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La paradoja de Zenón

El filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas. Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja del corredor, se puede exponer de la manera siguiente:

Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que recorrer la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte y así sucesiva e indefinidamente.

paradoja zenon 01

Zenón pensó, evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con más detalle se supone que el corredor parte del punto marcado con 1 (ver figura anterior) y corre hacia la meta marcada con 0. Las posiciones indicadas por \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\ldots\), etc., señalan la fracción de carrera que se ha de recorrer todavía cuando se alcanza el punto marcado. Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada vez más pequeñas. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la suma total de todas estas cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número finito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.

La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener suma finita, fue contradicha 2000 años más tarde con la creación de la teoría de series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la "suma" de un conjunto de infinitos números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de las dificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con más detalle.

Supongamos que el corredor antes mencionado, corre a velocidad constante y que necesita \(t\) segundos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará \(\frac{t}{2}\) segundos, para el octavo siguiente \(\frac{t}{4}\) segundos y en general para la parte comprendida entre \(\frac{1}{2^n}\) y \(\frac{1}{2^{n+1}}\) necesitará \(\frac{t}{2^n}\) segundos. La "suma" de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

Este es un ejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir su es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.

La experiencia física dice que el corredor que corre a velocidad constante alcanzará su meta en un tiempo doble del que necesitaba para alcanzar su punto medio. Puesto que necesita \(t\) segundos para la mitad del recorrido, tendrá que emplear \(2t\) segundos para el recorrido completo. Este razonamiento sugiere que se debe asignar la "suma" \(2t\) a la serie anterior, esperando que la igualdad

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots=2t\]

pueda ser "valida" en algún sentido.

La teoría de las series infinitas precisa cómo se ha de interpretar esta igualdad. La idea es la siguiente: primero se suman un número finito de términos, los \(n\) primeros, indicando esta suma por \(\{s_n\}\). Así se tiene:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^{n-1}}\right\}\]

y esta suma se denomina suma parcial n-sima o sucesión de sumas parciales. Se estudia después el comportamiento de \(\{s_n\}\) cuando \(n\) toma valores cada vez más grandes. En particular se trata de determinar si la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\) es convergente, es decir, si tiende a un límite finito.

En este caso es fácil ver que el valor límite de las sumas parciales es \(2t\). En efecto, calculando algunas de estas sumas parciales se tiene:

\[s_1=t\ ,\quad s_2=t+\frac{t}{2}=\frac{3}{2}t\ ,\quad s_3=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}=\frac{7}{4}t\ ,\quad s_4=t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\frac{t}{8}=\frac{15}{8}t\]

Se observa que estos resultados se pueden expresar como sigue:

\[s_1=(2-1)t\ ,\quad s_2=\left(2-\frac{1}{2}\right)t\ ,\quad s_3=\left(2-\frac{1}{4}\right)t\ ,\quad s_4=\left(2-\frac{1}{8}\right)t\]

lo cual conduce a pensar en una fórmula general de la forma

\[\{s_n\}=\left\{\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)t\right\}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\qquad(1)\]

La fórmula anterior se comprueba fácilmente por inducción. Puesto que \(\{\frac{1}{2^{n-1}}\}\rightarrow0\), resulta que \(\{s_n\}\rightarrow2t\). Por tanto, la igualdad anterior es "cierta" si se interpreta que \(2t\) es el límite de la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\). Este proceso de límite parece invalidar la objeción de Zenón que la suma de un número infinito de intervalos de tiempo no puede ser nunca finita.

Ahora daremos un argumento que proporciona un apoyo considerable al punto de vista de Zenón. Supongamos que en el anterior análisis de la paradoja del corredor se hace un pequeño pero importante cambio. En vez de considerar la velocidad constante, supongamos que decrece gradualmente de manera que necesita \(t\) segundos para de \(1\) a \(\frac{1}{2}\), \(\frac{t}{2}\) para ir de \(\frac{1}{2}\) a \(\frac{1}{4}\), \(\frac{t}{3}\) segundos para ir de \(\frac{1}{4}\) a \(\frac{1}{8}\), y en general \(\frac{t}{n}\) segundos para ir de \(\frac{1}{2^{n-1}}\) a \(\frac{1}{2^n}\). El tiempo total que necesitará para la carrera, vendrá ahora representado por la siguiente serie infinita:

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

En este caso, la experiencia física no sugiera ninguna "suma" obvia o natural para asignar a dicha serie y por tanto este ejemplo hay que estudiarlo desde un punto de vista completamente matemático.

Igual que antes, se introduce la sucesión de sumas parciales \(\{s_n\}\), es decir:

\[\{s_n\}=\left\{t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}\right\}\qquad(2)\]

y se trata de ver qué ocurre a \(\{s_n\}\) cuando \(n\) crece indefinidamente. Esta suma parcial no es tan fácil de estudiar como la anterior, pues no existe una fórmula análoga a la fórmula \((1)\) que simplifique la expresión del segundo miembro de \((2)\). Sin embargo, por comparación de estas sumas parciales con una integral apropiada se puede ver que toman valores tan grandes como se quiera.

En la figura siguiente se ve parte de la hipérbola \(f(x)=\frac{1}{x}\) para \(x>0\). Los rectángulos dibujados, tienen un área total igual a la suma

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\]

paradoja zenon 02

El área de la región determinada por la hipérbola y el intervalo \([1,n+1]\) es

\[\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(n+1)\]

y puesto que esta área no puede exceder la suma de las áreas de los rectángulos, se tiene la desigualdad

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\geqslant\ln(n+1)\]

Multiplicando ambos miembros por \(t\) se obtiene \(s_n\geqslant t\ln(n+1)\). Es decir, si la velocidad del corredor decrece tal como se ha indicado anteriormente, el tiempo necesario para alcanzar el punto \(\frac{1}{2^n}\) es por lo menos \(t\ln(n+1)\) segundos. Puesto que \(\ln(n+1)\) al crecer \(n\) toma valores tan grandes como se quiera (\(\{\ln(n+1)\}\rightarrow+\infty\)), se cumple en este caso la paradoja de Zenón, es decir, que el corredor no alcanzará la meta en un tiempo finito.

La teoría general de series infinitas hace una distinción entre series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{4}+\ldots+\frac{t}{2^n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales tiende a un límite finito, y series como

\[t+\frac{t}{2}+\frac{t}{3}+\ldots+\frac{t}{n}+\ldots\]

cuyas sucesión de sumas parciales no tiene límite finito (no es convergente).

Las primeras se denominan convergentes y las segundas divergentes. Los primeros investigadores en este dominio ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia y divergencia. Trataban las series infinitas como si fueran sumas ordinarias finitas, sujeta a las leyes usuales del Álgebra sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse universalmente a las series infinitas. Por eso no es sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de los primeros resultados obtenidos fueran incorrectos. Afortunadamente, muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y destreza poco frecuentes, que les evitaba llegar a conclusiones falsas, aunque ellos no pudieran justificar sus métodos. Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar preeminente Leonard Euler. Euler descubría fórmula tras fórmula, a cual más interesante, y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto unificador de diversas ramas de la Matemática que hasta entonces estaban sin relacionar. La gran cantidad de trabajos de Euler que han sobrevivido al paso del tiempo es un tributo a su notabilísimo instinto de lo matemáticamente correcto.

La extensión del uso de las series infinitas empezó más tarde en el siglo XVII, cerca de cincuenta años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el principio del desarrollo del Cálculo Integral, Nicholas Mercator (1620-1687) y William Brouncker (1620-1684) descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al intentar calcular el área de un segmento hiperbólico. Poco después, Newton descubrió la serie binómica. Estos descubrimientos constituyen un punto fundamental de la historia de la Matemática. Un caso particular de la serie binómica es el conocido teorema del binomio que afirma que:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\]

donde \(x\) es un número real arbitrario, \(n\) un entero no negativo, y \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial. Newton encontró que esta fórmula, válida para valores enteros de \(n\) se podía extender a exponentes reales cualesquiera, sustituyendo la suma finita del segundo miembro, por una serie finita conveniente, si bien no lo demostró. Efectivamente, en un estudio cuidadoso de la serie binomial surgen algunas cuestiones bastante delicadas de convergencia a las que no se podía responder en la época de Newton.

Poco después de la muerte de Euler en 1783, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a disminuir y el período formal en las historia de las series llegó a su término. Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía, por primera vez en la historia, un estudio riguroso de la convergencia de algunas series infinitas. Pocos años más tarde, Cauchy introdujo una definición analítica del concepto del límite en su tratado Curso de Análisis algebraico (publicado en 1821), y expuso los fundamentos de la teoría moderna de convergencia y divergencia. Dedicaremos algunos artículos a exponer los aspectos básicos de esta teoría.

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Los grandes matemáticos

"Los grandes matemáticos" es el título de un libro escrito por Eric Temple Bell (1883-1960), publicado por la editorial Losada. Eric Temple Bell emigró de Escocia, su tierra natal, a los Estados Unidos, donde fue profesor del Instituto de Tecnología de California. Como matemático, hizo grandes aportes en el campo de la Teoria de números, aunque es más recordado por sus libros de historia de las matemáticas. Escribió también textos de ciencia ficción con el grandes matematicosseudónimo de John Taine.

El libro comienza con una serie de citas bajo el título "Ellos dicen lo que dicen. Dejadlos decir" (Lema del Marischal College, Aberdeen). La primera y última de las citas son de Alfred North Whitehead, matemático y filósofo inglés, y dicen así:

"La ciencia de la Matemática pura en su desarrollo moderno puede pretender ser la creación más original del espíritu humano".

"Es una buena regla afirmar que cuando un matemático o un filósofo escribe con una brumosa profundidad está diciendo algo carente de sentido".

A la serie de citas de eminentes matemáticos sigue una introducción en la que Bell expresa el objetivo de su obra:

"Las vidas de los matemáticos aquí presentados están dirigidas al lector común y a aquellos otros que quieren saber qué tipo de seres humanos son los hombres que han creado la Matemática moderna. Nuestro objetivo es dar a conocer algunas de las ideas dominantes que gobiernan amplios campos de las Matemáticas y hacerlo a través de las vidas de los hombres de los autores de estas ideas.

Para seleccionar los nombres se han seguido dos criterios: la importancia para la Matemática moderna de la obra de un hombre y el sentido humano de la vida y carácter del hombre. Algunos matemáticos pueden ser estudiados siguiendo estos dos criterios, por ejemplo: Pascal, Abel y Galois; otros, como Gauss y Cayley, principalmente atendiendo al primero, aunque ambos tienen vidas interesantes. Cuando estos criterios chocan o se superponen, como es el caso cuando hay varios pretendientes al recuerdo de un progreso particular, se ha dado preferencia al segundo criterio, pues aquí nos interesan los matemáticos, en primer término, como seres humanos".

Esto último tiene que ver con una cita de Karl Weierstrass, segun la cual "un matemático que no tega también algo de poeta jamás será un completo matemático".

El libro consta, tras la introducción, de 28 capítulos más. Son los siguientes.

  • Mentes modernas en cuerpos antiguos. Zenón (siglo V a.C.), Eudoxio (408-355 a.C.), Arquímedes (287?-212 a.C.).
  • Gentilhombre, soldado y matemático. Descartes (1596-1650).
  • El príncipe de los aficionados. Fermat (1601-1665).
  • "Grandeza y miseria del hombre". Pascal (1623-1662).
  • En la playa. Newton (1642-1727).
  • Maestro de todos los oficios. Leibniz (1646-1716).
  • ¿Naturaleza o educación? Los Benouilli (siglos XVII y XVIII).
  • La encarnación del análisis. Euler (1707-1783).
  • Una inmensa pirámide. Lagrange (1736-1813).
  • De campesino a presumido. Laplace (1749-1827).
  • Amigos de un emperador. Monge (1746-1818), Fourier (1768-1830).
  • El día de gloria. Poncelet (1788-1867).
  • El príncipe de la Matemática. Gauss (1777-1855).
  • Matemáticas y molinos de viento. Cauchy (1789-1857).
  • El Copérnico de la Geometría. Lobatchewsky (1793-1856).
  • Genio y pobreza. Abel (1802-1829).
  • El gran algorista. Jacobi (1804-1851).
  • Una tragedia irlandesa. Hamilton (1805-1865).
  • Genio y estupidez. Galois (1811-1832).
  • Gemelos invariantes. Sylvester (1814-1897), Cayley (1821-1895).
  • Maestro y discípula. Weierstrass (1815-1819), Sonja Kowalewsky (1850-1891).
  • Independencia completa. Boole (1815-1864).
  • El hombre, no el método. Hermite (1822-1901).
  • El hombre que duda. Kronecker (1823-1891).
  • Ánima cándida. Riemann (1826-1866).
  • Aritmética, lo segundo. Kummer (1810-1893), Dedekind (1831-1916).
  • El último universalista. Poincaré (1854-1912).
  • ¿Paraíso perdido? Cantor (1845-1918).

El libro se lee de manera muy amena y lo considero muy recomendable, sobre todo para aquellas personas que deseen conocer al matemático no solo como investigador de las matemáticas, sino como ser humano.

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Al-Juarismi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

Bagdad, siglo VIII

Una nueva civilización se acaba de abrir paso en la historia. Arrancó de Arabia hace dos siglos a partir de innumerables tribus nómadas que fueron aglutinadas por la fe de un profeta y el magnetismo de un libro revelado. Hoy, aquel incipiente estado se ha expandido hacia el este mirando a Oriente. Y también ha conquistado Jerusalén y Damasco. Todo el norte de África incova ya al profeta, y también gran parte de la península Ibérica. El mundo musulmán se extiende ya dede la India hasta los Pirineos.

La dinastía Omeya, la fundadora, ha sido destronada por la Abasí. Tres nombres aparecen, tres califas: Al-Mansur, que ha fundado Bagdad y la ha hecho capital, en lugar de la antigua Damasco. Aquí erige la Casa de la Sabiduría, donde las ciencias comienzan a florecer. Al segundo califa, Harún al-Rashid, nos lo ha presentado Scheherezade en numerosas veladas de Las mil y una noches: «He llegado a saber que en tiempo del califa Harún al-Rashid vivía en la ciudad de Bagdad un hombre llamado Simbad...», comienza uno de sus relatos. Su reinado fue el periodo de mayor esplendor cultural, al decir de los historiadores. Por eso se evoca su nombre en cuentos y leyendas. Con el ardor de los pueblos que despiertan, se han traducido al árabe manuscritos griegos, sirios y persas. Pero es en el califatod de Al-Mamún, su hijo, cuando la fiebre traductora alcanza su cima. Llegan textos de la India, en sánscrito, que son de la civilización griega, fruto de las relaciones comerciales con el imperio bizantino. Bagdad hizo con la cultura clásica lo que haría la Escuela de Traductores de Toledo más adelante.Al-Mamún y un enviado de Bizancio. De la 'Crónica de Juan Skylitzes'

Gracias a estos tres califas benefactores —que el Clemente, el Misericordioso, conserve sus nombres— Bagdad tuvo tiempo suficiente para que sus mejores hijos —originarios de todos los confines del imperio— la convirtiesen en una nueva Alejandría. En esa misma época, Occidente, a pesar de estar unido por el latín, no supo preservar el legado científico clásico. La Iglesia fue la única institución que no se desintegró y que mantuvo cierto impulso intelectual en los monasterios. Pero el monje, incluso el más instruido, tendía en su erudición más al negocio de la salvación del alma que a la filosofía natural. Solamente hubo una tentativa de revivificación cultural con Carlomagno, con la reinstauración de un programa de estudio: el Trivium (gramática, retórica y dialéctica) y el Quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música), heredados de la antigüedad clásica. A pesar de ello, el interés por el saber había desaparecido en el mundo occidental.

Debemos, pues, volver a Bagdad, ya en el siglo IX. Es una ciudad culta y mágica. Aquí, ya se sabe, la gente cruza el Tigris volando sobre alfombras. Y se buscan piedras filosofales y elixires de eterna juventud, a la vez que se traduce a Euclides, se estudia el Almagesto de Ptolomeo y se copian las obras de Arquímedes. En esta ciudad desarrolló su labor creativa Al-Juarismi.Al-Juarismi (780 Uzbekistán - 850 Bagdad)

Al-Juarismi escribió un libro que habría de tener gran influencia posterior en Europa. El original árabe se ha perdido y lo conocemos por una copia latina del siglo XII: Algoritmi de Numero Indorum (El arte indio del cálculo de Al-Juarismi). Como se ve en el título, se ha latinizado el nombre del autor. De él derivará la palabra moderna algoritmo.

En el libro se describe pormenorizadamente el sistema indio de numeración, con los 10 dígitos —incluido el cero—, y basado, como hoy, en que el valor de cada cifra depende de su posición: en \(444\) cada \(4\) es diferente (\(4\) centenas, \(4\) decenas y \(4\) unidades). Se describen asimismo las reglas para realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Y esto es lo más importante, porque ha de recordarse que con el sistema romano se podían escribir números, sí, pero no había manera de calcular: la tarea de sumar era difícil, la de multiplicar solo era posible para los sabios y la de dividir... estaba reservada casi únicamente a los dioses. Hoy día, un niño necesita únicamente pronunciar las palabras mágicas de su tabla de multiplicar y un algoritmo, automático y obediente, proporciona el resultado.Margarita Philosophica (de Gregor Reisch)

No obstante, los nuevos métodos tardaron en implantarse y el antiguo sistema romano siguió usándose en Europa durante gran parte de la Edad Media. En la figura de la derecha se muestra, en el centro, a la musa de la aritmética; Boecio, a la izquierda, simbolizando la escritura decimal, sonríe por haber acabado una operación; a la derecha, el griego Pitágoras intenta hacer lo mismo con un ábaco, con poco éxito, según el pintor. La pintura, de 1508, evidencia que la supremacía de la escritura decimal posicional, frente a la romana, no era aún reconocida por todos en esa época.

'Al-Jabr' o el Álgebra

La obra más importante de Al-Juarismi lleva el impresionante título de Al-kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, que más o menos dice: Libro sobre el método de cálculo consistente en restaurar y equilibrar.

El titulo parece la expresión de un conjuro que hay que pronunciar, mientras se frota una vieja lámpara, para liberar un genio prisionero. Y en verdad así es, pues en el interior del libro, el genio nos revela las fórmulas —¿de alquimia?— para resolver las ecuaciones de primero y segundo grado. Lo hace a través de una colección de problemas de aritmética —sobre herencias, transacciones comerciales, etc.— que resuelve mediante ecuaciones.

Página de 'Al-Kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala'La obra nos ha llegado en dos versiones, una árabe una traducción latina, llamda Liber algebrae et almucabala. Sorprende que la versión latina sea más completa. También hay que hacer notar que en esta se omite el prólogo, que sí aparece en la versión árabe. El lector puede imaginar el porqué: es una prudente forma de evitar las preceptivas loas a Mahoma y al Comendador de los Creyentes, a la sazón Al-Mamún. La palabra "álgebra" tiene su origen en al-jabr, presente en el título, que, en árabe, era un término médico: "restaurar y curar huesos fracturados". Esta palabrá pasó a Europa en su traducción latina a través de España y hoy es similar en todos los idiomas europeos.

Todavía pdemos encontrar un vestigio de este antiguo significado en nuestra lengua. En el diccionario de la Real Academia aparece esta acepción: "Arte de restituir los huesos dislocados. Y "algebrista" —en versión árabe— es lo mismo que "traumatólogo" —en versión griega—.

En el capítulo XV del Quijote se alude a la victoria del ingenioso hidalgo sobre el Caballero de los Espejos (que era en realidad el bachiller Sansón Carrasco):

[...] ufano y vanaglorioso iba Don Quijote por haber alcanzado vitoria de tan valiente caballero [...]

Del vencido caballero y de su escudero sigue narrando Cervantes que

[...] llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado [...]

Las ecuaciones

Al-Jabr proporciona un estudio exhaustivo de las ecuaciones de segundo y primer grado. Las clasifica en sesis tipos, que resuelve, con algoritmos —nunca mejor dicho— precisos. Pero, como dice él mismo, es necesario acudir a la geometría para demostrar el método. ¿Estará inspirándolo Arquímedes?

He aquí su clasificación después de haber transformado las ecuaciones hasta tener solo sumas (ninguna resta):

 \(ax^2=bx\) \(ax^2=c\)  \(bx=c\) 
 \(ax^2+bx=c\) \(ax^2+c=bx\)  \(bx+c=ax^2\) 

Las dos soluciones de cada ecuación se hallan completando cuadrados. Pero solo considera las positivas.

Hay que decir que la lectura es difícil, porque todavía no existe una notación sincopada (abreviada, simbólica) para los cálculos. Estos se describen con palabras. Incluso para los números usa su nombre en vez de su signo.

El lector puede combrobar por sí mismo cómo narra la resolución de la ecuación de segundo grado \(x^2+10x=39\).Texto de una edición del 'Al-Jabr' de 1968, donde se lee cómo resolver la ecuación x^2+10x=39

Y he aquí la justificación geométrica que aporta él mismo: la incógnita \(x\), la xai, está representada por el lado del cuadrado en blanco (obsérvese la figura de más abajo). Con ello transforma \(x^2\) en un área. Para conseguir otra área igual a \(10x\), descompone \(10\) en \(4\times2,5\) y añade los cuatro rectángulos de lados \(x\) y \(2,5\). Ya tenemos representado el primer miembro. A continuación añade los cuatro cuadrados de las esquinas y obtiene el cuadrado grande. Es decir:aljuarismi06\[x^2+10x+4\times2,5^2=39+4\times2,5^2\Rightarrow(x+5)^2=64\Rightarrow x+5=8\]

Un último ejemplo

Otra ecuación que se resuelve en el libro es \(x^2+21=10x\). Hoy, sin miedo a los negativos, la escribiríamos así \(x^2-10x+21=0\).

Nuestros estudiantes aprenden que cuando el coeficiente de la \(x\) es par, es decir, cuando tenemos \(ax^2+2b'x+c=0\), conviene expresar la fórmula que proporciona las raíces así: \(\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}\), pues con ella los cálculos se simplifican notablemente. En nuestro ejemplo queda: \(x=5\pm\sqrt{5^2-21}\). Pues bien, esta fórmula era conocida por Al-Juarismi. Dejemos que él hable:

La regla exige que tú reduzcas a la mitad el número [el coeficiente] de la \(x\), lo cual da \(5\). Multiplica este número por sí mismo y tienes \(25\). Resta \(21\) del cuadrado, y quedará \(4\). Extrae la raíz, de donde obtendrás \(2\), y sustrae este \(2\) de la mitad del número de la \(x\), o sea, de \(5\). Así te queda \(3\). Esta es la raíz que buscas...

De forma análoga, continúa dando la pauta para obtener la segunda raíz, que resulta ser \(7\). Y advierte inmediatamente de que si la resta que aparece en el radicando fuese cero, habría una sola raíz; y si esa resta no pudiera efectuarse, no habría solución: ¡discusión completa del discriminante!

Como los griegos, Al-Juarismi incluye difíciles demostraciones geométricas para sus reglas. Ello suscita nuestra admiración, pero la geometría no deja de lastrar aquí el advenimiento definitivo del lenguaje algebraico, ese que, pasado el tiempo, cobrará vida propia, pensará por nosotros y tomará las riendas del discurso. Habría que pasar mucho tiempo, empero, hasta que en Occidente las semillas de la India, Persia y Grecia, traídas por el viento del desierto árabe, germinasen definitivamente en el Renacimiento.

... y la justificación geométrica

El lector meticuloso habrá echado de menos el razonamiento dado por Al-Juarismi para la resolución de \(x^2+21=10x\). Helo aquí:aljuarismi07

1. Se traza un cuadrado de lado \(x\) y área \(x^2\) (arriba, a la izquierda).

2. Con un lado común al cuadrado, se traza un rectángulo de área \(21\) (arriba, a la derecha). El área del rectángulo conjunto resultante ha de ser, según la ecuación, igual a \(10x\), luego su base es \(10\).

3. Trazamos la mediatriz del segmento base de este gran rectángulo y formamos el nuevo cuadrado, grande, de lado \(5\). Formamos también un cuadrado interior al anterior de lado \(5-x\). Los dos rectángulos marcados con la letra \(A\) tienen las mismas dimensiones y, en consecuencia, la misma área.

4. El área del cuadrado de lado \(5\) puede ahora expresarse de dos formas:

\[5^2=21+(5-x)^2\Rightarrow 4=(5-x)^2\Rightarrow 2=5-x\Rightarrow x=3\]

Para encontrar la otra raíz, no seremos nosotros quienes privemos al conspicuo lector del placer de idear por sí mismo una figura adecuada...

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pi antes de pi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

El pasaje de la Biblia que es quizá el más citado por los matemáticos no proviene, como el lector tal vez pueda esperar, del Libro de los Números, sino del Libro de los Reyes. En la versión clásica de Reina-Valera dice así:

Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Reyes I, 7:23

Si hemos de entender de un lado al otro como la medida del diámetro y que el cordón de alrededor representa la medida de la circunferencia, esos números no pueden ser más que aproximaciones. Un diámetro de \(10\) codos solamente es compatible con una circunferencia de más de \(31\) codos, pues, como sabemos

\[l=\pi\cdot d\]

donde \(l\) es la longitud de la circunferencia, \(d\) el diámetro de la misma y \(\pi=3,14159265358979\ldots\)

El Libro de los Reyes no es, ni pretende ser, un tratado de geometría, de forma que la cita tiene solo un valor descriptivo. No se pueden tomar esos números como literalmente exactos, igual que no se puede tomar con su sentido literal la palabra mar, o los siete días de la creación del mundo, por poner otro ejemplo.

Otros documentos de la época del Libro de los Reyes (hacia el siglo VII a.C.) muestran un mejor conocimiento de las proporciones circulares. Pero quienes escribieron el Libro de los Reyes no estaban interesados en las matemáticas, ni probablemente tenían conciencia de que existiese una relación constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

¿Qué se sabía sobre la existencia del número \(\pi\) antes de que la cultura griega clásica empezase a arrojar luz sobre él?

En unas excavaciones en la ciudad de Susa, en lo que fue Mesopotamia, se descubrió una tablilla de barro con unas inscripciones cuneiformes que los expertos han datado en unos 1600 años a.C. Para nuestros intereses, lo que viene a asegurar esa tablilla es que para calcular una circunferencia se debe multiplicar su diámetro por \(3+\dfrac{1}{8}=3,125\).

Para fines prácticos, usar \(3+\dfrac{1}{8}\) da una aproximación muy útil: el error es poco más del \(0,5\,\%\). Incluso usar \(3\) es aceptable en la práctica, y otras tablillas mesopotámicas dan instrucciones para que así se haga. Pero lo realmente interesante es que implícitamente se afirma que la relación entre la circunferencia y el diámetro es constante, es igual para todas las circunferencias, sin que importe su tamaño. Es decir, que saben que existe \(\pi\).

Uno de los documentos matemáticos más antiguos que se conocen es el papiro de Rhind. El egiptólogo escocés Henry Rhind lo compró en un mercado de Luxor en 1858 y hoy se conserva en el Museo Británico. En él se describen soluciones a una serie de problemas con cálculos sencillos y geometría elemental. Fue escrito por el escriba Ahmes en Egipto, alrededor del año 1650 a.C. Lo que hizo Ahmes, sin embargo, fue solo copiar un papiro anterior y su contenido original bien podría ser varios siglos anterior.

El papiro Rhind tiene dos entradas que tratan del área del círculo. Recordemos que para obtener el área \(A\) de un círculo hay que multiplicar el número \(\pi\) por el cuadrado del \(r\):

\[A=\pi\cdot r^2\]

Estamos, por tanto, cambiando no solo de documento, de lugar y de siglo, sino de foco de interés: antes hablábamos de la longitud de la circunferencia y ahora del área del círculo.

En el problema 48 del papiro se describe la siguiente forma de calcular el área de un círculo: considerarla igual a la del octógono de la siguiente figura:

pi antes pi 01

Esta ya no es una mera estimación experimental, es decir, no se puede haber obtenido mediante medidas directas, sino que es un razonamiento geométrico, aunque sea solo aproximado y basado en la intuición visual. Y este no es un método con números, sino con figuras.

¿Hasta qué punto es buena esta aproximación? Calculemos un poco. El octógono consta de \(5\) "cuadraditos" enteros y \(4\) mitades: en total \(7\) "cuadraditos". Así que, si llamamos \(A\) al área del octógono, \(A_c\) al área de un "cuadradito" y \(l\) al lado de un "cuadradito", tenemos:

\[A=7\cdot A_c=7\cdot l^2=7\cdot\left(\dfrac{2r}{3}\right)^2=\dfrac{28}{9}\cdot r^2=3,111\cdot r^2\]

donde hemos utilizado que el diámetro del círculo (el doble del radio) equivale a tres lados de "cuadraditos": \(2r=3l\), o lo que es lo mismo, \(l=\dfrac{2r}{3}\).

Si tomamos esto como aproximación al valor de \(\pi\), es algo peor que la usada por los babilonios, ya que \(3,125\) está un poco más cerca de \(\pi\) que \(3,111\ldots\) Sin embargo, como modo de razonamiento, la geometría es mejor que la mera aproximación experimental, y será clave, siglos después, para mejorar el cálculo del área del círculo y el cálculo del valor de \(\pi\).

En otra parte del papiro Rhind, en el problema 50, se da otra regla para hallar el área de un círculo: eliminar \(\dfrac{1}{9}\) del diámetro, levantar un cuadrado con dicho segmento como lado y hallar su área. Es decir, se considera que el área \(A\) del círculo (en gris en la figura siguiente) es igual a la del cuadrado (cuyas esquinas están marcadas en rojo)

pi antes pi 02

Así, el área del cuadrado sería \(\left(\dfrac{8}{9}\cdot d\right)^2\). Como el diámetro es el doble del radio (\(d=2\cdot r\)), la fórmula es:

\[A=\left(\frac{8}{9}\cdot2\cdot r\right)^2=\left(\frac{16}{9}\right)^2r^2=3,16049\cdot r^2\]

Así que este método del escriba Ahmes equivale a multiplicar \(r^2\) por \(3,16049\ldots\), que es ligeramente superior a \(\pi\).

Hoy sabemos que los números \(\pi\) que aparecen en las fórmulas para la longitud de la circunferencia y para el área del círculo

\[l=2\pi r\qquad\text{;}\qquad A=\pi r^2\]

son el mismo número. ¿Lo sabían hace 4000 años? Nada nos hace pensar que así fuera.

La tablilla de Susa nos habla claramente de una relación constante entre circunferencia y diámetro. Además, esa relación se puede medir con instrumentos sencillos: cójase una cuerda del tamaño del diámetro y véase cuántas veces cabe en la circunferencia.

Por contra, solo de forma indirecta podemos deducir en los escritos de Ahmes una relación entre el área del círculo y el cuadrado del radio. E incluso si hubieran sospechado esa relación, su medición directa se antoja complicada. Y parece del todo fuera de lugar preguntar a aquellos nuestros antepasados si es el mismo número el que aparece en esos dos cálculos.

Aunque, en realidad... no era tan complicado. La figura siguiente es una reproducción de un documento japonés del siglo XVII d.C., el Tengen Shinan. Hemos saltado en el tiempo y hemos cambiado de continente porque el documento es tan bonito y tan claro que no nos hemos resistido a presentarlo al lector.

pi antes pi 03

Lo que muestra la figura es cómo un círculo se puede dividir en finos gajos (que se muestran alternativamente en blanco y negro) que, recompuestos, forman un rectángulo. Bueno, casi. Cuanto más finos sean los gajos, más cerca estaremos de un rectángulo. Un matemático actual dirá que en el límite eso es un rectángulo. Ese rectángulo tiene como base el radio del círculo, y como altura, la mitad de la longitud de la circunferencia. Así que el área del rectángulo (y, por tanto, la del círculo) es

\[A=\text{base}\cdot\text{altura}=r\cdot\frac{l}{2}=r\cdot\frac{2\pi r}{2}=\pi r^2\]

pi antes pi 04

En el siglo III a.C., Arquímedes había llegado a la misma conclusión usando un método distinto (lo dejó en Sobre la medida del círculo). Antes de los maestros griegos, seguramente nadie.

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Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (IV)

Esta es la continuación de la entrada "Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (III)"

Buscando el error


La corrección sistemática del error no favorece su eliminación. En clase de matemáticas hay que intentar que los alumnos sean los que perciban los errores. Darle lugar al error en la clase es trabajarlo descubriendo las hipótesis falsas que llevaron a producirlo, buscando los posibles caminos hasta redescubrir los conceptos validados y matemáticamente aceptados, comparando versiones correctas con erróneas, etc.

Si el error es descubierto como consecuencia de una interacción o debate entre profesor y alumno, promoverá la superación, puesto que los estudiantes pueden modificar sus viejas ideas cuando están convencidos de que hay otra que es mejor. Veamos una actividad que esconde un error y conlleva a un proceso de reflexión y análisis de lo realizado.

Sabemos que:

\[\frac{1}{2}>\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^2\]

Como a un número mayor le corresponde también un logaritmo mayor, tendremos que:

\[\log\frac{1}{2}>log\left(\frac{1}{2}\right)^2\]

Aplicando la última de las propiedades de los logaritmos vistas en el artículo anterior:

\[\log\frac{1}{2}>2\cdot\log\frac{1}{2}\]

Si dividimos ambos miembros de la desigualdad por \(\log\dfrac{1}{2}\) resulta:

\[1>2\]

La pregunta es: ¿dónde está el error de este razonamiento? Pues si aceptamos como válido lo realizado, estaríamos contradiciendo el orden que se establece para los números reales.

Una actividad que conduce a un desafío e integra contenidos


Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo (reglas numeradas con multitud de tablas paralelas) eran imprescindibles en cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadoras y ordenadores. Actualmente los logaritmos ya no son necesarios para lo que fueron descubiertos. Sin embargo, ciertas características y utilidades que, durante estos siglos se les han descubierto, los han hecho sobrevivir al desarrollo de la electrónica. Planteamos aquí una actividad que conduce a un desafío e integra contenidos, más si nos proponemos analizarla y reflexionar sobre ella.

¿Qué pasaría si al efectuar un producto, como lo hacíamos anteriormente, alguno de los factores no figura en la tabla porque no es potencia entera de \(2\), ni de \(3\), ni de otra base que aparece allí? Supongamos, por ejemplo, que debemos hacer la multiplicación \(64\cdot400\).

En este caso, como el \(64\) es una potencia de \(2\) (también lo es de \(4\) en la tabla mostrada anteriormente) podríamos expresar al \(400\) como una potencia en la misma base. Como \(400\) es un valor comprendido entre \(256\) y \(512\), entonces es una potencia de \(2\) comprendida entre \(2^8\) y \(2^9\), y el exponente que estaríamos buscando debiera ser un número comprendido entre \(8\) y \(9\). Si contáramos con una calculadora científica, o un software adecuado, hallaríamos que el exponente buscado se obtiene de calcular:

\[2^n=400\Rightarrow\log2^n=\log400\Rightarrow n\cdot\log2=\log400\Rightarrow n=\frac{\log400}{\log2}\cong8,64385619\]

Ahora bien, pensemos por un instante que no disponemos ni de calculadora ni de software, y que muy “ligeramente” llevamos a cabo un proceso de interpolación lineal para efectuar el cálculo. No obstante, somos conscientes de que este procedimiento nos conducirá a encontrar una aproximación a dicho exponente. El razonamiento sería así:

log06

Esto es, si a una diferencia de \(256\) entre las potencias (\(512-256\)) le corresponde una diferencia de \(1\) (\(9-8\)) entre los exponentes, entonces a una diferencia de \(144\) (\(400-256\)) le corresponderá una diferencia \(n-8\). Una simple regla de tres nos lleva a \(n-8=\dfrac{144}{256}=0,5625\), por lo que el exponente buscado es \(n=8+0,5625=8,5625\). Logramos, de esta forma, que nuestra multiplicación se transforme en:

\[64\cdot400=2^6\cdot2^n=2^6\cdot2^{8,5625}=2^{14,5625}\]

Hay que hacer notar que la aproximación \(2^{8,5625}\cong378,0674934\) al \(400\) deviene,  sencillamente, porque hemos calculado el exponente pensando en una variación proporcional (lineal) entre los números. De hecho, hemos aplicado una “regla de tres simple”, cuando en realidad la variación es exponencial.

Con una calculadora científica tendríamos que \(2^{14,5625}\cong24196,31958\). Pero como se supone que no disponemos de ella, nos vemos nuevamente tentados a realizar otra interpolación lineal. En este caso tendríamos:

 log07

Armando convenientemente la proporción y resolviendo resulta:

\[x-16384=\frac{16384\cdot0,5625}{1}=9216\Rightarrow x=16384+9216\Rightarrow x=25600\]

Sintetizando lo realizado hasta el momento tenemos:

\[64\cdot400=2^6\cdot2^n\cong2^6\cdot2^{8,5625}=2^{14,5625}\cong25600\]

Pero es que, ¡efectivamente \(64\cdot400=25600\)!, muy a pesar de que el resultado se obtuvo tras sucesivas aproximaciones lineales. Naturalmente surge como interrogante: ¿por qué ocurre esto?, y allí está el desafío que se le propone al lector.

Cabe hacer notar que esta situación no sólo se presenta en el ejemplo propuesto. Tampoco es generalizable a cualquier producto. Sí, por ejemplo, se presenta cuando uno de los factores puede ser expresado como una potencia de base natural y exponente entero, y el otro no.


Fuente:
Los logaritmos, un abordaje desde la Historia de la Matemática y las aplicaciones actuales.

Raquel Susana Abrate. Marcel David Pochulu

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Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (II)

Esta es la continuación de la entrada "Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (I)"

Retomando la idea original de Napier, que motivara el surgimiento de los logaritmos, abordaremos el asunto de un modo similar, aunque mucho más simplificado. Podríamos comenzar calculando, como lo hacemos habitualmente y sin ayuda de la calculadora, las siguientes multiplicaciones:

\[16\cdot512\quad;\quad81\cdot19683\quad;\quad256\cdot262144\quad;\quad625\cdot1953125\]

Tendríamos que aplicar en cada caso el conocido, desde pequeños, algoritmo de la multiplicación. Algoritmo que por cierto utilizaban en la época de Napier por la inexistencia de calculadoras. Por ejemplo:

log02

Procediendo así con los demás productos tendríamos:

\[16\cdot512=8192\quad;\quad81\cdot19683=1594323\quad;\quad256\cdot262144=67108864\quad;\quad625\cdot1953125=1220703125\]

Ahora bien, podríamos construir una tabla que contenga algunas potencias de base y exponente natural, como la que aparece a continuación, y localizar en ella cada uno de los resultados obtenidos.

n 2n 3n 4n 5n
1 2 3 4 5
2 4 9 16 25
3 8 27 64 125
4 16 81 256 625
5 32 243 1024 3125
6 64 729 4096 15625
7 128 2187 16384 78125
8 256 6561 65536 390625
9 512 19683 262144 1953125
10 1024 59049 1048576 9765625
11 2048 177147 4194304 48828125
12 4096 531441 16777216 244140625
13 8192 1594323 67108864 1220703125
14 16384 4782969 268435456 6103515625

Vemos que todos los resultados conseguidos se ubican en la fila correspondiente a \(n=13\). Es decir, que 13 es el exponente al que hay que elevar el 2 para obtener 8192, o el 3 para obtener 1594323, o el 4 para obtener 67108864, o el 5 para obtener 1220703125.

Este exponente, en matemáticas, se denomina logaritmo. En particular diríamos que el logaritmo de 8192, en base 2, es 13 y escribimos:

\[\text{log}_2 8192=13\Leftrightarrow2^{13}=8192\]

o que el logaritmo de 1594323 en base 3 es 13 y lo denotamos:

\[\text{log}_3 1594323=13\Leftrightarrow3^{13}=1594323\]

Y así sucesivamente. No obstante, volveremos sobre este concepto para terminar de comprenderlo.

Ubicamos ahora en la tabla cada uno de los factores correspondientes a las multiplicaciones planteadas al inicio de la actividad y tratamos de expresarlos como potencias con igual base. Por ejemplo:

\[16\cdot512=8192\Leftrightarrow2^4\cdot2^9=2^{13}\]

Hemos tomado este ejemplo en particular, pero es fácil comprobar que las restantes multiplicaciones involucran los mismos exponentes.

Tal como pudimos constatar, el cálculo de las multiplicaciones propuestas con la actividad se vuelve más largo y engorroso, a medida que aumenta el número de dígitos de los factores. Si en cambio expresamos a cada uno de los factores como potencias de igual base, las cuales podemos encontrar en una tabla similar a la anterior, y utilizamos propiedades ya conocidas por nosotros, el cálculo puede tornarse mucho más sencillo.

Por ejemplo, \(16\cdot512\) puede resolverse, sin efectuar el algoritmo de la multiplicación, utilizando sólo la tabla expuesta, de la siguiente manera, donde hemos utilizado las conocidas propiedades de las potencias:

\(16=2^4\) y \(512=2^9\), por lo que \(16\cdot512=2^4\cdot2^9=2^{13}\)

Buscamos ahora en la tabla, en la columna correspondiente a , su valor para . El mismo es 8192, coincidentemente con el valor que encontráramos cuando resolvimos la multiplicación mediante el algoritmo habitual.

Del mismo modo podemos hacer:

\[81\cdot19683=3^4\cdot3^9=3^{13}=1594323\]

\[256\cdot262144=4^4\cdot4^9=4^{13}=67108864\]

\[625\cdot1953125=5^4\cdot5^9=5^{13}=1220703125\]

De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, por ejemplo divisiones:

\[\frac{67108864}{263144}=\frac{4^{13}}{4^9}=4^4=256\]

\[\frac{1220703125}{625}=\frac{5^{13}}{5^4}=5^9=1953125\]

También podríamos verificar otras propiedades de las potencias:

\[4^7=16384=2^{14}\Rightarrow4^7=2^{14}\Rightarrow\left(2^2\right)^7=2^{14}\]

Hemos visto otra vez que las multiplicaciones se pueden convertir en sumas y las divisiones en restas, con lo que se facilita notablemente el cálculo, más cuando los números implicados son muy grandes y se cuenta, naturalmente, con las tablas apropiadas. Hoy día no tendría sentido realizarlas de esta manera, pero el concepto que vino a originar la búsqueda de la simplicidad en los cálculos trasciende la utilidad que tuvo en su época. De hecho, vamos a ver algunos de estos aspectos a continuación.

Una propiedad que suscita errores


Para muchas personas es simplemente una convención el hecho de que una potencia con base no nula y exponente cero dé como resultado uno: si \(a\neq0\Rightarrow a^0=1\). Pero, a veces, no siempre se recuerda esta regla “instituida” en algún momento de la formación matemática. Y puede ocurrir que, cuando se pregunta por ella, el alumnado eche mano de justificaciones que guardan cierto grado de coherencia interna con el razonamiento seguido, como el considerar que \(a^0=0\) pues “se multiplica cero veces la base”, o que \(a^0=a\) puesto que “si se multiplica cero veces la base, queda la misma base”, pero que son inconsistentes para las leyes y propiedades establecidas para los números enteros.

Observemos que las tablas propuestas anteriormente para abordar el concepto de logaritmo nos brindan una oportunidad más para reforzar esta dificultad que presentan los alumnos aún en niveles superiores, pues aparece una serie de potencias donde podemos ver claramente la ley de formación que subyace en ella.

Para ello recordemos una par de conceptos. Una serie o sucesión de números recibe el nombre de aritmética si cada número se obtiene del anterior sumándole siempre el mismo número (llamado diferencia). Una serie de números recibe el nombre de geométrica si cada término se obtiene del anterior multiplicándolo siempre por el mismo número, que recibe el nombre de razón.

Tomemos, por ejemplo, la serie de potencias de base igual a \(2\), \(2^n\):

Exponentes 0 1 2 3 4 5 ...
Resultados ¿? 2 4 8 16 32 ...

Los resultados siguen una serie geométrica de razón 2 y los exponentes conforman una serie aritmética cuya diferencia es 1. ¿Qué valor asignar a \(2^0\)? Puesto que se multiplica por 2 cada término para obtener el siguiente, o equivalentemente, se divide entre 2 cada uno de ellos para conseguir el anterior, para que la serie tenga sentido no queda otra alternativa que asignar el valor 1 para el primer resultado, o sea, \(2^0=1\).

Una leyenda que se relaciona con el tema


En el siglo IX, se escribieron en Arabia los primeros libros sobre el juego del ajedrez, cuyos autores fueron: Al-Razí, Al-Sarajsí y Al-Adlí. Este último escribió “El Libro del Ajedrez” en el que se narra por vez primera, la célebre leyenda de los granos de trigo, donde se le atribuye la invención del Ajedrez a alguien llamado Sissa.

La Historia cuenta que Sissa inventó este juego con el objeto de agradar al rey y combatir su tedio, mostrándole además que un rey sin su pueblo está inerme, pues no tiene poder ni valor. Fascinado con el juego, el rey le ofreció a Sissa cumplirle un deseo. No obstante, Sissa decidió darle al rey una lección de humildad, y pidió lo siguiente: dos granos de trigo por la primera casilla del tablero, cuatro granos por la segunda, ocho por la tercera, dieciséis por la cuarta, y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas. Digamos, estaríamos continuando con la serie de potencias de base 2 que iniciamos anteriormente.

El rey, extrañado de que alguien con tanta inteligencia pidiera algo en apariencia tan simple, ordenó que se le concediera su petición. Al poco tiempo, su visir le indicó que era imposible satisfacer la demanda, pues la cantidad de trigo que pedía Sissa era muchísimo más de lo que ellos podrían llegar a tener.

Surge naturalmente como interrogante: ¿qué cantidad de granos de trigo le debía entregar el rey? Solamente expresar que tal cantidad de granos de trigo es imposible juntarla de un solo golpe, aún recolectando todas las cosechas de trigo del mundo durante un siglo. Otra cuestión: si contáramos de tal cantidad un grano de trigo por segundo, sin parar, ¿cuánto tardaríamos? Muy posiblemente deberíamos hacer cambios de unidades en la magnitud tiempo para que nuestra respuesta adquiriera sentido.

A su vez, podríamos también cuestionarnos cuánto pesaría esta carga de trigo. Desde luego, tendríamos que hacer algunas experiencias previas para determinar el peso aproximado de un grano de trigo, e indagar la capacidad máxima de carga de un camión de transporte de granos, siempre que nuestra intención esté en brindar una respuesta medianamente aceptable al interrogante.

Asimismo, valdría la pena hallar la cotización internacional promedio del trigo, por toneladas, al cierre de la bolsa de valores y estimar el costo de esta cantidad de cereal. Con seguridad, habrá que hacer algunas conversiones de moneda y nos llevaría a realizar incursiones por el mundo financiero.

Pero si nuestra curiosidad y capacidad de asombro desea continuar, podríamos considerar la posibilidad de colocar los granos de trigo uno tras otro. Ahora bien, deberíamos también estimar el largo de un grano de trigo, y entonces cabe preguntamos: ¿cómo de larga sería nuestra hilera? ¿De un kilómetro? ¿De mil kilómetros? ¿Llegaríamos al otro lado del mundo? ¿Podríamos darle una vuelta a la tierra?

Cuestiones

1. ¿Cuántos granos de trigo había que entregarle a Sissa?

2. Si contamos un grano de trigo por segundo, ¿cuánto tiempo se tardaría en contar todos los granos de trigo? Expresa el resultado en años.

3. Si en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 1200 granos, ¿cuánto pesan todos los granos de trigo?

4. Si la longitud de un grano de trigo es de 8 milímetros, ¿cómo de larga sería la hilera formada por todos los granos de trigo?


Fuente:
Los logaritmos, un abordaje desde la Historia de la Matemática y las aplicaciones actuales.

Raquel Susana Abrate. Marcel David Pochulu

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Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (I)

Los logaritmos irrumpen en la historia de la humanidad hace casi 400 años y fueron utilizados durante casi 350 años como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Un increíble esfuerzo se ahorró usándolos, pues permitieron trabajar con los pesados cálculos necesarios en los problemas de agrimensura, astronomía, y particularmente en las aplicaciones a la navegación.

Merced a estos números, las multiplicaciones pudieron sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó enormemente la realización manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no hubieran sido posibles.

Si bien Napier fue uno de los que impulsó fuertemente su desarrollo, y por tal razón es considerado el inventor de los logaritmos, muchos otros matemáticos de la época también trabajaron con ellos.

John Napier (a la derecha) nació en 1550 en el castillo de Merchiston, en Edimburgo (Escocia) y allí fallece el 4 de abril de 1617. Perteneció a una familia noble de gran riqueza y los Napierhistoriadores cuentan que estuvo dedicado a cuidar de sus propiedades, transformando su castillo en residencia para científicos y artistas, lo que llevó a que usara su gran fortuna para mantener e invitar a inventores, matemáticos, astrónomos, poetas, pintores, etc. Se lo define como un terrateniente escocés (estudió Matemática sólo como un hobby) de la baja nobleza (barón) y que estaba particularmente interesado en la medición de fincas, donde a grandes números se le pueden hacer corresponder graves errores y perjuicios. Es de destacar que en su época, la forma de operar con grandes números era confusa y compleja.

Hacia el año 1594, Napier estudió las sucesiones de las potencias de un número \(a^0,\ a^1,\ a^2,\ldots,\ a^n,\ldots\) y conocía que los productos y cocientes de dos términos con la misma base son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de los mismos. Ya conoces estas dos propiedades de las potencias:

\[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\quad;\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]

Pero estas sucesiones de potencias no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un “hueco” muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa. Por ejemplo, la sucesión de potencias de base dos es:

\[2^0=1,\ 2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ldots,\ 2^{10}=1024,\ldots,\ 2^{30}=1073741824,\ldots\]

Cada vez que vamos aumentando el exponente, el hueco existente entre los resultados es cada vez mayor.

John Napier se dio cuenta de que si pudiéramos expresar todos los números como potencias de un número base, la multiplicación se reduciría, simplemente a sumar exponentes y la división a restarlos. Observa la siguiente tabla en la que se dan los catorce primeros términos de la sucesión anterior. La primera fila corresponde a los exponentes y la segunda fila a los resultados de elevar a dos cada uno de ellos:

\[\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13\\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024 & 2048 & 4096 & 8192 \end{matrix}\]

Veamos ahora cómo funciona la idea de Napier. Al multiplicar \(64\cdot128\) hemos de utilizar el conocido algoritmo de la multiplicación, obteniendo como resultado \(8192\). Napier pensó que como al \(64\) le corresponde el exponente \(6\) y al \(128\) el exponente \(7\), sería más fácil realizar la suma y luego volver a mirar en la tabla el número que le corresponde al \(13\), que es el \(8192\). Con una tabla suficientemente completa se podrían transformar largas multiplicaciones y divisiones en sencillas sumas y restas.

Ahora bien, no valía la pena inventar los logaritmos para hacer cuentas simplemente entre números enteros. Lo interesante sería tener una tabla con números que tuvieran cifras decimales, es decir, fracciones. El objetivo principal estaba en hacer más fáciles las cuentas largas y complicadas, y para ello se tendrían que expresar como potencias los números fraccionarios situados entre dos enteros consecutivos.

Para lograrlo, había una manera: usar potencias fraccionarias, pero las potencias fraccionarias (que ahora conocemos: los radicales) no eran bien conocidas aún en la época de Napier. Así por ejemplo, la pregunta sería: ¿qué número decimal ha de ser \(x\) en la primera fila de la tabla para que en la segunda le corresponda el 5,6? O lo que es lo mismo: ¿quién ha de ser \(x\) para que \(2^x=5,6\). Es evidente que tendría que ser un número entre \(2\) y \(3\), ya que \(2^2=4\) y \(2^3=8\) pero... ¿cuál?

Napier buscó otro camino. Este camino consistía en cambiar la base. Si la base es dos, las potencias crecen muy deprisa. Napier intentó buscar una base cuyas potencias crecieran razonablemente despacio como para ir cubriendo los baches entre los números enteros, pero no tan despacio como para que los exponentes se hicieran enormes y otra vez el sistema fuera engorroso. Napier llegó a la conclusión de que un número cercano a uno, pero no demasiado cercano podía ser una base razonable. No vamos a explicar aquí a qué elección más o menos precisa llegó, pero sí diremos que la misma tenía que ver con lo engorrosos cálculos que en su época se hacían especialmente en trigonometría, y que durante veinte años (desde 1594 a 1614) se dedicó a hacer una tabla obteniendo exponenciales de diversas funciones trigonométricas, ya que se empleaban mucho en cálculos astronómicos.

Lo cierto es que, una vez que terminó con las cuentas, decidió que había que ponerles un nombre a lo que estaba haciendo. El proceso de cálculo hizo que llamara a esos números “logaritmos” que quiere decir “números proporcionados”. Precisamente el vocablo logaritmo está formado por las palabras griegas λογος (logos), que significa razón o cociente, y αριθμος (arithmos), con el significado de número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción. Es decir, alude a la proposición que fue hecha por Napier en su teorema fundamental, el cual establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que, una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números.

Así, de la misma forma que \(8\) es la potencia en base \(2\) de \(3\), \(3\) es el logaritmo en base \(2\) de \(8\). La notación actual es así:

\[\text{log}_2 8=3\Leftrightarrow2^3=8\]

En general:

\[\text{log}_a b=x\Leftrightarrow a^x=b\]

Si bien ya Arquímedes utilizaba la idea de reducir la multiplicación de dos números por medio de la suma de sus logaritmos, el verdadero auge de los mismos, como herramienta de cálculo, comienza en el siglo XVI con Stifel, se consolida a inicios del siglo XVII con Napier y Bürgi, y posteriormente con la construcción de las primeras tablas de logaritmos en base \(10\), realizadas por Briggs.


Fuente:
Los logaritmos, un abordaje desde la Historia de la Matemática y las aplicaciones actuales.

Raquel Susana Abrate. Marcel David Pochulu

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Cinco problemas de matemáticas inspirados en la antigua China

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Hace un tiempo escribí un artículo dedicado al árbelos. En él me refería a un libro titulado Expediciones Matemáticas, cuyo autor es Frank J. Swetz. Este libro propone multitud de problemas planteados a lo largo de la historia por distintas civilizaciones, haciendo un recorrido por la antigua Babilonia, el antiguo Egipto, la antigua Grecia, la antigua China, la India, el mundo islámico, la Europa medieval y la Europa renacentista. Pero esto es sólo una parte del libro. También se proponen, entre otros, problemas de los templos japoneses, problemas victorianos del siglo XIX, problemas norteamericanos de los siglos XVIII y XIX y problemas de cálculo del siglo XIX.

Como profesor estoy convencido de que, en nuestras clases, debemos manejar y trabajar con mucha más frecuencia los problemas de matemáticas. No se hace y debemos hacerlo. Es la salsa de las matemáticas. Y si además tienen un contexto histórico, pues mejor. Frank J. Swetz, en el prefacio del libro mencionado dice así:

Analizar y estudiar estos problemas puede servir para presentar a la clase un nuevo concepto matemático o reforzar alguno ya estudiado. En sí mismo, cada problema también proporciona una breve anécdota sobre por qué se necesitan las matemáticas. Igualmente, el contexto de los problemas proporciona al lector detalles sobre cómo era la vida de las personas en la época en la cual fueron escritos. Su contenido conecta las matemáticas con la sociedad y, dado que no son elementos cerrados, este aspecto permite utilizarlos tanto para la enseñanza interdisciplinar como para generar diferentes debates en clase.

Para que sirva de muestra he seleccionado cinco problemas matemáticos de la antigua China. Antes de los enunciados, en el libro se hace una breve introducción. En el caso de la antigua China, merece la pena hacerla aquí:

Al igual que Mesopotamia y el antiguo Egipto, la antigua China era una “sociedad hidráulica”. Se desarrolló en fértiles valles que permitieron la agricultura. Sin embargo, los ríos, principalmente el Yangtsé y el Amarillo, sufrían inundaciones, por lo que para la supervivencia de los asentamientos humanos se hacían necesarios sistemas de irrigación y diques par el control del agua. La responsabilidad de la construcción y mantenimiento de estos sistemas recayó en el gobierno y su burocracia. Con el tiempo, este gobierno terminó consistiendo en un emperador y ministerios imperiales dirigidos por eruditos de la corte. Las dos disciplinas científicas utilizadas para mantener el imperio eran las matemáticas (necesarias para la construcción y el cobro de impuestos) y la astronomía (para predecir los ciclos del crecimiento agrícola).
Los pocos manuales de matemáticas que se conservan contienen problemas que demuestran la naturaleza práctica de las primeras matemáticas chinas. El más importante de estos libros se titula Los nueve capítulos del arte matemático (c. 100 a.C.), que satisfizo las necesidades matemáticas chinas durante cientos de años y fue adoptado en países vecinos como Japón y Corea.
Los problemas siguientes contienen varias unidades de medida tradicionales chinas. Cuando ha sido necesario, se han proporcionado algunas relaciones de conversión. No obstante, sería un interesante ejercicio que el alumno estudiara las relaciones entre ellas y las comparara con las unidades de medida modernas.

Pues bien, ahí van los cinco problemas de la antigua China que he seleccionado. El enunciado de cada uno de ellos se ha transcrito literalmente del libro. A veces puede parecer que falta algún dato, o hay que presuponer cierta situación que se omite. ¿Te atreves a dar con la solución de alguno? Yo estoy en ello. Posteriormente, publicaré aquí mismo el desarrollo que conduce a la solución final. De todas formas, si alguien quiere hacer alguna aportación que no dude en escribirme a la dirección Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla. o a través de la página de contacto de esta Web. En general, los cuatro primeros problemas son aptos para cualquier alumno que esté en último curso de secundaria obligatoria, incluso en algún curso anterior. El quinto problema no es fácil. Al menos eso pienso yo (pero seguro que hay alguien que lo ve extraordinariamente sencillo). De hecho, he de confesar que muchos de los problemas cuyo enunciado ya he leído y que se proponen en el libro, o bien aún no he dado con la forma de resolverlos, o bien me ha costado mucho llegar a la solución. Pero eso está bien, pues me hace navegar otra vez por conceptos matemáticos un poco olvidados y, así, mantener viva esta pasión por las matemáticas.

Problema 1

Encuentra un número cuyos restos son 2, 3 y 2 cuando es dividido respectivamente entre 3, 5 y 7.

Problema 2

Un caballo, que disminuye su velocidad a la mitad cada día, viaja 700 millas en 7 días. ¿Cuánto camino recorre cada día?

Problema 3

Una ciudad cuadrada y amurallada de dimensiones desconocidas tiene 4 puertas, una en el centro de cada lado. A 20 bu de la puerta norte hay un árbol. Hay que caminar 14 bu hacia el sur desde la puerta sur y luego girar al oeste y caminar 1775 bu antes de poder ver el árbol. ¿Cuáles son las dimensiones de la ciudad?

Problema 4

Un estanque cuadrado tiene lados de 10 pies de longitud. En la orilla occidental crecen cañas verticales que sobresalen exactamente 3 pies del agua. En la orilla oriental un tipo diferente de caña sobresale exactamente 1 pie fuera del agua. Cuando se hace que los dos tipos de caña se junten, sus extremos superiores están exactamente nivelados con la superficie del agua. Permíteme que te pregunte cómo calcular estas tres cosas: la profundidad del agua y la longitud de cada caña.

Problema 5

Tengo dos cañas. El primer día una crece 3 pies y la otra 1 pie. El crecimiento de la primera disminuye cada día a la mitad que el día anterior, mientras que la otra crece el doble que el día anterior. ¿Cuántos días tardarán en tener la misma altura?

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