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Tres con triángulos

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Uno

\(P\) es un punto interior a un triángulo equilátero. ¿Cuál es la suma \(a+b+c\) de sus distancias a los lados del triángulo?

 triangulo02

Dos

Ahora, \(P\) está en el interior del triángulo isósceles de lados 5, 5 y 6 centímetros. Hallar en función de \(b\) (la distancia de \(P\) al lado desigual) la suma de las distancias \(a+b+c\).

 triangulo01

Tres

En la figura vemos dos triángulos equiláteros, uno inscrito y otro circunscrito a un círculo. Si el triángulo inscrito tiene área 1, ¿cuál es la suma de las áreas de las figuras sombreadas en color azul?

 triangulo03

Uno (solución)

Llamemos \(l\) al lado del triángulo y \(h\) a su altura. Se sabe que el área \(A\) del triángulo es "base por altura partido por dos", o sea:

triangulo05

Pero el área \(A\) del triángulo también es la suma de los tres triángulos interiores, coloreados en rojo, azul y verde. Fíjate en la figura.

triangulo06

Es decir: 

triangulo07

triangulo08

O sea, que la suma de las distancias de cada lado al punto \(P\), \(a+b+c\), es exactamente igual que la altura del triángulo.

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