix III, biznieto del famoso numerólogo, revivió la Antigua Hermandad Pitagórica.

En el año 2153, el doctor Matrix III y varios centenares de miembros de la Iglesia de Pitagorología, emigraron a Ganimedes, la luna más grande de Júpiter. En realidad, es la más grande del sistema solar y hasta supera a Titán, aunque es mucho menos densa. La Iglesia estableció la base debajo de una enorme cúpula geodésica en el centro de un gran cráter.

Eligieron Ganimedes no sólo por su tamaño, sino por su extraordinaria "llave de resonancia", con dos satélites hermanos, las lunas gigantes Ío y Europa. Ganimedes gira en órbita alrededor de Júpiter en aproximadamente una semana terrestre. Europa completa el circuito en la mitad de lo que tarda Ganimedes, e Ío en exactamente la mitad de lo que tarda Europa. Esta "llave" de porcentaje 1:2:4 es la única llave triple que se conoce para los tres cuerpos astronómicos. Ganimedes parecía un sitio ideal para la colonia porque los modelos de números naturales están en el alma de la Pitagorología.

Al cumplir 21 años terrestres (21 es la suma de los cuadrados de 1, 2 y 4) todo hombre y mujer de la colonia debe realizar un viaje ceremonial alrededor del borde interno del cráter. La longitud del camino circular es exactamente de 21 kilómetros. Hay cinco estatuas de águilas separadas a distancias enteras (en km) a lo largo de este sendero. Recuerdan a la gran águila que llevó a Ganimedes, un hermoso joven troyano, al monte Olimpo, donde se convirtió en copero de los dioses. Una de las águilas es de oro y las otras cuatro son de bronce. Junto a cada águila hay una pequeña cúpula donde el caminante puede conseguir alimentos y albergue para pasar la noche. Dentro de cada cúpula hay un enorme gong de bronce.

La marcha ceremonial comienza en el águila de oro. Si el caminante es varón, viaja alrededor del sendero en el sentido de las agujas del reloj. Se detiene en la primera águila de bronce, entra en la cúpula y toca el gong tantas veces como el número de kilómetros que acaba de caminar. Mientras resuena el sonido, medita sobre el significado pitagórico secreto de ese número. Luego sigue hasta la próxima águila, donde nuevamente toca el gong tantas veces como los kilómetros que recorrió desde la última águila, mientras medita sobre este segundo número. El ritual se repite en cada águila hasta que regresa a la estatua de oro de donde partió. Habrá tocado cinco gongs y habrá meditado sobre cinco números enteros diferentes.

Ahora el hombre comienza la segunda fase de su camino y continúa en el sentido de las agujas del reloj, pero esta vez se detiene cada dos águilas. Como antes, toca el gong tantas veces como la cantidad de kilómetros que acaba de recorrer. Dos circuitos alrededor del camino lo llevan de regreso al águila de oro. Habrá tocado cada gong una vez y habrá meditado sobre cinco números más sin que ninguno duplique al anterior. En la tercera fase del camino se detiene cada tres águilas y sigue el mismo procedimiento. Esto lo lleva de vuelta a la estatua de oro después de tres circuitos. Luego se detiene cada cuatro águilas y regresa al águila de oro después de cuatro circuitos. La quinta y última caminata lo lleva sólo una vez alrededor del camino hasta la quinta estatua, que por supuesto es la de oro. Allí toca el gong 21 veces mientras medita sobre la belleza y el misterio del 21.

Las cinco águilas están dispuestas hábilmente. Cuando el hombre complete once circuitos habrá honrado cada número entero del 1 al 21, aunque no en orden consecutivo. Las mujeres que realizan la caminata deben marchar en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los hombres toman la dirección inversa de las lunas más alejadas de Júpiter. Las mujeres siguen la dirección de Ganimedes, Europa e Io, las más cercanas de las Grandes Cuatro: las lunas gigantes que descubrió Galileo.

Hay una y sólo una forma (sin considerar como diferente el reverso de un espejo) de disponer las cinco águilas para que la marcha ceremonial sea posible. (Por supuesto, si funciona en una dirección, también funciona en la otra.)

Podemos describir el problema de la siguiente manera:

Coloque cuatro puntos más en el camino de 21 kilómetros que muestra la figura para que cada número entero del 1 al 20 corresponda a la distancia del círculo.

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El misterio del reloj que se paró

  • Publicado en Retos

Sarogatip, de origen griego como su amigo Petros, el estudioso de la conjetura de Goldbach, vivía en un lugar separado y solitario, dedicándose al estudio sobre la teoría de fractales.

Allí era feliz, con una vida sin complicaciones, dedicada a la investigación sobre los trabajos de Cantor, y a la realización de sus muy demandadas publicaciones matemáticas.

Su vida se regía, escrupulosamente, por un reloj dictador, colgado de una de las paredes del despacho, que disponía de una sonería deliciosa que no olvidaba ni los cuartos ni las medias.

Ese sistema de control del tiempo le era suficiente, por lo que no disponía de ningún otro reloj, ni de pulsera ni de bolsillo.

Su reloj de pared era de gran exactitud, sólo se paraba si su dueño olvidaba darle cuerda. Cuando sucedía esto, iba a casa de un amigo suyo, aprovechaba para pasar la tarde con él y regresar de noche a casa; eso sí: antes de que fuera de noche.

Al llegar a su casa ponía su reloj de pared a la hora exacta.

¿Cómo era posible esto sin saber de antemano el tiempo que tardaba en el camino?

Si crees tener la solución puedes dejarla en la página de contacto.

Transcribo literalmente el mensaje. Muy bien Víctor, y muchas gracias por la aportación.

Al salir de su casa para ir a casa de su amigo miró la hora que era, cuando llegó a casa de su amigo miró la hora para ver cuanto tiempo tardaba de su casa a la de su amigo. Antes de volver a su casa volvía a mirar la hora que era para sumarle el tiempo que había tardado al ir. Así sabía la hora que era.

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El manicomio

  • Publicado en Retos

No era normal en el mundo de la ciencia. Era la excepción. Pero M. Warletinskaya, joven y muy bella, estaba considerada como una de las más sobresalientes matemáticas de este siglo XXI. Sus trabajos sobre lógica le habían granjeado numerosos premios incluido, en el 2006, la medalla Fields, como premio a su labor en la rama de la lógica matemática.

Aquel verano de 2007, cuando en la T4 de Barajas esperaba un vuelo de Iberia con destino a Estambul, donde pensaba pasar quince días saboreando las bellezas históricas y monumentales de la antigua Constantinopla, la megafonía la requirió con urgencia a la ventanilla de información de Aena.

Sorprendida y preocupada, recogió su pequeña mochila y salió rápidamente para conocer la causa de la llamada.

En la mesa de información le comunicaron que era requerida su presencia en el manicomio de Ciempozuelos por asunto grave, y que allí ya le daría una explicación la Policía Nacional.

Nunca antes había tenido que ver con un psiquiátrico, ni tenía parientes enfermos que pudieran haber sido hospitalizados. Esta reflexión la tranquilizó pensando que la querían para consulta de algo en lo que pudiera pensarse que sus conocimientos pudieran ser útiles.

Efectivamente fue así. Se la requería para que investigase si había algo de anormal en la institución mental que requiriese de actuaciones legales y policiales.

El psiquiátrico era de esos en que los únicos habitantes eran pacientes y médicos; los médicos constituían la totalidad del personal técnico. Cada habitante, paciente o médico, o bien estaba loco, o bien era cuerdo.

Además, los cuerdos eran totalmente cuerdos y un cien por cien exactos en todas sus creencias; sabían que todas las proposiciones verdaderas eran verdaderas y sabían que todas las proposiciones falsas eran falsas. Sin embargo, los enfermos mentales eran completamente inexactos en sus creencias; creían que todas las proposiciones verdaderas eran falsas y que todas las falsas eran verdaderas.

También se sabía que todos los habitantes tenían la virtud de ser sinceros; dijeran lo que dijeran, siempre lo creían.

Conocidos estos datos la profesora Warletinskaya se acercó a un habitante del manicomio y le preguntó:

- ¿Es usted un paciente?

- Sí -respondió él.

Warletinskaya se volvió al comisario de policía que le acompañaba y le dijo:

- Hay que tomar medidas de inmediato, en este manicomio hay serios problemas.

¿Como supo la eximia profesora que había problemas?

La solución me la envía Santi, un antiguo alumno de 2º de Bachillerato. Ahora ya está en la facultdad. Muchas gracias Santi, transcribo literalmente el mensaje que me enviaste.

Obviamente, la respuesta nunca podría ser "Sí", ya que si hubiese preguntado a una persona cuerda la respuesta sería "No", puesto que dicen siempre la verdad. Y si hubiera preguntado a un loco, la respuesta sería "No", puesto que lo son y creen que lo verdadero es falso y lo falso, verdadero.

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