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Bono Loto y Probabilidad

Bono Loto y Probabilidad

El lunes 24 de junio de 2013, la combinación de la Bono Loto fue la siguiente:

3, 7, 13, 19, 32, 37

Al día siguiente, martes 25 de junio de 2013, la combinación en el siguiente sorteo del juego de la Bono Loto fue esta otra:

10, 16, 19, 37, 47, 49

Como podéis apreciar en ambos sorteos aparecen la misma pareja de números: 19 y 37.

Pues bien, me hago yo una pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en dos sorteos consecutivos de la Bono Loto aparezcan la pareja de números 19, 37? O lo que es lo mismo: ¿cuál es la probabilidad de que en dos sorteos consecutivos de la Bono Loto aparezcan la misma pareja de números, fija pero arbitraria?

También nos podemos plantear la pregunta sin que los sorteos sean consecutivos, aunque me parece que la respuesta a esta otra pregunta no será la misma que la de la pregunta anterior. Es decir, de entre un número determinado de sorteos de la Bono Loto celebrados en un período de tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que en dos sorteos cualesquiera de ellos aparezca idéntica pareja de números?

Estoy un poco liado con esto... ¿Me podéis ayudar?

Actualización: 5 de julio de 2013

Bueno, después de darle vueltas y más vueltas a este asunto de la Bono Loto, voy a intentar darle respuesta. Es un poco largo pero creo que es entretenido y se entiende bien. Además, espero no haber cometido ningún error. Si alguien se apercibe de alguno, por favor, hacédmelo saber. Así que bueno... allá voy:

La Bono Loto, como la Lotería Primitiva, es un sorteo que consiste en extraer, una a una, 6 bolas de un bombo que contiene 49 bolas, numeradas cada una de ellas del número 1 al número 49.

Supongamos que tenemos las 49 bolas dispuestas en el bombo. Sacamos la primera bola. Es muy fácil darse cuenta de que la probabilidad de que esta bola sea el número 19 es 1/49.

Hagamos un inciso aquí para aprender alguna terminología que se utiliza en teoría de probabilidades.

En realidad lo que estamos haciendo es un experimento. Experimento que consiste en extraer una bola de un bombo que contiene 49 bolas, numeradas del 1 al 49. El sorteo de la Bono Loto o de la Lotería Primitiva es otro experimento consistente en repetir seis veces, sin reemplazar las bolas extraídas sucesivamente del bombo, el experimento anterior. Este tipo de experimentos que tienen que ver con el azar reciben el nombre de experimentos aleatorios.

Los posibles resultados al ejecutar nuestro experimento aleatorio es un conjunto formado por 49 elementos: los 49 números naturales, del 1 al 49, con que se numera a cada una de las bolas del bombo. Al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento aleatorio se le llama espacio muestral y se suele simbolizar con la letra E. En nuestro experimento aleatorio, el espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49}.

Cada subconjunto de un espacio muestral recibe el nombre de suceso aleatorio. Se suelen denotar con las letras mayúsculas A, B, C,... 

La probabilidad de un suceso A, que simbólicamente escribiremos P(A), se halla dividiendo el número de elementos del suceso A (casos favorables), entre el número de elementos del espacio muestral E (casos posibles). Este resultado es conocido como regla de Laplace.

Por tanto, si llamamos A al suceso “extraer la primera bola con el número 19”, entonces A={19} y su probabilidad es P(A)=1/49 (1 caso favorable entre 49 posibles). 

De un modo similar, si llamamos B al suceso “extraer la segunda bola con el número 37”, entonces P(B)=1/48 (1 caso favorable entre 48 posibles, pues ya se había extraído una bola anteriormente, la número 19).

Así pues la probabilidad de que la primera bola sea la 19 y la segunda la 37 será (1/48)·(1/49)=1/2352=0,00042517

Rigurosamente, la notación matemática es así:

loto01

donde:

  • A∩B es el suceso “sacar primera bola 19 y segunda bola 37”. En matemáticas se llama suceso intersección del suceso A y del suceso B y hace referencia al suceso que ocurre cuando se dan simultáneamente los sucesos A y B.
  • B/A es el suceso “sacar segunda bola 37 sabiendo que la primera bola ha sido 19”. Observa que es más riguroso escribirlo así en vez de simplemente B, pues se sabe que la primera bola extraída ha sido la 19. Este suceso se llama suceso B condicionado por A y hace referencia a la ocurrencia del suceso B sabiendo que ya ha ocurrido el suceso A.

Lo realmente importante es que hemos conseguido hallar la probabilidad de que la primera bola extraída sea la 19 y la segunda la 37:

loto02

Pero esta probabilidad es la de que la primera bola sea la 19 y la segunda la 37. Como se extraen seis bolas, las posiciones en que salen la bola 19 y la bola 37 pueden ser muy distintas. En concreto, hay 30 posibilidades diferentes. Hay 15 en que la bola 19 sale por delante de la bola 37 y otras 15 en que la bola 37 sale por delante de la 19. No es difícil escribirlas todas. Por ejemplo podemos escribir: _ A _ _ B _ , lo que significa que la segunda bola que sale es la 19 y la quinta es la 39. En los “huecos” puede salir cualquier otra bola. Os dejo a vosotros que las escribáis todas y que os convenzáis de que, efectivamente, hay 30 posibilidades diferentes de aparición de las bolas 19 y 37. Los más acostumbrados a trabajar con estadística y probabilidad se darán cuenta de que este número coincide con las variaciones sin repetición de 6 posiciones tomadas de 2 en 2: V6,2=6·5=30.

Así pues, si llamamos C al suceso “salir las bolas 19 y 37” en un sorteo cualquiera de la Bono Loto, tendremos que su probabilidad es:

loto03

Por cierto, esta probabilidad es la misma para cualquier otra pareja de números fija, pero arbitraria.

Analicemos este resultado. Si multiplicamos la probabilidad obtenida por mil, se obtiene aproximadamente 12,7. Esto quiere decir que fijada una pareja de números, ésta aparecerá, más o menos, en 13 de cada 1000 sorteos de la Bono Loto, es decir, 1 vez cada 78 sorteos (más o menos).

Finalmente, como lo que queríamos era saber la probabilidad de que en dos sorteos consecutivos de la Bono Loto aparezca idéntica pareja de números, si llamamos S al suceso “salir una pareja determinada de números en un sorteo de la Bono Loto” y T al suceso “salir idéntica pareja de números en el otro sorteo de la Bono Loto”, lo que queremos hallar es la probabilidad de que ocurran simultáneamente S y T:

loto04

Matemáticamente:

loto05

Obsérvese que, en este caso T/S=T, pues el hecho de que haya ocurrido el suceso S, es decir, el hecho de que haya salido nuestra pareja de números en un sorteo de la Bono Loto, no condiciona para nada el hecho de ocurra el suceso T, es decir, de que vuelva a salir idéntica pareja en el otro sorteo de la Bono Loto. Cuando esto ocurre se dice que los sucesos son independientes.

Si la probabilidad anterior se multiplica por cien mil, se obtiene aproximadamente 16,27. Esto viene a decir que si repite cien mil veces el experimento “realizar dos sorteos consecutivos de la Bono Loto”, sólo en 16, más o menos, de tales experiencias aparecerá nuestra pareja de números. Utilizando una sencilla regla de tres llegamos a la conclusión de que aparecerá nuestra pareja de números en ambos sorteos de la Bono Loto cada 6250 veces que se lleven a cabo dos sorteos consecutivos.

Hay cuatro sorteos de la Bono Loto a la semana. Como el año tiene 52 semanas, tendremos 208 sorteos, 104 parejas de sorteos de la Bono Loto al año. Dividiendo 6250 entre 104 obtenemos, aproximadamente, 60. Esto quiere decir que deberemos esperar, más o menos, al año 2073 (no lo verán mis ojos) a que vuelvan a aparecer la pareja de números 19 y 37 en dos sorteos consecutivos de la Bono Loto (lo que no quiere decir que el azar sea caprichoso y vuelvan a aparecer en el próximo sorteo de la Bono Loto).

Un última observación: la persona acostumbrada a trabajar con las matemáticas, en especial con las ramas de la estadística y de la probabilidad, obtendrá rápidamente, utilizando la combinatoria y la regla de Laplace, la probabilidad P(S) de obtener la misma pareja de números en un sorteo de la bono loto:

loto06

loto07

Para la pregunta más general, ¿cuál es la probabilidad de que en dos sorteos cualesquiera de la Bono Loto aparezca idéntica pareja de números?, deberemos de fijar un período de tiempo, o lo que es lo mismo, un número determinado de sorteos de la Bono Loto, ya que si el número de sorteos de la Bono Loto tiende a infinito, naturalmente la probabilidad de que aparezca idéntica pareja de número tenderá a uno. Pongamos pues por caso que consideramos, como antes, un año, es decir, 52·4=208 sorteos de la Bono Loto.

De este modo el experimento es la realización de un sorteo ordinario de la Bono Loto. Consideraremos que este experimento se repite 208 veces (ensayos) y, llamando éxito a que aparezca nuestra pareja de números, lo que vamos a intentar hallar es la probabilidad de que el éxito sea mayor o igual que dos, es decir que aparezca dos o más veces nuestra pareja de números en un año.

Esto requiere un uso a fondo de la combinatoria. Hay una teoría para ello: las experiencias o ensayos de Bernouilli y la distribución binomial.

Se dice que un experimento es binomial si cada uno de sus ensayos es independiente de los demás (es decir, la probabilidad de un resultado no depende de los resultados del resto de ensayos). Además cada ensayo admite dos probabilidades: p (probabilidad del éxito) y q=1−p (probabilidad de fracaso), probabilidades que se mantienen constantes cada vez que se lleva a cabo el experimento.

Si un experimento es binomial, la variable X=“número de éxitos”, se dice que sigue una distribución binomial y es posible hallar la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a r, en n ensayos o repeticiones del experimento, probabilidad que viene dada por la fórmula:

loto08

En nuestro caso queremos hallar la probabilidad de que el número de éxitos sea mayor o igual que dos. Para ello podemos hallar la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a cero: P(X=0), y la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a uno: P(X=1). De este modo tendremos que la probabilidad de que el número de éxitos sea mayor o igual que dos será:

loto09

En nuestro caso tenemos que la probabilidad de éxito es p=0,012755102, que redondearemos a p=0,013 (la de que aparezca nuestra pareja de números en un sorteo de la Bono Loto), y repetimos el experimento n=208 veces. Por tanto:

loto10

loto11

Es decir:

loto12

Esta probabilidad es bastante alta. Recuérdese que antes habíamos visto que la misma pareja de números aparecía, más o menos, cada 78 sorteos de la Bono Loto. Y 78·2=156, que es menor que los 208 sorteos que se celebran en un año. Por tanto es bastante probable que, en un año, aparezca dos o más veces idéntica pareja de números.

Para saber más:

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