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Haciendo demostraciones en Matemáticas I

  • Publicado en Retos

Propongo un par de problemas donde se pide demostrar un par de cosas relacionadas con números. El nivel es de Matemáticas I (1º de Bachillerato Ciencias y Tecnología). Se trata de pensar, de razonar, de involucrarse con el problema matemático hasta que uno ve la idea con la que poder atacarlo.

Problema 1

Demuestra que la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) da como resultado un número entero. Calcula su valor.

Problema 2

Dados dos números reales positivos diferentes, demuestra que el producto de su suma por la suma de sus inversos es mayor que 4.

Animo a mis alumnos de 1º de Bachillerato a que lo intenten. Bueno, y a cualquier otra persona. 

En todo caso, si después de intentarlo no te sale, puedes ver las soluciones aquí debajo.

Solución del Problema 1

Elevemos la expresión al cuadrado:

\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot\sqrt{6+4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\]

\[=6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{\left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot\left(6+4\sqrt{2}\right)}=12+2\cdot\sqrt{6^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2}=\]

\[=12+2\cdot\sqrt{36-16\cdot2}=12+2\cdot\sqrt{36-32}=12+2\cdot\sqrt{4}=12+2\cdot2=12+4=16\]

Por tanto hemos llegado a la siguiente conclusión:

\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=16\]

Extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros de la igualdad tenemos:

\[\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}=4\]

Y hemos demostrado que, efectivamente, la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) es un número entero, en concreto el número \(4\).

Solución del Problema 2

 

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