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Una identidad con radicales y alguna que otra reflexión sobre las matemáticas

En la materia Matemáticas I, de 1º de Bachillerato, repasando las propiedades de las raíces y operando con radicales, llegamos a un punto donde los ejercicios se vuelven algo más interesantes. En esta relación, uno de ellos, el número 8, dice en su enunciado: "Racionaliza denominadores, efectúa las operaciones y simplifica". En todos los apartados se trabaja con expresiones con radicales que contienen números, salvo en el último donde aparece una expresión algebraica con radicales que contiene una letra, la \(x\):

\[\dfrac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\]

Esta relación de ejercicios proporciona las soluciones finales de cada uno de ellos. Concretamente en este caso la solución es un escueto radical: \(\sqrt{1-x}\).

Nos quedamos un poco perplejos de que una expresión "tan grande" pueda ser simplificada a una expresión tan sencilla. Pero bueno, vamos allá. Como el enunciado dice que racionalicemos denominadores, nos ponemos a la tarea. Ya anticipo que HAY OTRA FORMA MÁS FÁCIL DE SIMPLIFICAR ESTA EXPRESIÓN, pero en principio nos hemos de ceñir al enunciado del ejercicio.

En primer lugar racionalizamos las expresiones \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\) y \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\). Es muy sencillo multiplicando, en ambos casos, numerador y denominador por la raíz que aparece en el denominador.

\[\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{1+x}\]

\[\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\]

Ahora, efectuamos la suma que aparece en el numerador, \(\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\), y la que aparece en el denominador, \(1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

\[\sqrt{1-x}+\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1-x}+\frac{\sqrt{1+x}}{1+x}=\frac{(1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{1+x}\]

\[1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1+\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}=\frac{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\]

Ahora dividimos e intentamos simplificar:

\[\dfrac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\dfrac{(1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{1+x}}{\dfrac{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}}=\frac{(1-x^2)\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{(1+x)\left(1-x^2+\sqrt{1-x^2}\right)}=(1)\]

¡Uf! ¿Y esto quiero yo que se parezca, al final, a \(\sqrt{1-x}\)? En este momento empieza a entrar la desesperación. Muchos abandonan. Pero no podemos desistir. Hay que continuar. Podemos descansar un poco... Mirar la última expresión retirando las vista unos centímetros y observándola como un todo... Ya, ya sé que da un poco de "yu-yu". Pero hay una cosa clara: un factor del numerador es \(1-x^2\) y un factor del denominador es \(1+x\). Como \(1-x^2=(1+x)(1-x)\), se puede cancelar el factor \(1+x\) arriba y abajo y la expresión \((1)\) quedará así:

\[\frac{(1-x)\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}=(2)\]

Bueno, ¿y ahora qué? Pues ahora... siéntate y llora, como diría mi abuelo. No, no, nada de eso. Lo único que podemos hacer es volver a racionalizar. «¿Volver a racionalizar? ¿Estas loco?». Pues sí, no nos queda otra: volver a racionalizar. El conjugado de \(1-x^2+\sqrt{1-x^2}\) es \(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\). Multiplicaremos numerador y denominador por esta última expresión. 

Simplifiquemos primero el denominador. Hay que estar muy atentos aquí. Suma por diferencia es diferencia de cuadrados. Luego extraemos \(1-x^2\) factor común.

\[\left(1-x^2+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)=(1-x^2)^2-(1-x^2)=(1-x^2)(1-x^2-1)=-x^2(1-x^2)\]

Por tanto:

\[(2)=\frac{(1-x)\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)}{-x^2(1-x^2)}=(3)\]

Ahora ocurre como antes. En el numerador aparece el factor \(1-x\), y en el denominador el factor \(1-x^2=(1+x)(1-x)\). Entonces podemos eliminar el factor \(1-x\) del numerador y del denominador y la expresión \((3)\) quedará así:

\[(3)=\frac{\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)}{-x^2(1+x)}=(4)\]

Ya nos queda poco. Simplifiquemos ahora el numerador de la ultima expresión utilizando la propiedad distributiva, es decir, "todos por todos". Para ello, en el segundo paréntesis, tomaremos la expresión \(1-x^2\) como un sólo sumando y nos resultará más cómodo. Esto se hace en matemáticas con mucha frecuencia. Así el primer paréntesis tendrá dos sumandos: \((1+x)\sqrt{1-x}\) y \(\sqrt{1+x}\), y el segundo paréntesis otros dos: \(1-x^2\) y \(\sqrt{1-x^2}\). De esta forma, al desarrollar, deben salirnos cuatro términos. Vamos allá:

\[\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)=\]

\[=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1+x)\sqrt{(1-x)(1-x^2)}+(1-x^2)\sqrt{1+x}-\sqrt{(1+x)(1-x^2)}=(\ast)\]

Hagamos una pausa antes de seguir. En el desarrollo realizado aparecen dos expresiones que podemos simplificar, de manera similar, extrayendo factores del radical. Estas expresiones son \(\sqrt{(1-x)(1-x^2)}\) y \(\sqrt{(1+x)(1-x^2)}\). Extraigamos, pues, un factor de ambas:

\[\sqrt{(1-x)(1-x^2)}=\sqrt{(1-x)(1+x)(1-x)}=\sqrt{(1-x)^2(1+x)}=(1-x)\sqrt{1+x}\]

\[\sqrt{(1+x)(1-x^2)}=\sqrt{(1+x)(1+x)(1-x)}=\sqrt{(1+x)^2(1-x)}=(1+x)\sqrt{1-x}\]

De este modo, la expresión \((\ast)\) queda del siguiente modo:

\[(\ast)=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1+x)(1-x)\sqrt{1+x}+(1-x)^2\sqrt{1+x}-(1+x)\sqrt{1-x}=\]

\[=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1-x^2)\sqrt{1+x}+(1-x)^2\sqrt{1+x}-(1+x)\sqrt{1-x}=\]

\[=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1+x)\sqrt{1-x}=(1+x)\sqrt{1-x}(1-x^2-1)=-x^2(1+x)\sqrt{1-x}\]

Observa que se han cancelado dos sumandos por ser iguales y de signo contrario. Luego se ha extraído \((1+x)\sqrt{1-x}\) factor común. Simplifiquemos finalmente la expresión \((4)\):

\[(4)=\frac{-x^2(1+x)\sqrt{1-x}}{-x^2(1+x)}=\sqrt{1-x}\]

Tal y como queríamos demostrar.

Ya dije que había otra forma más rápida, más fácil de simplificar esta expresión. Se trata de NO RACIONALIZAR y empezar sumando tanto la expresión del numerador como la del denominador. ¡Hazlo tú y compruébalo! Si no lo consigues puedes desplegar el "spoiler" de aquí abajo.

\[\dfrac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\dfrac{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\dfrac{\sqrt{(1-x)(1+x)}+1}{\sqrt{1+x}}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}}}=\]

\[=\frac{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1+x}}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{(\sqrt{1-x^2}+1)\sqrt{1-x^2}}{(\sqrt{1-x^2}+1)\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x}}=\]

\[=\frac{\sqrt{(1+x)(1-x)}}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1-x}\]

Alguna que otra reflexión sobre las matemáticas

«¿Para qué dar tantas vueltas?» «¿Pero no hay una forma fácil y rápida (como esta última)?» «¿Por qué ese rodeo tan complicado que cansa?» Se podría responder a estas preguntas con otra pregunta: «¿y por qué no?» O con una afirmación muy directa: «por puro placer». Vamos a ver... Hay mucha gente que hace las maletas y se va a dar un paseo por la muralla China, a otros les da por intentar coronar la cima del Annapurna, cuando no por coger un trozo de tela y ponerse delante de un toro. O simplemente nos da por resolver un crucigrama o una sopa de letras. O nos empeñamos en destrozar la PlayStation para pasar al siguiente nivel de "The Last Of Us". Algunos leen Hamlet, o hacen un comentario sobre un pasaje de la Divina Comedia. Podría seguir. Pero, en principio, no tiene que haber una razón, un fundamento, un porqué, para hacer matemáticas. Se hacen por el mero hecho de hacerlas. Sí, las matemáticas también tienen una parte de placer, de diversión. Es un juego, un juego con unas reglas. Un lenguaje preciso con un poder fuera de lo común. Con una eficacia que a veces resulta irracional. De hecho, eligiendo modelos matemáticos adecuados, es cierto que se han podido resolver problemas cuya aplicación a la humanidad ha sido extremadamente útil.

Pero hay otra razón. Forman parte del currículo desde la educación primaria porque nos hacen pensar, porque desarrollan nuestra capacidad de abstracción. Son un entrenamiento para el intelecto, un arma para mantener alejada la ignorancia y la necedad. Nadie se pregunta para qué sirve saber escribir o expresarse oralmente con corrección. Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia, es más, puede que el lenguaje con el que todo lo que conocemos (y desconocemos) esté escrito.

Es cierto que en Secundaria y en gran parte del Bachillerato, los profesores hemos de enseñar y los alumnos han de aprender los rudimentos de la matemáticas. Los procedimientos y fórmulas que, después, nos llevarán a plantear modelos, resolver problemas y hacer matemáticas de las de verdad. Pero poniendo en práctica estos procedimientos, como en el ejercicio anterior, ya se atisba un punto en el que tenemos que hacer esfuerzos para salir de ciertas encrucijadas. O descartar un camino por considerarlo un callejón sin salida. Ya estamos viendo, aunque sea un problema estrictamente algebraico, que hemos de poner en marcha ciertas estrategias para resolver un problema. Y esto, aunque algunos lo tachen de aburrido o feo, es parte fundamental no solo del camino en el crecimiento intelectual de toda persona, sino de la vida misma.

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Radicales. Racionalización de denominadores

Sabemos que la raíz de dos es un número irracional que tiene, por tanto, infinitas cifras decimales:

\[\sqrt{2}=1,4142135623730950488\ldots\]

Redondeado \(\sqrt{2}\) a las décimas tenemos la aproximación

\[\sqrt{2}=1,4\]

Aproximación en la que se comete un error absoluto menor que \(5\) centésimas. Es decir, una cota del error es \(0,05\) (para saber más sobre errores y valores aproximados haz clic aquí). Esta aproximación ya la conocían en la antigüedad y, además, es bastante buena. Del mismo modo disponían de aproximaciones para \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{7}\), etc.

\[\sqrt{3}=1,7\]

\[\sqrt{5}=2,2\]

\[\sqrt{7}=2,6\]

A veces había que hacer operaciones con estos números. Por ejemplo, efecturar la división \(\displaystyle 4:\sqrt{2}=\frac{4}{\sqrt{2}}\). Y no se disponía de calculadoras. Esto es un poco tedioso porque tenemos que dividir un entero entre un decimal:

 Dividiendo entre decimales

Pero se puede obtener una expresión equivalente a \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}\). Basta multiplicar el numerador y el denominador por \(\sqrt{2}\). Veámoslo:

\[\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{2}=2\cdot\sqrt{2}\].

Es mucho más fácil multiplicar por \(2\) que dividir por \(\sqrt{2}\), aunque tomemos de esta última una aproximación con un solo decimal. De este modo \(\displaystyle 4:\sqrt{2}=2\cdot\sqrt{2}=2\cdot1,4=2,8\).

Este proceso recibe el nombre de racionalización. Consiste en eliminar las raíces cuadradas del divisor, o si se quiere, del denominador, obteniendo una expresión equivalente más sencilla de manejar. Veremos aquí tres casos de racionalización.

Primer caso

En el denominador aparece solamente una raíz cuadrada, incluso si se quiere multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la raíz cuadrada que aparece en el denominador:

\[\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c^2}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\,c}\]

Segundo caso

En el denominador aparece solamente una raíz de índice \(n\), incluso si se quiere multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la raíz adecuada de índice \(n\) hasta conseguir eliminarla del denominador:

\[\frac{a}{b\sqrt[n]{c}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\sqrt[n]{c}\sqrt[n]{c^{n-1}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\sqrt[n]{c^n}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\,c}\]

En general:

\[\frac{a}{b\sqrt[n]{c^p}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\sqrt[n]{c^p}\sqrt[n]{c^{n-p}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\sqrt[n]{c^n}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\,c}\]

Tercer caso

En el denominador aparece un binomio, uno de cuyos términos (o los dos) contiene una raíz cuadrada incluso multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador (recuérdese que el conjugado de \(a+b\) es \(a-b\) y viceversa):

\[\frac{a}{b\sqrt{x}+c\sqrt{y}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x}+c\sqrt{y})(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x})^2-(c\sqrt{y})^2}=\]

\[=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{b^2\sqrt{x^2}-c^2\sqrt{y^2}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{b^2x+c^2y}\]

Se ha utilizado para simplificar el denominador que "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados": \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Hagamos tres ejemplos concretos de racionalización de expresiones con radicales, que ilustre cada uno de ellos los tres casos anteriores.

Supongamos pues que nos piden racionalizar, y simplificar a ser posible, las expresiones siguientes:

\[\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{30}}\quad;\quad\frac{\sqrt{8}}{2\sqrt[6]{4}}\quad;\quad\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6-\sqrt{6}}\]

\[\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{30}}=\frac{2\sqrt{5}\sqrt{30}}{5\sqrt{30}\sqrt{30}}=\frac{2\sqrt{150}}{5\sqrt{30^2}}=\frac{2\sqrt{2\cdot3\cdot5^2}}{5\cdot30}=\]

\[=\frac{2\cdot5\sqrt{6}}{150}=\frac{10\sqrt{6}}{150}=\frac{\sqrt{6}}{15}\]

\[\frac{\sqrt{8}}{2\sqrt[6]{4}}=\frac{\sqrt{2^3}}{2\sqrt[6]{2^2}}=\frac{\sqrt{2^3}\sqrt[6]{2^4}}{2\sqrt[6]{2^2}\sqrt[6]{2^4}}=\frac{\sqrt[6]{2^9}\sqrt[6]{2^4}}{2\sqrt[6]{2^6}}=\]

\[=\frac{\sqrt[6]{2^{13}}}{2\cdot2}=\frac{2^2\sqrt[6]{2}}{4}=\frac{4\sqrt[6]{2}}{4}=\sqrt[6]{2}\]

\[\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6-\sqrt{6}}=\frac{(9\sqrt{3}-3\sqrt{2})(6+\sqrt{6})}{(6-\sqrt{6})(6+\sqrt{6})}=\frac{54\sqrt{3}+9\sqrt{18}-18\sqrt{2}-3\sqrt{12}}{6^2-(\sqrt{6})^2}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+9\sqrt{3^2\cdot2}-18\sqrt{2}-3\sqrt{2^2\cdot3}}{36-6} =\frac{54\sqrt{3}+9\cdot3\sqrt{2}-18\sqrt{2}-3\cdot2\sqrt{3}}{30}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+27\sqrt{2}-18\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{30} =\frac{48\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{30}=\frac{16\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{10}\]

En este enlace puedes encontrar una relación de ejercicios de operaciones con radicales. El tercer ejercicio de la relación contiene 12 expresiones con radicales para racionalizar y simplificar. Además se da la solución final de cada una de ellas.

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Operaciones con raíces. Radicales - 3 (Problemas)

Instrucciones:

Para practicar con estos problemas te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Estos problemas requieren cierto ingenio, el uso del teorema de Pitágoras en la mayoría de los casos y saber operar adecuadamente con radicales. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!


Problema 1. Los puntos \(A\) y \(B\) dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales.

problemas-raices-01

Si el área del cuadrado es \(36\ \text{cm}^2.\), ¿cuánto medirá el lado del rombo? Da el valor exacto.

Como el área del cuadrado es de \(36\ \text{cm}^2.\), si llamamos \(l\) al lado del mismo, tenemos que:

\[l^2=36\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\ \text{cm}.\]

Llamemos \(D\) a la diagonal del cuadrado, o lo que es lo mismo, a la diagonal mayor del rombo, y \(d\) a la diagonal menor. Entonces, por el teorema de Pitágoras:

\[D^2=l^2+l^2\Rightarrow D^2=6^2+6^2=36+36=72\Rightarrow D=\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot3^2}=6\sqrt{2}\ \text{cm}.\]

La diagonal menor \(d\) es a tercera parte de la mayor \(D\), es decir:

\[d=\frac{D}{3}=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\ \text{cm}.\]

La diagonal mayor y la diagonal menor del rombo lo dividen en cuatro triángulo rectángulos. La medida de los catetos de cada uno de estos triángulos rectángulos es la mitad de la medida de cada una de las diagonales.

problemas-raices-08

Llamando \(x\) al lado del rombo, se tiene que:

\[x^2=(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\Rightarrow x^2=9\cdot2+2\Rightarrow x^2=20\Rightarrow x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \text{cm}.\]


Problema 2. Halla la diagonal de un cubo cuyo volumen es \(5\ \text{dm}^3.\) Expresa la medida como un radical.

Si llamamos \(l\) al lado del cubo, como su volumen es \(5\ \text{dm}^3.\), tenemos que;

\[l^3=5\Rightarrow l=\sqrt[3]{5}\ \text{dm}.\]

Llamemos \(x\) a la diagonal de una de las caras del cuadrado.

problemas-raices-09 

Entonces:

\[x^2=(\sqrt[3]{5})^2+(\sqrt[3]{5})^2=2(\sqrt[3]{5})^2=2\sqrt[3]{5^2}\Rightarrow x=\sqrt{2\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[6]{2^3\cdot5^2}\ \text{dm}.\]

Llamemos ahora \(d\) a la diagonal del cubo (línea que une dos vértices opuestos). Entonces:

\[d^2=\left(\sqrt[6]{2^3\cdot5^2}\right)^2+(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[6]{2^6\cdot5^4}+\sqrt[3]{5^2}=2\sqrt[6]{5^4}+\sqrt[3]{5^2}=2\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5^2}=3\sqrt[3]{5^2}\]

Por tanto:

\[d=\sqrt{3\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[6]{3^3\cdot5^2}=\sqrt[6]{675}\ \text{dm}.\]


Problema 3. En un cuadrado de \(10\ \text{cm}.\) de lado, recortamos en cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de forma que obtenemos un octógono regular.

problemas-raices-02

a)  Halla la medida exacta del lado del octógono.

b)  Calcula su área.

a)  Hemos llamado \(l\) al lado del octógono y \(x\) a cada uno de los catetos de los triángulos rectángulos isósceles que se forman en cada esquina. Como el lado del cuadrado mide \(10\ \text{cm}.\), entonces:

\[x+l+x=10\Rightarrow 2x+l=10\Rightarrow l=10-2x\]

Por otro lado, utilizando el teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos rectángulos de las esquinas:

\[l^2=x^2+x^2\Rightarrow l^2=2x^2\]

Sustituyendo en esta última ecuación el valor del lado del octógono obtenido anteriormente:

\[(10-2x)^2=2x^2\Rightarrow 100-40x+4x^2=2x^2\Rightarrow2x^2-40x+100=0\Rightarrow x^2-20x+50=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{20\pm\sqrt{(-20)^2-4\cdot1\cdot50}}{2\cdot1}=\frac{20\pm\sqrt{400-200}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{200}}{2}=\]

\[=\frac{20\pm10\sqrt{2}}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{2(10+5\sqrt{2})}{2}=10+5\sqrt{2}\\x_2=\frac{2(10-5\sqrt{2})}{2}=10-5\sqrt{2}\end{cases}\]

La solución \(x_1=10+5\sqrt{2}\) hay que descartarla al no ajustarse al enunciado de nuestro problema, ya que es un número mayor que \(10\), y \(10\ \text{cm}.\) es justamente lo que mide el lado del cuadrado.

Por tanto, la medida de los lados iguales de cada uno de los triángulos rectángulos isósceles que se forman en las esquinas es \(x=10-5\sqrt{2}\ \text{cm}.\) Como \(l^2=2x^2\), entonces \(l=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x\), y el lado del octógono medirá:

\[l=\sqrt{2}\left(10-5\sqrt{2}\right)=10\sqrt{2}-10=10\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm}.\]

b)  El área del octógono es igual al área del cuadrado (\(100\ \text{cm.}^2\)), menos el área de los cuatro triángulos que se forman en las esquinas.

El área \(A\) de cada uno de los triángulos de las esquinas es:

\[A=\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{2}=\frac{\left(10-5\sqrt{2}\right)^2}{2}=\]

\[=\frac{100-100\sqrt{2}+50}{2}=\frac{150-100\sqrt{2}}{2}=75-50\sqrt{2}\ \text{cm.}^2\]

Por tanto el área \(S\) del octógono es:

\[S=100-4A=100-4\left(75-50\sqrt{2}\right)=100-300+200\sqrt{2}=\]

\[=200\sqrt{2}-200=200\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm.}^2\]

Observación:

Hay otra forma de hallar el área del octógono, que es utilizando la fórmula del área de un polígono regular:

\[S=\frac{\text{perimetro}\cdot\text{apotema}}{2}=\frac{p\cdot a}{2}\]

El perímetro del octógono es \(8\) veces el lado: \(p=80\left(\sqrt{2}-1\right)\) y la apotema es la distancia del centro del octógono (en este caso también del centro del cuadrado) al punto medio de cualquiera de sus lados. En este caso coincide, claramente, con la mitad del lado del cuadrado: \(a=5\).

Por tanto:

\[S=\frac{80\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot5}{2}=\frac{400\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}=200\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm.}^2\]


Problema 4. El "rectángulo áureo" tiene la siguiente propiedad: si cortamos en él un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al inicial.

problemas-raices-07 

Es decir:

\[CDEF\sim ABCD\]

La relación entre las dimensiones del rectángulo áureo es el número de oro \(\Phi\).

Para obtener su valor, llamamos \(\overline{AB}=1\) y \(\overline{BC}=x\).

Aplica la proporcionalidad o semejanza entre los lados de los rectángulos que obtengas y comprueba que \(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi\).

Comprueba también las siguientes igualdades:

a)  \(\displaystyle \Phi^2=\Phi+1\).

b)  \(\displaystyle \Phi-1=\frac{1}{\Phi}\).

c)  \(\displaystyle \Phi^3=2\Phi+1\).

d)  \(\displaystyle \Phi^4=3\Phi+2\).

Como los rectángulos son semejantes se tiene que \(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\). Resolviendo esta ecuación:

\[\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x(x-1)=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

De las dos soluciones anteriores tomaremos la positiva, pues la negativa no da lugar a una medida. Así pues:

\[x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

a) Se ha demostrado anteriormente que la solución de la ecuación \(x^2-x-1=0\) es el número de oro \(\Phi\). Entonces, sustituyendo, \(\Phi^2-\Phi-1=0\), es decir, \(\Phi^2=\Phi+1\).

b) Dividiendo los dos miembros de la igualdad anterior entre \(\Phi\), tenemos \(\displaystyle\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\), o lo que es lo mismo \(\displaystyle\Phi-1=\frac{1}{\Phi}\).

c) Multiplicando la igualdad del apartado apor \(\Phi\) tenemos \(\Phi^3=\Phi^2+\Phi\). Volviendo a hacer uso de la igualdad del apartado a), sustituimos en esta última igualdad \(\Phi^2\) por \(\Phi+1\), con lo que resulta \(\Phi^3=\Phi+1+\Phi\Rightarrow\Phi^3=2\Phi+1\).

d) Es similar el apartado c): multiplicamos la igualdad anterior por \(\Phi\) y utilizamos la igualdad del apartado a).

\[\Phi^4=2\Phi^2+\Phi\Rightarrow\Phi^4=2(\Phi+1)+\Phi\Rightarrow\Phi^4=2\Phi+2+\Phi\Rightarrow\Phi^4=3\Phi+2\]


Problema 5. A partir de un cuadrado de lado \(2\ \text{cm}.\), hemos construido el rectángulo \(ABCD\).

problemas-raices-03

¿Es un rectángulo áureo? Comprueba que el cociente entre sus lados es el número de oro \(\Phi\).

Llamemos \(\overline{FC}=x\), al lado menor del rectángulo \(CDEF\). Establezcamos la proporción entre las dimensiones del rectángulo \(ABCD\) y las dimensiones del rectángulo \(CDEF\), y veamos qué es lo que resulta.

\[\frac{2+x}{2}=\frac{2}{x}\Rightarrow2x+x^2=4\Rightarrow x^2+2x-4=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}\]

La solución positiva es \(\displaystyle\frac{-2+\sqrt{20}}{2}=\frac{\sqrt{20}-2}{2}\). Simplifiquémosla.

\[\frac{\sqrt{20}-2}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}-\frac{2}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}-1=\sqrt{5}-1\]

Así pues, la razón entre las dimensiones del rectángulo \(ABCD\) es

\[\frac{2+\overline{FC}}{2}=\frac{2+x}{2}=\frac{2+\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi\]

Por tanto el rectángulo \(ABCD\) es un rectángulo áureo.


Problema 6. Las dimensiones de una "velón" de cera con forma de ortoedro son \(1\), \(\Phi\) y \(\Phi+1\) decímetros.

Si se funde la cera y con la misma cantidad construimos un cubo, ¿cuánto medirá su arista?

El volumen del ortoedro es igual al producto de los tres lados. En este caso el volumen \(V\) será igual a \(V=1\cdot\Phi\cdot(\Phi+1)\). Pero, según la igualdad a) del problema número 4 anterior, \(\Phi^2=\Phi+1\). Por tanto \(V=1\cdot\Phi\cdot\Phi^2=\Phi^3\). De este modo, construyendo un cubo de volumen la cantidad anterior, tendremos que su arista \(a\) será igual a la raíz cúbica del volumen, es decir, \(a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{\Phi^3}=\Phi\). La conclusión es que la arista del cubo construido con la vela fundida del ortoedro es igual al número de oro \(\Phi\).


Problema 7. Supongamos que tenemos un cubo de arista \(1\):

problemas-raices-04

La diagonal de una cara, \(k=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), y la diagonal del cubo \(d=\sqrt{1^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{3}\), son números irracionales.

Averigua si son racionales o irracionales las distancias \(m\) y \(n\) señaladas en la figura siguiente:

problemas-raices-05

\(m\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(1\) y la midad de \(1\). Por tanto:

\[m^2=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\Rightarrow m^2=1+\frac{1}{4}\Rightarrow m^2=\frac{5}{4}\Rightarrow m=\frac{\sqrt{5}}{2}\] 

Ahora, fijándose bien en la figura, \(n\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(m\), calculado anteriormente, y \(1\). Entonces:

\[n^2=\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1^2\Rightarrow n^2=\frac{5}{4}+1\Rightarrow n^2=\frac{9}{4}\Rightarrow n=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\]

Concluimos pues que \(m\) es irracional y \(n\) es racional.


Problema 8. Halla el área de la corona circular comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita en un cuadrado de \(6\ \text{m}^2\) de área. Da su valor exacto.

problemas-raices-06

Llamemos \(r\) al radio de la circunferencia inscrita y \(R\) al radio de la circunferencia circunscrita. Entonces el área \(A\) de la corona circular es

\[A=\pi R^2-\pi r^2=(R^2-r^2)\pi\quad(1)\]

problemas raices 10

Todo se reduce pues a calcular los valores de \(r\) y de \(R\).

Como el área del cuadrado es \(6\,\text{m}^2\), su lado valdrá \(\sqrt{6}\,\text{m}\). Claramente \(r\) es la mitad del lado del cuadrado (ver figura anterior) con lo que

\[r=\frac{\sqrt{6}}{2}\,\text{m}\]

El radio \(R\) de la circunferencia circunscrita lo calcularemos usando el teorema de Pitágoras:

\[R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{3}\,\text{m}\]

Sustituyendo \(r\) y \(R\) en la expresión (1) tenemos el área de la corona circular.

\[A=\left(\sqrt{3}^2-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\right)\pi=\left(3-\frac{6}{4}\right)\pi=\frac{3}{2}\pi\,\text{m}^2\]


Estos problemas han sido extraídos del libro de texto:

Colera, J. Oliveira, M. J., Gaztelu, I.: Matemáticas 4 Opción B. Educación Secundaria. Ed. Anaya.

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Operaciones con raíces. Radicales - 2

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

Por cierto, son prácticamente idénticos a los de la relación número 1 de radicales. Repasa aquella primero, incluso con sus soluciones y observaciones. Así te será fácil hacer esta.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Calcula

a)  \(\displaystyle\left(\sqrt{3}\sqrt{x}\right)^2\)

b)  \(\displaystyle\left(5\sqrt{3x}\right)^3\)

c)  \(\displaystyle\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2\)

d)  \(\displaystyle\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2\)

e)  \(\displaystyle\left(\sqrt{x+y}-\sqrt{x+y}\right)\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}\right)\)

f)  \(\displaystyle\left(\sqrt{5x}+\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{5x}-\sqrt{2x}\right)\)


Ejercicio 2. Extraer los factores posibles de los radicales siguientes:

a)  \(\displaystyle\sqrt{36a^2x^3y^4z^5}\)

b)  \(\displaystyle\sqrt[3]{24x^7y^5}\)

c)  \(\displaystyle\sqrt[4]{\frac{a^5b^6z^7}{64}}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{54x^3}{a^3b^6}}\)


Ejercicio 3. Introducir dentro del radical y simplificar posteriormente:

a)   \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{1}{x}}\)

b)  \(\displaystyle2\sqrt[3]{\frac{1}{16}}\)

c)  \(\displaystyle a^2xy\sqrt[3]{ax^2y^2}\)

d)  \(\displaystyle6x^2y\sqrt{\frac{y}{6x}}\)


Ejercicio 4. Efectuar los sigueintes productos reduciendo a índice común si fuera necesario y simplificar, si es posible, el resultado:

a)  \(\displaystyle\sqrt{2x}\cdot\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{2xyz}\cdot\sqrt{2xy^2z^3}\)

b)  \(\displaystyle\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[4]{18}\)

c)  \(\displaystyle\sqrt{2x}\cdot\sqrt[4]{4x^3}\cdot\sqrt[6]{8x^5}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{ab}\cdot\sqrt[3]{a^2b}\cdot\sqrt[6]{a^5b^3}\)


Ejercicio 5. Calcular para que las expresiones queden, al final, de la forma \(\a\sqrt{b}):

a)  \(\displaystyle6\sqrt{5}+\sqrt{50}-2\sqrt{75}-\sqrt{125}\)

b)  \(\displaystyle7\sqrt{63}+4\sqrt{28}-\sqrt{343}+\sqrt{7}\)


Ejercicio 6. Racionalizar las expresiones siguientes y simplificar el resultado:

a)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

c)  \(\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{10}-\sqrt{5}}\)


Para más información sobre radicales y sus propiedades puedes ver la siguiente presentación sobre raíces, sus propiedades y operaciones con radicales.

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Operaciones con raíces. Radicales - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Calcula:

a)  \(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2\)

b)  \(\left(2\sqrt{2x}\right)^3\)

c)  \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2\)

d)  \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{x}\right)^2\)

e)  \(\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(2\sqrt{x}+5\right)\)

f)  \(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)\)

a)  \(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{2x})^2=2x\)

Observaciones:

Para multiplicar los dos radicales que hay dentro del paréntesis, se ha utilizado la propiedad según la cual "producto de raíces del mismo índice, es igual a la raíz del producto":

\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]

Luego hemos utilizado otra conocida propiedad (bueno, más que propiedad, la definición de raíz de índice cualquiera):

\[(\sqrt[n]{a})^n=a\]

También se podría haber hecho aplicando en primer lugar la propiedad de las potencias según la cual "potencia de un producto es igual a producto de las potencias":

\(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{x})^2(\sqrt{2})^2=x\cdot2=2x\)

b)  \(\displaystyle\left(2\sqrt{2x}\right)^3=2^3\left(\sqrt{2x^3}\right)^3=8\sqrt{(2x)^3}=8\sqrt{8x^3}\)

Observaciones:

Hemos utilizado una propiedad según la cual "potencia de un radical es igual al radical de la potencia":

\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p}\]

Como el enunciado dice "calcula", hemos dejado así el resultado, pero se suelen extraer factores fuera del radical:

\(8\sqrt{8x^3}=8\sqrt{2^3x^3}=8\sqrt{(2x)^2}\sqrt{2x}=8\cdot2x\sqrt{2x}=16x\sqrt{2x}\)

c)  \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2=\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}\sqrt{5}+\sqrt{5}^2=3-2\sqrt{15}+5=8-2\sqrt{15}\)

Observaciones:

En este caso hemos utilizado la conocidad igualdad notable "cuadrado de una diferencia":

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Además se han utilizado la propiedades comentadas en el apartado a).

d)  \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{x}\right)^2=\sqrt{3}^2+2\sqrt{3}\sqrt{x}+\sqrt{x}^2=3+x+2\sqrt{3x}\)

e)  \(\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(2\sqrt{x}+5\right)=(2\sqrt{x})^2-5^2=2^2\sqrt{x}^2-25=4x-25\)

f)  \(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)=\sqrt{x-1}^2-\sqrt{x+1}^2=\)

\(=(x-1)-(x+1)=x-1-x-1=-2\)

Observaciones:

En los apartdos e) f) hemos utilizado la conocida identidad "suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados":

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

También se ha hecho uso de las propiedades ya mencionadas de los radicales.

En el apartado f) hay que tener un poco de cuidado, pues al eliminar el segundo radical y llevar éste un "menos" delante, este menos afecta a todos los sumandos incluidos dentro del radical. Por eso, cuando un radical tiene en su interior varios sumandos, y éste se elimina, los colocamos entre paréntesis para que en los cálculo posteriores no haya lugar a error.


Ejercicio 2. Extraer los factores posibles de los radicales siguientes:

a)  \(\sqrt{64a^4b^6}\)

b)  \(\sqrt[3]{27a^4b^5}\)

c)  \(\sqrt[4]{32a^9b^5}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{28x^3y^4}{63a^5b^6}}\)

a)  \(\sqrt{64a^4b^6}=\sqrt{2^6a^4b^6}=\sqrt{(2^2a^2b^2)(2^2a^2b^2)(2^2b^2)}=\sqrt{2^2a^2b^2}\sqrt{2^2a^2b^2}\sqrt{2^2b^2}=\)

\(=\sqrt{(2ab)^2}\sqrt{(2ab)^2}\sqrt{(2b)^2}=(2ab)(2ab)(2b)=8a^2b^3\)

Observaciones:

En realidad, si nos fijamos bien, sale un factor por cada número de veces que se repite según el índice del radical. Así por ejemplo, si el índice es \(5\) y el factor se repite \(32\) veces (o lo que es lo mismo, está elevado a una potencia de exponente \(32\)), este factor sale \(6\) veces (elevado a \(6\)) y quedan dentro los dos que sobran Esto es porque el índice \(5\) se repite, en el número \(32\), \(6\) veces y sobran \(2\).

\[\sqrt[5]{x^{32}}=\sqrt[5]{x^{6\cdot5+2}}=\sqrt[5]{x^{6\cdot5}\cdot x^2}=\sqrt[5]{(x^6)^5}\cdot\sqrt[5]{x^2}=x^6\sqrt[5]{x^2}\]

Lo que se suele hacer es la división del exponente entre el índice, el cociente corresponde con el número de factores que salen fuera del radical y el resto son el número de factores que se quedan dentro. Esto presupone que el exponente del factor que hay dentro del radical ha de ser mayor o igual que el índice pues, en caso contrario, no sale ningún factor del radical.

\[\sqrt[n]{x^p}=x^q\sqrt[n]{x^r}\]

donde \(q\) es el cociente y \(r\) el resto de la división entera \(p : n\).

Así actuaremos en los siguientes apartados.

b)  \(\sqrt[3]{27a^4b^5}=\sqrt[3]{3^3a^4b^5}=\sqrt[3]{3^3}\sqrt[3]{a^4}\sqrt[3]{b^5}=3ab\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2}=3ab\sqrt[3]{ab^2}\)

c)  \(\sqrt[4]{32a^9b^5}=\sqrt[4]{2^5a^9b^5}\)=\(2a^2b\sqrt[4]{2ab}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{28x^3y^4}{63a^5b^6}}=\sqrt{\frac{2^2\cdot7x^3y^4}{3^2\cdot7a^5b^6}}=\frac{2xy^2}{3a^2b^3}\sqrt{\frac{7x}{7a}}=\frac{2xy^2}{3a^2b^3}\sqrt{\frac{x}{a}}\)


Ejercicio 3. Introducir dentro del radical y simplificar posteriormente:

a)  \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}}\)

b)  \(\displaystyle8\sqrt{\frac{3}{16}}\)

c)  \(2\sqrt[3]{3}\)

d)  \(\displaystyle2ab\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}}\)

a)  \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}}=\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}\cdot(2x)^2}=\sqrt{\frac{3x^3y2^2x^2}{2x}}=\sqrt{3\cdot2x^4y}=\sqrt{6x^4y}\)

Observación:

Los factores se introducen dentro del radical elevándolos al índice correspondiente. Luego basta hacer cálculos y simplificar el radicando utilizando las propiedades de las potencias.

b)  \(\displaystyle8\sqrt{\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{3}{16}\cdot8^2}=\sqrt{\frac{3\cdot(2^3)^2}{2^4}}=\sqrt{\frac{3\cdot2^6}{2^4}}=\sqrt{3\cdot2^2}=\sqrt{12}\)

c)  \(2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3\cdot2^3}=\sqrt[3]{3\cdot8}=\sqrt[3]{24}\)

d)  \(\displaystyle2ab\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}}=\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}\cdot(2ab)^3}=\sqrt[3]{\frac{3ac2^3a^3b^3}{2^2b^2}}=\sqrt[3]{3\cdot2a^4bc}=\sqrt[3]{6a^4bc}\)


Ejercicio 4. Efectuar los sigueintes productos reduciendo a índice común si fuera necesario y simplificar, si es posible, el resultado:

a)  \(\sqrt{5a}\cdot\sqrt{10ab}\cdot\sqrt{8a^3b}\cdot\sqrt{a}\)

b)  \(\sqrt{6}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{8}\)

c)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt[4]{\frac{a^3}{b^2}}\cdot\sqrt[6]{\frac{b^5}{a^7}}\)

d) \(\displaystyle\sqrt[3]{x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\)

a)  \(\sqrt{5a}\cdot\sqrt{10ab}\cdot\sqrt{8a^3b}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{5a\cdot10ab\cdot8a^3b\cdot a}=\sqrt{2^4\cdot5^2a^6b^2}=2^2\cdot5a^3b=20a^3b\)

Observación:

En vez de hacer el producto \(5\cdot10\cdot8=450\) y luego factorizar \(450\), hemos factorizado \(10=2\cdot5\) y \(8=2^3\), que es menos complicado. Luego \(5\cdot10\cdot8=5\cdot2\cdot5\cdot2^3=2^4\cdot5^2\). Observa también que al extraer factores no queda ninguno dentro del radical, con lo que éste desaparece. Bueno, en realidad queda \(\sqrt{1}=1\). Pero ya sabemos que el factor \(1\) no suele escribirse (¡aunque siempre está!).

b)  \(\sqrt{6}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{6^6}\cdot\sqrt[12]{4^4}\cdot\sqrt[12]{8^3}=\sqrt[12]{(2\cdot3)^6}\cdot\sqrt[12]{(2^2)^4}\cdot\sqrt[12]{(2^3)^3}=\)

\(=\sqrt[12]{2^6\cdot3^6}\cdot\sqrt[12]{2^8}\cdot\sqrt[12]{2^9}=\sqrt[12]{2^6\cdot3^6\cdot2^8\cdot2^9}=\sqrt[12]{2^{23}\cdot3^6}=2\sqrt[12]{2^{11}3^6}\)

Observación:

Ahora no se puede multiplicar directamente pues los radicales no tienen índice común. Hay que reducir todos a índice común (el mínimo común múltiplo de los índices) y aplicar la siguiente propiedad:

\[\sqrt[n]{x^p}=\sqrt[n\cdot k]{x^{p\cdot k}}\]

c)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt[4]{\frac{a^3}{b^2}}\cdot\sqrt[6]{\frac{b^5}{a^7}}=\sqrt[12]{\frac{a^4}{b^4}}\cdot\sqrt[12]{\frac{a^9}{b^6}}\cdot\sqrt[12]{\frac{b^{10}}{a^{14}}}=\sqrt[12]{\frac{a^4\cdot a^9\cdot b^{10}}{b^4\cdot b^6\cdot a^{14}}}=\)

\(\displaystyle=\sqrt[12]{\frac{a^{13}\cdot b^{10}}{a^{14}\cdot b^{10}}}=\sqrt[12]{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt[12]{a}}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt[3]{x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{\sqrt[12]{x^8}}{\sqrt[12]{x^9}}=\sqrt[12]{\frac{x^8}{x^9}}=\sqrt[12]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\sqrt[12]{x}}\)


Ejercicio 5. Calcular para que las expresiones queden, al final, de la forma \(\a\sqrt{b}):

a)  \(2\sqrt{2}+6\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{50}\)

b)  \(5\sqrt{12}+\sqrt{27}-8\sqrt{75}+\sqrt{48}\)

a)  \(2\sqrt{2}+6\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{50}=2\sqrt{2}+6\sqrt{2^3}-\sqrt{2\cdot3^2}-\sqrt{2\cdot5^2}=\)

\(=2\sqrt{2}+6\cdot2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}+12\sqrt{2}-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=(2+12-3-5)\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)

Observación:

Se trata de extraer factores de cada uno de los radicales (descomponiendo previamente cada factor numérico en producto de primos), y luego de sacar factor común el radical común que aparezca en cada uno de los sumandos.

b)  \(5\sqrt{12}+\sqrt{27}-8\sqrt{75}+\sqrt{48}=5\sqrt{2^2\cdot3}+\sqrt{3^3}-8\sqrt{3^\cdot5^2}+\sqrt{2^4\cdot3}=\)

\(=5\cdot2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-8\cdot5\sqrt{3}+2^2\sqrt{3}=10\sqrt{3}+3\sqrt{3}-40\sqrt{3}+4\sqrt{3}=\)

\(=(10+3-40+4)\sqrt{3}=-23\sqrt{3}\)


Ejercicio 6. Racionalizar las expresiones siguientes y simplificar el resultado:

a)  \(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{12}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{3}}\)

c)  \(\displaystyle\frac{23}{5-\sqrt{2}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{12}}{\sqrt{12}\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{2^2\cdot3}}{\sqrt{12}^2}=\frac{6\cdot2\sqrt{3}}{12}=\frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}\)

Observación:

Racionalizar consiste en eliminar raíces del denominador. Si en el denominador solamente hay un sumando en el que aparece como factor una raíz cuadrada, basta multiplicar numerador y denominador por esta raíz cuadrada y operar. La raíz desaparecerá del denominador. En general:

\[\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}^2}=\frac{a\sqrt{c}}{bc}\]

Para simplificar hay que proceder como antes: descomponer en producto de primos, extraer factores del radical, usar las propiedades de las potencias, etcétera.

b)  \(\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3^2}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3\cdot3^2}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}\)

Observación:

Si en el denominador aparece sólo un sumando con una raíz de índice mayor que dos, se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz pero con el radicando elevado a la cantidad adecuada para que al sumar exponentes el resultado sea igual al índice, con lo que desaparecerá la raíz:

\[\frac{a}{b\sqrt[k]{c^p}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^p}\sqrt[k]{c^{k-p}}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^p\cdot c^{k-p}}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^k}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{bc}\]

c)  \(\displaystyle\frac{23}{5-\sqrt{2}}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{(5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{5^2-\sqrt{2}^2}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{25-2}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{23}=5+\sqrt{2}\)

Observaciones:

Cuando en el denominador aparece una suma (o una resta) y uno o los dos sumandos tiene como factor raíces cuadradas, para racionalizar se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de \(a-b\) es \(a+b\), y viceversa, el conjugado de \(a+b\) es \(a-b\). De este modo, en general:

\[\frac{a}{b\sqrt{x}+c\sqrt{y}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x}+c\sqrt{y})(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x})^2-(c\sqrt{y})^2}=\]

\[=\frac{ab\sqrt{x}-ac\sqrt{y}}{b^2\sqrt{x}^2-c^2\sqrt{y}^2}=\frac{ab\sqrt{x}-ac\sqrt{y}}{b^2x-c^2y}\]

Observa también que, en el ejercicio, antes de aplicar la propiedad distributiva en el numerador, hemos simplificado el denominador. Así hemos tenido la posibilidad de cancelar el número \(23\) que aparece como factor en el numerador y en el denominador.

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{(\sqrt{13}-\sqrt{3})(\sqrt{13}+\sqrt{3})}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{3}^2}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{13-3}=\)

\(\displaystyle=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{10}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{2\cdot5}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{2}\)


Para más información sobre radicales y sus propiedades puedes ver la siguiente presentación sobre raíces, sus propiedades y operaciones con radicales.

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