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Test de matemáticas (I)

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Test de matemáticas (I)

¿Quieres saber si tienes una mínima competencia matemática? El siguiente test contiene 20 preguntas. Si has finalizado 2º de Bachillerato en su modalidad de Ciencias y Tecnología deberías de estar cualificado para contestar a cualquiera de ellas. Si has terminado la Educación Secundaria Obligatoria deberías de saber la respuesta de, al menos, 10 de las preguntas. Bueno, allá va.

Test de matemáticas número 1

1. Si la diagonal de un cuadrado mide \(2\) metros, ¿cuánto mide el lado?

La diagonal forma con dos de los lados del cuadrado, un triángulo rectángulo. Dicha diagonal es la hipotenusa de este triángulo rectángulo. Si llamamos \(x\) al lado, por el teorema de Pitágoras:

\[x^2+x^2=2^2\Rightarrow2x^2=4\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}\ \text{metros}\]

2. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número \(\displaystyle\frac{1}{3}\)?

Infinitas. Es un decimal periódico puro: \(\displaystyle\frac{1}{3}=0.333\ldots\)

3. ¿Qué nombre recibe la expresión \(b^2−4ac\) relativa a la ecuación de segundo grado  \(ax^2+bx+c=0\)?

Discriminante de la ecuación de segundo grado. Se suele denotar con la letra griega delta: \(\Delta=b^2-4ac\)

4. ¿Cuál es la solución de la ecuación \(0x=3\)?

No tiene solución pues no existe ningún número real \(x\) que multiplicado por \(0\) dé como resultado \(3\). Todo real multiplicado por cero es igual a cero.

Obsérvese que si despejamos \(x\) de la manera habitual tenemos \(\displaystyle x=\frac{3}{0}\), expresión que no existe o no tiene sentido. Vamos, que no se puede dividir por cero. En matemáticas está absolutamente prohibido.

5. ¿Es cierta la igualdad siguiente?

test01-01

No, en general no es cierto que 

\[\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

Si fuera cierta tendríamos que \(\sqrt{39}=\sqrt{64-25}=8-5=3\), es decir que \(\sqrt{39}=3\), que es una contradicción.

6. ¿Es cierta la siguiente igualdad entre valores absolutos, para cualquier numero real a?

test01-02

Sí que es cierta.

Se puede demostrar haciendo uso de una de las propiedades del valor absoluto: \(|ab|=|a||b|\):

\[|-a|=|-1||a|=1|a|=|a|\]

7. ¿Es irracional el siguiente número?

test01-03

No. Veamos la razón:

\[\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{8}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{3\cdot4}{2}=\frac{12}{2}=6\]

8. ¿Cuál es la posición relativa de las rectas siguientes?

test01-04

Son perpendiculares. La razón es porque la pendiente de una es la inversa de la de la otra cambiada de signo.

El resultado dice que si \(y=mx+n\), \(y=m'x+n'\), son dos rectas en el plano y se cumple que \(\displaystyle m=-\frac{1}{m'}\), entonces ambas rectas son perpendiculares.

¿Quieres aprender más sobre geometría métrica plana? Haz click aquí.

9. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos \(A(0,7)\) y \(B(−2,−3)\)?

El punto medio \(M\) de dos puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(B(b_1,b_2)\) viene dado por \(\displaystyle M=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right)\). En este caso el punto medio es:

\[M=\left(\frac{0+(-2)}{2},\frac{7+(-3)}{2}\right)=(-1,2)\]

¿Quieres saber más cosas sobre geometría métrica plana? Haz click aquí.

10. ¿Cuál es el precio rebajado de unas zapatillas de \(60\) euros, si nos hacen el \(15\%\) de descuento?

Hay que restarle a \(60\) el \(15\%\) de \(60\):

\[60-\frac{15}{100}60=60-\frac{900}{100}=60-9=51\]

Por tanto el precio rebajado de las zapatillas es de \(51\) euros.

11. ¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema?

test01-05

Tiene infinitas soluciones. La segunda ecuación es la primera multiplicada por \(-2\). Por tanto ambas ecuaciones son equivalentes y el sistema se puede reducir a una ecuación: \(x-2y=3\). Esta es la ecuación general de una recta en el plano. Y una recta tiene infinitos puntos, que son las infinitas soluciones del sistema. Para saberlas todas basta despejar una de las dos incógnitas:

\[x-2y=3\Rightarrow x=2y+3\]

Ahora, dándole valores arbitrarios a \(y\) se obtiene el correspondiente de \(x\). Por ejemplo, si \(y=3\), \(x=9\); si \(y=-5\), \(x=-7\) y así sucesivamente.

12. ¿Sabes el nombre que recibe la gráfica de la siguiente función? O, dicho de otra manera, ¿cuál es el aspecto de la siguiente función al representarla gráficamente?

test01-06

Recibe el nombre de hipérbola. En general, las gráficas de las funciones de la forma \(\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\), con \(c\neq0\), son hipérbolas.

13. ¿Cuál es el límite, cuando \(x\) tiende a infinito, de la siguiente función?

test01-10

El límite de una función racional cuando \(x\) tiende a infinito es igual al cociente de los coeficientes líderes del polinomio del numerador y del denominador, siempre y cuándo estos polinomios sean de igual grado. En este caso:

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-x^2+2}{2x^3-4x+1}=\frac{1}{2}\]

Estos límites también se suelen hacer dividiendo todos los términos entre el monomio de mayor grado:

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-x^2+2}{2x^3-4x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^3}{x^3}-\frac{x^2}{x^3}+\frac{2}{x^3}}{\displaystyle\frac{2x^3}{x^3}-\frac{4x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle1-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{\displaystyle2-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-0+0}{2-0+0}=\frac{1}{2}\]

Todos los términos de la forma \(\displaystyle\frac{a}{bx^n}\) tienen límite \(0\) cuando \(x\) tiende a infinito.

14. ¿Cuál es la derivada de la función siguiente?

test01-07

Utilizaremos el siguiente resultado:

\[y=\sqrt{f(x)}\Rightarrow y'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\]

En este caso

\[f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}\]

Si quieres saber más sobre derivadas a nivel elemental puedes hacer click aquí.

15. ¿Es cierta la siguiente igualdad trigonométrica?

test01-08

 

Sí que es cierta. Es la conocida fórmula del seno del ángulo doble.

16. La sombra de la torre del vino, cuando los rayos del sol tienen una inclinación de \(30\) grados, es de \(48\) metros y medio. ¿Cuál es la altura de dicha torre?

Llamemos \(h\) a la altura de la torre del vino. Observa la siguiente figura.

torre-vino

Entonces:

\[\text{tg}\,30^\text{o}=\frac{h}{48,5}\Rightarrow h=48,5\cdot\text{tg}\,30^\text{o}=48.5\cdot0.577=28\ \text{m.}\]

17. ¿Es cierto que la función \(y=2x^2−3x+1\) tenga un mínimo en el punto de abscisa \(\displaystyle\frac{3}{4}\)?

\[y'=4x-3\quad;\quad y'=0\Leftrightarrow 4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\].

Lo anterior quiere decir que \(\displaystyle\frac{3}{4}\) es un posible extremo relativo.

Por otro lado:

\[y'>0\Leftrightarrow4x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{4}\]

\[y'<0\Leftrightarrow4x-3<0\Leftrightarrow x<\frac{3}{4}\]

Esto quiere decir que la función es creciente cuando \(\displaystyle x>\frac{3}{4}\) y decreciente cuando \(\displaystyle x<\frac{3}{4}\). De aquí se deduce que, efectivamente, \(\displaystyle\frac{3}{4}\) es un mínimo.

Para saber más sobre derivadas a un nivel elemental puedes hacer clic aquí.

18. ¿Que representa desde el punto de vista gráfico la siguiente expresión?

test01-09

El área del recinto formado por la gráfica de la función \(f(x)\), las rectas verticales que pasan por \(x=0\) (el eje \(Y\)) y por \(x=2\), y el eje \(X\).

Por ejemplo, en la figura se representa el área del recinto anterior tomando \(f(x)=-x^2+x+4\):

area-01

19. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos seises al lanzar dos dados?

Según la regla de Laplace, la probabilidad de que ocurra un suceso es igual al número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles. Al lanzar dos dados el número de casos posibles es \(36\):

\[\begin{matrix}(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\end{matrix}\]

Por tanto si llamamos \(A\) al suceso "salir dos seises": \(A=\{(6,6)\}\):

\[P(A)=\frac{1}{36}\]

donde \(P(A)\) es la notación para la probabilidad del suceso \(A\).

Si quieres aprender más sobre probabilidad puedes hacer click aquí.

20. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos figuras al extraer dos cartas simultáneamente de una baraja española (\(40\) cartas)?

Llamemos \(A\) al suceso "la primera carta extraída es una figura" y \(B\) al suceso "la segunda carta extraída es una figura". Entonces obtener dos figuras al extraer dos cartas simultáneamente es lo mismo que ocurran simultáneamente los sucesos \(A\) y \(B\). Esto se llama suceso intersección y se escribe así \(A\cap B\). Así pues:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)=\frac{12}{40}\cdot\frac{11}{39}=\frac{132}{1560}=0,0846\]

La probabilidad \(P(B/A)\) es una probabilidad condicionada y significa "probabilidad de que ocurra el suceso \(B\) sabiendo que ha ocurrido el suceso \(A\). En este caso, para que salgan dos figuras, cuando extraemos la segunda carta ya sabemos que la primera extraída ha sido una figura. Por tanto quedan \(11\) figuras de las \(12\) que hay y \(39\) cartas de las \(40\) que tiene la baraja.

En definitiva, digamos que, más o menos, entre un \(8\%\) y un \(9\%\) de las veces que extraigamos dos cartas simultáneamente de una baraja española, ambas serán figuras.

Nota: en una baraja española de \(40\) cartas hay doce figuras, tres por palo (sota, caballo y rey para cada palo). Como hay cuatro palos (oros, copas, espadas y bastos) tenemos que el número de figuras es \(3\cdot4=12\).

Si quieres saber más sobre probabilidad puedes hacer click aquí.

 

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