Menu
La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Prev Next

Paradojas famosas como elemento de razonamiento

paradojas paradojas
Extraído del libro "Uno + uno son diez", de José María Letona.

Hablar de paradojas es hablar de Bertrand Russell, matemático y filósofo del siglo XX (1872-1970).

Durante un siglo vivió como filólogo y crítico social, como escritor y educador, como miembro de la Cámara de los Lores y como interno de la cárcel de Brixton. Fue una fuerza intelectual irresistible y un gran vividor.

En cierta ocasión dijo que había pensado suicidarse, pero que abandonó la idea por la cantidad de Matemáticas que le quedaban por aprender.

Lean con detenimiento lo que les voy a contar, porque en ello reside la base para crear y comprender las paradojas.

En 1901 Russell estaba metido de lleno en sus investigaciones sobre los fundamentos lógicos de las Matemáticas, lo que le llevó a examinar las relaciones entre colecciones de elementos (lo que ahora conocemos por conjuntos). La naturaleza de los elementos de los conjuntos era inmaterial. Lo que importaba era la lógica abstracta de la teoría de conjuntos.

Consideremos el conjunto que llamaremos \(S\), formado por los elementos \(a\), \(b\) y \(c\). Tanto \(a\) como \(b\) y como \(c\) pertenecen al conjunto \(S\) y lo escribiremos así \(S=\{a,\,,b\,,c\}\) (por cierto la relación de pertenencia se escribe así: \(a\in S\), \(b\in S\), \(c\in S\). Otro elemento distinto de los tres anteriores, como el \(d\), no es elemento del conjunto \(S\) (\(d\notin S\)). Los elementos en este caso no forman ellos conjuntos, pero puede que un conjunto esté formado por elementos que sean a su vez conjuntos, por ejemplo, \(Q=\{a\,,\{b\,,c\}\}\), escritura que significa que el conjunto \(Q\) está formado por el elemento \(a\) y otro conjunto formado por los elementos \(b\) y \(c\) (dicho de otra manera, \(Q\) tiene dos elementos: \(a\) y \(\{b\,,c\}\)).

El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros o elemento otros conjuntos suscitó en Russell la pregunta de si un conjunto puede contenerse a sí mismo como un miembro más, es decir, en la nomenclatura que hemos definido, \(Q=\{a\,,\{b\,,c\}\,,Q\}\).

Russell escribió: "me parecía que un conjunto es y a veces no es miembro de sí mismo". Veamos lo que quería decir.

Supongamos un conjunto \(T\), que contiene todas las cosas menos las que sean relojes de cualquier tipo. Este conjunto contiene números, letras, palabras, concejales de urbanismo y todo aquello que no es un reloj, por lo que podemos decir que este conjunto tampoco es un reloj, nunca podremos saber la hora con él, y por ende debe estar contenido en \(T\) (es decir, \(T\) es un elemento de \(T\): \(T\in T\)).

Otro conjunto, \(W\), podría ser el de todos los relojes, que obviamente no es un reloj, por lo que no podría ser elemento del conjunto \(W\) (\(W\notin W\)). A estos conjuntos los llamaremos conjuntos Russell.

Obviamente un conjunto pertenece a un tipo u otro.

Partiendo de estas reflexiones, Russell llegó a considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Es decir, un conjunto con todos los conjuntos Russell. A este conjunto lo llamaremos \(R\).

Reflexione y conteste a la siguiente pregunta: ¿es \(R\) miembro de sí mismo? Dicho de otra manera: ¿es el conjjnto de todos los conjuntos Russell un conjunto de Russell? Seguro que ha llegado a la conclusión de que tiene dos respuestas: sí o no.

Vamos a analizar las dos respuestas posibles. Primero supongamos que la respuesta es sí, entonces \(R\) es un miembro de \(R\). Para ser un miembro de \(R\) tiene que cumplir el criterio de no ser miembro de ellos mismos. Por tanto, si \(R\) es miembro de \(R\), entonces \(R\) no puede ser un miembro de \(R\). Esta contradicción excluye la respuesta "sí".

Si las únicas respuestas posibles son sí o no, parece que como no es sí, tendrá que ser no.

Comprobemos la respuesta no. \(R\) entonces no es un miembro de \(R\) y, como en el ejemplo de los relojes, cumple los requisitos para ser miembro. Por tanto, si \(R\) no es un miembro de \(R\), automáticamente debe convertirse en miembro de \(R\), lo que nuevamente es una contradicción, por lo que tampoco es posible. Cada alternativa de sí o no nos lleva a la contraria y, por tanto, a una contradicción.

Esto es lo que conocemos como la paradoja de Russell. Esta paradoja ponía en entredicho la posibilidad de construir las Matemáticas sobre el fundamento de la lógica.

Para salir de estas contradicciones los lógicos zanjaron la cuestión estipulando que un conjunto que se contiene a sí mismo como elemento no se puede considerar como conjunto. Tema resuelto.

Dentro de las paradojas clásicas están las siguientes, que pasamos a comentar.

El barbero de Sevilla

En Sevilla hay un barbero que sólo afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. ¿Se afeitará el barbero a sí mismo?

Si se afeita a sí mismo, entonces por la primera parte de la afirmación, no debería afeitarse a sí mismo; pero si no se afeita a sí mismo, entonces por la segunda parte debería afeitarse a sí mismo. Claramente el continente no puede estar en el contenido.

La ciudad de los alcaldes

Supongamos que en un país se crea una ciudad que es habitada sólo por alcaldes de municipios del país. Mediante ley aprobada por el congreso se establece que todo alcalde sólo puede vivir en su propia ciudad o en la ciudad de los alcaldes. Como todo municipio debe tener un alcalde, la pregunta es: ¿en dónde vive el alcalde de la ciudad de los alcaldes?

Hay dos posibilidades:

  1. Que el alcalde viva en su propia ciudad; en este caso vivirá en la ciudad de los alcaldes, pero esto implica que el alcalde no vive en su propia ciudad.
  2. Que el alcalde no viva en su propia ciudad; en este caso vivirá en la ciudad de los alcaldes, que es precisamente su propia ciudad.

Como podemos darnos cuenta, ambas soluciones nos conducen a contradicciones.

Paradoja del Quijote

Sancho Panza es nombrado gobernador de la ínsula Barataria, en donde por ley toda persona que llega a esta ínsula debe explicar el motivo de su viaje. Si la persona dice la verdad, es puesta en libertad; si la persona miente, será ajusticiada. Uno que llega Barataria, afirma: estoy aquí para que me cuelguen. ¿Será ajusticiado?

Caben dos soluciones:

  1. Si lo que dice es falso, es ajusticiado, con lo que lo dicho es verdadero y por tanto no puede ser ajusticiado.
  2. Si lo que dice es cierto, debe ser colgado, pero esto es sólo válido si la frase es falsa, lo que vuelve a ser una contradicción. O sea, que no es ajusticiado y queda en libertad.

Paradoja del abogado

Un abogado concertó con sus alumnos que deberían pagarle por sus enseñanzas si y solo si ganaban su primer pleito. Uno de sus discípulos, que había terminado sus estudios, resolvió no aceptar ningún caso para de esta forma eludir el pago. El abogado lo demandó para obligarle a pagar. Si el alumno paga es porque perdió el caso y por tanto no ha ganado su primer pleito, lo que según las condiciones le exoneraría del pago. Si el alumno no paga es porque el resultado le favoreció y por tanto ganó su primer pleito, lo que le obliga a pagar.

Cerremos el tema con lo que afirma Cantor: "si en una paradoja estamos seguros de que no hay contradicciones, la dejaremos de llamar paradoja y la incorporaremos a las Matemáticas".

volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas