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Lotería, dados, azar, probabilidad: un par de problemas

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Problema 1

Es conocido que en los sorteos ordinarios de la lotería hay \(5\) bombos con los números del \(0\) al \(9\). Pues bien: ¿cuál es la probabilidad de que en un sorteo ordinario de lotería toque un número capicúa comprendido entre el \(50\,000\) y el \(70\,000\)?

Recordemos que un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Un número capicuá comprendido entre \(50\,000\) y \(70\,000\) es, por ejemplo, el \(62826\). En general, los números capicúas comprendidos entre \(50\,000\) y \(70\,000\) son de la forma \(5aba5\) o de la forma \(6aba6\), donde \(a\) y \(b\) designan cualquier dígito comprendido entre \(0\) y \(9\).

El número de ordenaciones diferentes de la disposición \(aba\) coincide con el número de ordenaciones diferentes de la disposición \(ab\) donde los dígitos \(a\) y \(b\) se pueden repetir. Así, el total de ordenaciones será igual a las variaciones con repetición de \(10\) elementos tomados de \(2\) en \(2\):

\[VR_{10,2}=10^2=100\]

Esto quiere decir que hay \(200\) capicúas comprendidos entre \(50\,000\) y \(70\,000\): \(100\) capicúas de la forma \(5aba5\) y otros \(100\) de la forma \(6aba6\).

Por tanto, si llamamos \(A\) al suceso "salir un capicúa comprendido entre \(50\,000\) y \(70\,000\)", en un sorteo ordinario cualquiera de la lotería, en el que hay \(100\,000\) casos posibles, aplicando la regla de Laplace tendremos:

\[P(A)=\frac{200}{100\,000}=\frac{2}{1\,000}=\frac{1}{500}=0,002\]

Obsérvese que esto es tanto como decir que, aproximadamente, sale un capicúa comprendido entre \(50\,000\) y \(70\,000\), cada \(500\) sorteos ordinarios de la lotería.

Problema 2

Se sabe que la probabilidad de obtener un seis doble en una tirada de dos dados es \(\displaystyle\frac{1}{36}\). Hallar la probabilidad de obtener al menos un seis doble en \(n\) tiradas de dos dados. ¿Cuántas partidas habrá que jugar para que la probabilidad anterior sea de \(\displaystyle\frac{1}{2}\)?

Si llamamos \(A_i\) al suceso "sacar seis doble en la tirada i-ésima", tendremos que \(\displaystyle P(A_i)=\frac{1}{36}\). Por tanto, la probabilidad de no sacar seis doble en la tirada i-ésima, será \(\displaystyle P\left(\,\overline{A_1}\,\right)=\frac{35}{36}\).

Llamemos \(A\) al suceso "obtener al menos un seis doble en \(n\) tiradas de dos dados". El suceso contrario, \(\overline{A}\), del suceso anterior es "no obtener ningún seis doble en \(n\) tiradas de dos dados", que es lo mismo que no obtener seis doble en la primer tirada, no obtenerlo en la segunda tirada, y así sucesivamente hasta no obtenerlo en la n-ésima tirada. Y estos \(n\) sucesos son independientes. Por tanto:

\[P(A)=1-P\left(\,\overline{A}\,\right)=1-P\left(\,\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\ldots\cap\overline{A_n}\,\right)=1-P\left(\,\overline{A_1}\,\right)\cdot P\left(\,\overline{A_2}\,\right)\cdot\ldots\cdot P\left(\,\overline{A_n}\,\right)=\]

\[=1-\frac{35}{36}\cdot\frac{35}{36}\cdot\ldots\cdot\frac{35}{36}=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n\]

Si queremos que la probabilidad anterior sea igual a \(\displaystyle\frac{1}{2}\), entonces:

\[1-\left(\frac{35}{36}\right)^n=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\frac{35}{36}\right)^n=\frac{1}{2}\]

Tomando logarimos en la última expresión:

\[\ln\left(\frac{35}{36}\right)^n=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\Rightarrow n\cdot\ln\left(\frac{35}{36}\right)=\ln{1}-\ln{2}\Rightarrow n\cdot(\ln{35}-\ln{36})=-\ln{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow n=\frac{-\ln{2}}{\ln{35}-\ln{36}}\approx24.605\]

Por tanto, deberemos de jugar un mínimo de \(25\) partidas para que la probabilidad de obtener al menos un seis doble sea de \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

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