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Triángulo equilátero inscrito en un círculo

triángulo equilátero inscrito en círculo triángulo equilátero inscrito en círculo

En un círculo se inscribe un triángulo equilátero de área 12 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la región sombreada de azul?

triangulo-circulo-01

Os aseguro que no es difícil. Con algo de imaginación, el área del triángulo, el área del círculo y ¡Pitágoras!, se puede dar con la solución.

El triángulo \(ABC\), de área \(12\), se puede dividir en tres triángulos iguales: \(AOB\), \(AOC\) y \(BOC\) de área \(4\) cada uno de ellos. El triángulo \(BOD\) tendrá pues área \(2\) por ser justo la mitad del triángulo \(BOC\).

triangulo-circulo-02

Si llamamos \(l\) al lado del triángulo \(ABC\) su área será:

triangulo-circulo-03

Obsérvese que su altura es \(r+\dfrac{r}{2}\) pues \(BOD\) y \(BED\) también son triángulos iguales. Así pues:

triangulo-circulo-04

Por otro lado, en el triángulo \(BOD\), aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

triangulo-circulo-05

Sustituyendo el valor de \(l^2\):

triangulo-circulo-06

El área del la región sombreada de azul es el área del círculo menos la del triángulo:

triangulo-circulo-07

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