Menu
Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Funciones continuas e inyectivas

Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teo...

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

El problema de la velocidad. Deriva…

Un problema relativo a ve...

Prev Next

Operaciones con raíces. Radicales - 3 (Problemas)

Instrucciones:

Para practicar con estos problemas te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Estos problemas requieren cierto ingenio, el uso del teorema de Pitágoras en la mayoría de los casos y saber operar adecuadamente con radicales. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!


Problema 1. Los puntos \(A\) y \(B\) dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales.

problemas-raices-01

Si el área del cuadrado es \(36\ \text{cm}^2.\), ¿cuánto medirá el lado del rombo? Da el valor exacto.

Como el área del cuadrado es de \(36\ \text{cm}^2.\), si llamamos \(l\) al lado del mismo, tenemos que:

\[l^2=36\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\ \text{cm}.\]

Llamemos \(D\) a la diagonal del cuadrado, o lo que es lo mismo, a la diagonal mayor del rombo, y \(d\) a la diagonal menor. Entonces, por el teorema de Pitágoras:

\[D^2=l^2+l^2\Rightarrow D^2=6^2+6^2=36+36=72\Rightarrow D=\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot3^2}=6\sqrt{2}\ \text{cm}.\]

La diagonal menor \(d\) es a tercera parte de la mayor \(D\), es decir:

\[d=\frac{D}{3}=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\ \text{cm}.\]

La diagonal mayor y la diagonal menor del rombo lo dividen en cuatro triángulo rectángulos. La medida de los catetos de cada uno de estos triángulos rectángulos es la mitad de la medida de cada una de las diagonales.

problemas-raices-08

Llamando \(x\) al lado del rombo, se tiene que:

\[x^2=(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\Rightarrow x^2=9\cdot2+2\Rightarrow x^2=20\Rightarrow x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \text{cm}.\]


Problema 2. Halla la diagonal de un cubo cuyo volumen es \(5\ \text{dm}^3.\) Expresa la medida como un radical.

Si llamamos \(l\) al lado del cubo, como su volumen es \(5\ \text{dm}^3.\), tenemos que;

\[l^3=5\Rightarrow l=\sqrt[3]{5}\ \text{dm}.\]

Llamemos \(x\) a la diagonal de una de las caras del cuadrado.

problemas-raices-09 

Entonces:

\[x^2=(\sqrt[3]{5})^2+(\sqrt[3]{5})^2=2(\sqrt[3]{5})^2=2\sqrt[3]{5^2}\Rightarrow x=\sqrt{2\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[6]{2^3\cdot5^2}\ \text{dm}.\]

Llamemos ahora \(d\) a la diagonal del cubo (línea que une dos vértices opuestos). Entonces:

\[d^2=\left(\sqrt[6]{2^3\cdot5^2}\right)^2+(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[6]{2^6\cdot5^4}+\sqrt[3]{5^2}=2\sqrt[6]{5^4}+\sqrt[3]{5^2}=2\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5^2}=3\sqrt[3]{5^2}\]

Por tanto:

\[d=\sqrt{3\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[6]{3^3\cdot5^2}=\sqrt[6]{675}\ \text{dm}.\]


Problema 3. En un cuadrado de \(10\ \text{cm}.\) de lado, recortamos en cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de forma que obtenemos un octógono regular.

problemas-raices-02

a)  Halla la medida exacta del lado del octógono.

b)  Calcula su área.

a)  Hemos llamado \(l\) al lado del octógono y \(x\) a cada uno de los catetos de los triángulos rectángulos isósceles que se forman en cada esquina. Como el lado del cuadrado mide \(10\ \text{cm}.\), entonces:

\[x+l+x=10\Rightarrow 2x+l=10\Rightarrow l=10-2x\]

Por otro lado, utilizando el teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos rectángulos de las esquinas:

\[l^2=x^2+x^2\Rightarrow l^2=2x^2\]

Sustituyendo en esta última ecuación el valor del lado del octógono obtenido anteriormente:

\[(10-2x)^2=2x^2\Rightarrow 100-40x+4x^2=2x^2\Rightarrow2x^2-40x+100=0\Rightarrow x^2-20x+50=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{20\pm\sqrt{(-20)^2-4\cdot1\cdot50}}{2\cdot1}=\frac{20\pm\sqrt{400-200}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{200}}{2}=\]

\[=\frac{20\pm10\sqrt{2}}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{2(10+5\sqrt{2})}{2}=10+5\sqrt{2}\\x_2=\frac{2(10-5\sqrt{2})}{2}=10-5\sqrt{2}\end{cases}\]

La solución \(x_1=10+5\sqrt{2}\) hay que descartarla al no ajustarse al enunciado de nuestro problema, ya que es un número mayor que \(10\), y \(10\ \text{cm}.\) es justamente lo que mide el lado del cuadrado.

Por tanto, la medida de los lados iguales de cada uno de los triángulos rectángulos isósceles que se forman en las esquinas es \(x=10-5\sqrt{2}\ \text{cm}.\) Como \(l^2=2x^2\), entonces \(l=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x\), y el lado del octógono medirá:

\[l=\sqrt{2}\left(10-5\sqrt{2}\right)=10\sqrt{2}-10=10\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm}.\]

b)  El área del octógono es igual al área del cuadrado (\(100\ \text{cm.}^2\)), menos el área de los cuatro triángulos que se forman en las esquinas.

El área \(A\) de cada uno de los triángulos de las esquinas es:

\[A=\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{2}=\frac{\left(10-5\sqrt{2}\right)^2}{2}=\]

\[=\frac{100-100\sqrt{2}+50}{2}=\frac{150-100\sqrt{2}}{2}=75-50\sqrt{2}\ \text{cm.}^2\]

Por tanto el área \(S\) del octógono es:

\[S=100-4A=100-4\left(75-50\sqrt{2}\right)=100-300+200\sqrt{2}=\]

\[=200\sqrt{2}-200=200\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm.}^2\]

Observación:

Hay otra forma de hallar el área del octógono, que es utilizando la fórmula del área de un polígono regular:

\[S=\frac{\text{perimetro}\cdot\text{apotema}}{2}=\frac{p\cdot a}{2}\]

El perímetro del octógono es \(8\) veces el lado: \(p=80\left(\sqrt{2}-1\right)\) y la apotema es la distancia del centro del octógono (en este caso también del centro del cuadrado) al punto medio de cualquiera de sus lados. En este caso coincide, claramente, con la mitad del lado del cuadrado: \(a=5\).

Por tanto:

\[S=\frac{80\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot5}{2}=\frac{400\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}=200\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm.}^2\]


Problema 4. El "rectángulo áureo" tiene la siguiente propiedad: si cortamos en él un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al inicial.

problemas-raices-07 

Es decir:

\[CDEF\sim ABCD\]

La relación entre las dimensiones del rectángulo áureo es el número de oro \(\Phi\).

Para obtener su valor, llamamos \(\overline{AB}=1\) y \(\overline{BC}=x\).

Aplica la proporcionalidad o semejanza entre los lados de los rectángulos que obtengas y comprueba que \(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi\).

Comprueba también las siguientes igualdades:

a)  \(\displaystyle \Phi^2=\Phi+1\).

b)  \(\displaystyle \Phi-1=\frac{1}{\Phi}\).

c)  \(\displaystyle \Phi^3=2\Phi+1\).

d)  \(\displaystyle \Phi^4=3\Phi+2\).

Como los rectángulos son semejantes se tiene que \(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\). Resolviendo esta ecuación:

\[\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x(x-1)=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

De las dos soluciones anteriores tomaremos la positiva, pues la negativa no da lugar a una medida. Así pues:

\[x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

a) Se ha demostrado anteriormente que la solución de la ecuación \(x^2-x-1=0\) es el número de oro \(\Phi\). Entonces, sustituyendo, \(\Phi^2-\Phi-1=0\), es decir, \(\Phi^2=\Phi+1\).

b) Dividiendo los dos miembros de la igualdad anterior entre \(\Phi\), tenemos \(\displaystyle\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\), o lo que es lo mismo \(\displaystyle\Phi-1=\frac{1}{\Phi}\).

c) Multiplicando la igualdad del apartado apor \(\Phi\) tenemos \(\Phi^3=\Phi^2+\Phi\). Volviendo a hacer uso de la igualdad del apartado a), sustituimos en esta última igualdad \(\Phi^2\) por \(\Phi+1\), con lo que resulta \(\Phi^3=\Phi+1+\Phi\Rightarrow\Phi^3=2\Phi+1\).

d) Es similar el apartado c): multiplicamos la igualdad anterior por \(\Phi\) y utilizamos la igualdad del apartado a).

\[\Phi^4=2\Phi^2+\Phi\Rightarrow\Phi^4=2(\Phi+1)+\Phi\Rightarrow\Phi^4=2\Phi+2+\Phi\Rightarrow\Phi^4=3\Phi+2\]


Problema 5. A partir de un cuadrado de lado \(2\ \text{cm}.\), hemos construido el rectángulo \(ABCD\).

problemas-raices-03

¿Es un rectángulo áureo? Comprueba que el cociente entre sus lados es el número de oro \(\Phi\).

Llamemos \(\overline{FC}=x\), al lado menor del rectángulo \(CDEF\). Establezcamos la proporción entre las dimensiones del rectángulo \(ABCD\) y las dimensiones del rectángulo \(CDEF\), y veamos qué es lo que resulta.

\[\frac{2+x}{2}=\frac{2}{x}\Rightarrow2x+x^2=4\Rightarrow x^2+2x-4=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}\]

La solución positiva es \(\displaystyle\frac{-2+\sqrt{20}}{2}=\frac{\sqrt{20}-2}{2}\). Simplifiquémosla.

\[\frac{\sqrt{20}-2}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}-\frac{2}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}-1=\sqrt{5}-1\]

Así pues, la razón entre las dimensiones del rectángulo \(ABCD\) es

\[\frac{2+\overline{FC}}{2}=\frac{2+x}{2}=\frac{2+\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi\]

Por tanto el rectángulo \(ABCD\) es un rectángulo áureo.


Problema 6. Las dimensiones de una "velón" de cera con forma de ortoedro son \(1\), \(\Phi\) y \(\Phi+1\) decímetros.

Si se funde la cera y con la misma cantidad construimos un cubo, ¿cuánto medirá su arista?

El volumen del ortoedro es igual al producto de los tres lados. En este caso el volumen \(V\) será igual a \(V=1\cdot\Phi\cdot(\Phi+1)\). Pero, según la igualdad a) del problema número 4 anterior, \(\Phi^2=\Phi+1\). Por tanto \(V=1\cdot\Phi\cdot\Phi^2=\Phi^3\). De este modo, construyendo un cubo de volumen la cantidad anterior, tendremos que su arista \(a\) será igual a la raíz cúbica del volumen, es decir, \(a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{\Phi^3}=\Phi\). La conclusión es que la arista del cubo construido con la vela fundida del ortoedro es igual al número de oro \(\Phi\).


Problema 7. Supongamos que tenemos un cubo de arista \(1\):

problemas-raices-04

La diagonal de una cara, \(k=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), y la diagonal del cubo \(d=\sqrt{1^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{3}\), son números irracionales.

Averigua si son racionales o irracionales las distancias \(m\) y \(n\) señaladas en la figura siguiente:

problemas-raices-05

\(m\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(1\) y la midad de \(1\). Por tanto:

\[m^2=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\Rightarrow m^2=1+\frac{1}{4}\Rightarrow m^2=\frac{5}{4}\Rightarrow m=\frac{\sqrt{5}}{2}\] 

Ahora, fijándose bien en la figura, \(n\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(m\), calculado anteriormente, y \(1\). Entonces:

\[n^2=\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1^2\Rightarrow n^2=\frac{5}{4}+1\Rightarrow n^2=\frac{9}{4}\Rightarrow n=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\]

Concluimos pues que \(m\) es irracional y \(n\) es racional.


Problema 8. Halla el área de la corona circular comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita en un cuadrado de \(6\ \text{m}^2\) de área. Da su valor exacto.

problemas-raices-06

Llamemos \(r\) al radio de la circunferencia inscrita y \(R\) al radio de la circunferencia circunscrita. Entonces el área \(A\) de la corona circular es

\[A=\pi R^2-\pi r^2=(R^2-r^2)\pi\quad(1)\]

problemas raices 10

Todo se reduce pues a calcular los valores de \(r\) y de \(R\).

Como el área del cuadrado es \(6\,\text{m}^2\), su lado valdrá \(\sqrt{6}\,\text{m}\). Claramente \(r\) es la mitad del lado del cuadrado (ver figura anterior) con lo que

\[r=\frac{\sqrt{6}}{2}\,\text{m}\]

El radio \(R\) de la circunferencia circunscrita lo calcularemos usando el teorema de Pitágoras:

\[R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{3}\,\text{m}\]

Sustituyendo \(r\) y \(R\) en la expresión (1) tenemos el área de la corona circular.

\[A=\left(\sqrt{3}^2-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\right)\pi=\left(3-\frac{6}{4}\right)\pi=\frac{3}{2}\pi\,\text{m}^2\]


Estos problemas han sido extraídos del libro de texto:

Colera, J. Oliveira, M. J., Gaztelu, I.: Matemáticas 4 Opción B. Educación Secundaria. Ed. Anaya.

Leer más ...

Operaciones con raíces. Radicales - 2

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

Por cierto, son prácticamente idénticos a los de la relación número 1 de radicales. Repasa aquella primero, incluso con sus soluciones y observaciones. Así te será fácil hacer esta.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Calcula

a)  \(\displaystyle\left(\sqrt{3}\sqrt{x}\right)^2\)

b)  \(\displaystyle\left(5\sqrt{3x}\right)^3\)

c)  \(\displaystyle\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2\)

d)  \(\displaystyle\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2\)

e)  \(\displaystyle\left(\sqrt{x+y}-\sqrt{x+y}\right)\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}\right)\)

f)  \(\displaystyle\left(\sqrt{5x}+\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{5x}-\sqrt{2x}\right)\)


Ejercicio 2. Extraer los factores posibles de los radicales siguientes:

a)  \(\displaystyle\sqrt{36a^2x^3y^4z^5}\)

b)  \(\displaystyle\sqrt[3]{24x^7y^5}\)

c)  \(\displaystyle\sqrt[4]{\frac{a^5b^6z^7}{64}}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{54x^3}{a^3b^6}}\)


Ejercicio 3. Introducir dentro del radical y simplificar posteriormente:

a)   \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{1}{x}}\)

b)  \(\displaystyle2\sqrt[3]{\frac{1}{16}}\)

c)  \(\displaystyle a^2xy\sqrt[3]{ax^2y^2}\)

d)  \(\displaystyle6x^2y\sqrt{\frac{y}{6x}}\)


Ejercicio 4. Efectuar los sigueintes productos reduciendo a índice común si fuera necesario y simplificar, si es posible, el resultado:

a)  \(\displaystyle\sqrt{2x}\cdot\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{2xyz}\cdot\sqrt{2xy^2z^3}\)

b)  \(\displaystyle\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[4]{18}\)

c)  \(\displaystyle\sqrt{2x}\cdot\sqrt[4]{4x^3}\cdot\sqrt[6]{8x^5}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{ab}\cdot\sqrt[3]{a^2b}\cdot\sqrt[6]{a^5b^3}\)


Ejercicio 5. Calcular para que las expresiones queden, al final, de la forma \(\a\sqrt{b}):

a)  \(\displaystyle6\sqrt{5}+\sqrt{50}-2\sqrt{75}-\sqrt{125}\)

b)  \(\displaystyle7\sqrt{63}+4\sqrt{28}-\sqrt{343}+\sqrt{7}\)


Ejercicio 6. Racionalizar las expresiones siguientes y simplificar el resultado:

a)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

c)  \(\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{10}-\sqrt{5}}\)


Para más información sobre radicales y sus propiedades puedes ver la siguiente presentación sobre raíces, sus propiedades y operaciones con radicales.

Leer más ...

Operaciones con raíces. Radicales - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Calcula:

a)  \(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2\)

b)  \(\left(2\sqrt{2x}\right)^3\)

c)  \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2\)

d)  \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{x}\right)^2\)

e)  \(\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(2\sqrt{x}+5\right)\)

f)  \(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)\)

a)  \(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{2x})^2=2x\)

Observaciones:

Para multiplicar los dos radicales que hay dentro del paréntesis, se ha utilizado la propiedad según la cual "producto de raíces del mismo índice, es igual a la raíz del producto":

\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]

Luego hemos utilizado otra conocida propiedad (bueno, más que propiedad, la definición de raíz de índice cualquiera):

\[(\sqrt[n]{a})^n=a\]

También se podría haber hecho aplicando en primer lugar la propiedad de las potencias según la cual "potencia de un producto es igual a producto de las potencias":

\(\left(\sqrt{x}\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{x})^2(\sqrt{2})^2=x\cdot2=2x\)

b)  \(\displaystyle\left(2\sqrt{2x}\right)^3=2^3\left(\sqrt{2x^3}\right)^3=8\sqrt{(2x)^3}=8\sqrt{8x^3}\)

Observaciones:

Hemos utilizado una propiedad según la cual "potencia de un radical es igual al radical de la potencia":

\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p}\]

Como el enunciado dice "calcula", hemos dejado así el resultado, pero se suelen extraer factores fuera del radical:

\(8\sqrt{8x^3}=8\sqrt{2^3x^3}=8\sqrt{(2x)^2}\sqrt{2x}=8\cdot2x\sqrt{2x}=16x\sqrt{2x}\)

c)  \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2=\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}\sqrt{5}+\sqrt{5}^2=3-2\sqrt{15}+5=8-2\sqrt{15}\)

Observaciones:

En este caso hemos utilizado la conocidad igualdad notable "cuadrado de una diferencia":

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Además se han utilizado la propiedades comentadas en el apartado a).

d)  \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{x}\right)^2=\sqrt{3}^2+2\sqrt{3}\sqrt{x}+\sqrt{x}^2=3+x+2\sqrt{3x}\)

e)  \(\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(2\sqrt{x}+5\right)=(2\sqrt{x})^2-5^2=2^2\sqrt{x}^2-25=4x-25\)

f)  \(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)=\sqrt{x-1}^2-\sqrt{x+1}^2=\)

\(=(x-1)-(x+1)=x-1-x-1=-2\)

Observaciones:

En los apartdos e) f) hemos utilizado la conocida identidad "suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados":

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

También se ha hecho uso de las propiedades ya mencionadas de los radicales.

En el apartado f) hay que tener un poco de cuidado, pues al eliminar el segundo radical y llevar éste un "menos" delante, este menos afecta a todos los sumandos incluidos dentro del radical. Por eso, cuando un radical tiene en su interior varios sumandos, y éste se elimina, los colocamos entre paréntesis para que en los cálculo posteriores no haya lugar a error.


Ejercicio 2. Extraer los factores posibles de los radicales siguientes:

a)  \(\sqrt{64a^4b^6}\)

b)  \(\sqrt[3]{27a^4b^5}\)

c)  \(\sqrt[4]{32a^9b^5}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{28x^3y^4}{63a^5b^6}}\)

a)  \(\sqrt{64a^4b^6}=\sqrt{2^6a^4b^6}=\sqrt{(2^2a^2b^2)(2^2a^2b^2)(2^2b^2)}=\sqrt{2^2a^2b^2}\sqrt{2^2a^2b^2}\sqrt{2^2b^2}=\)

\(=\sqrt{(2ab)^2}\sqrt{(2ab)^2}\sqrt{(2b)^2}=(2ab)(2ab)(2b)=8a^2b^3\)

Observaciones:

En realidad, si nos fijamos bien, sale un factor por cada número de veces que se repite según el índice del radical. Así por ejemplo, si el índice es \(5\) y el factor se repite \(32\) veces (o lo que es lo mismo, está elevado a una potencia de exponente \(32\)), este factor sale \(6\) veces (elevado a \(6\)) y quedan dentro los dos que sobran Esto es porque el índice \(5\) se repite, en el número \(32\), \(6\) veces y sobran \(2\).

\[\sqrt[5]{x^{32}}=\sqrt[5]{x^{6\cdot5+2}}=\sqrt[5]{x^{6\cdot5}\cdot x^2}=\sqrt[5]{(x^6)^5}\cdot\sqrt[5]{x^2}=x^6\sqrt[5]{x^2}\]

Lo que se suele hacer es la división del exponente entre el índice, el cociente corresponde con el número de factores que salen fuera del radical y el resto son el número de factores que se quedan dentro. Esto presupone que el exponente del factor que hay dentro del radical ha de ser mayor o igual que el índice pues, en caso contrario, no sale ningún factor del radical.

\[\sqrt[n]{x^p}=x^q\sqrt[n]{x^r}\]

donde \(q\) es el cociente y \(r\) el resto de la división entera \(p : n\).

Así actuaremos en los siguientes apartados.

b)  \(\sqrt[3]{27a^4b^5}=\sqrt[3]{3^3a^4b^5}=\sqrt[3]{3^3}\sqrt[3]{a^4}\sqrt[3]{b^5}=3ab\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2}=3ab\sqrt[3]{ab^2}\)

c)  \(\sqrt[4]{32a^9b^5}=\sqrt[4]{2^5a^9b^5}\)=\(2a^2b\sqrt[4]{2ab}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{28x^3y^4}{63a^5b^6}}=\sqrt{\frac{2^2\cdot7x^3y^4}{3^2\cdot7a^5b^6}}=\frac{2xy^2}{3a^2b^3}\sqrt{\frac{7x}{7a}}=\frac{2xy^2}{3a^2b^3}\sqrt{\frac{x}{a}}\)


Ejercicio 3. Introducir dentro del radical y simplificar posteriormente:

a)  \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}}\)

b)  \(\displaystyle8\sqrt{\frac{3}{16}}\)

c)  \(2\sqrt[3]{3}\)

d)  \(\displaystyle2ab\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}}\)

a)  \(\displaystyle2x\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}}=\sqrt{\frac{3x^3y}{2x}\cdot(2x)^2}=\sqrt{\frac{3x^3y2^2x^2}{2x}}=\sqrt{3\cdot2x^4y}=\sqrt{6x^4y}\)

Observación:

Los factores se introducen dentro del radical elevándolos al índice correspondiente. Luego basta hacer cálculos y simplificar el radicando utilizando las propiedades de las potencias.

b)  \(\displaystyle8\sqrt{\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{3}{16}\cdot8^2}=\sqrt{\frac{3\cdot(2^3)^2}{2^4}}=\sqrt{\frac{3\cdot2^6}{2^4}}=\sqrt{3\cdot2^2}=\sqrt{12}\)

c)  \(2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3\cdot2^3}=\sqrt[3]{3\cdot8}=\sqrt[3]{24}\)

d)  \(\displaystyle2ab\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}}=\sqrt[3]{\frac{3ac}{4b^2}\cdot(2ab)^3}=\sqrt[3]{\frac{3ac2^3a^3b^3}{2^2b^2}}=\sqrt[3]{3\cdot2a^4bc}=\sqrt[3]{6a^4bc}\)


Ejercicio 4. Efectuar los sigueintes productos reduciendo a índice común si fuera necesario y simplificar, si es posible, el resultado:

a)  \(\sqrt{5a}\cdot\sqrt{10ab}\cdot\sqrt{8a^3b}\cdot\sqrt{a}\)

b)  \(\sqrt{6}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{8}\)

c)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt[4]{\frac{a^3}{b^2}}\cdot\sqrt[6]{\frac{b^5}{a^7}}\)

d) \(\displaystyle\sqrt[3]{x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\)

a)  \(\sqrt{5a}\cdot\sqrt{10ab}\cdot\sqrt{8a^3b}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{5a\cdot10ab\cdot8a^3b\cdot a}=\sqrt{2^4\cdot5^2a^6b^2}=2^2\cdot5a^3b=20a^3b\)

Observación:

En vez de hacer el producto \(5\cdot10\cdot8=450\) y luego factorizar \(450\), hemos factorizado \(10=2\cdot5\) y \(8=2^3\), que es menos complicado. Luego \(5\cdot10\cdot8=5\cdot2\cdot5\cdot2^3=2^4\cdot5^2\). Observa también que al extraer factores no queda ninguno dentro del radical, con lo que éste desaparece. Bueno, en realidad queda \(\sqrt{1}=1\). Pero ya sabemos que el factor \(1\) no suele escribirse (¡aunque siempre está!).

b)  \(\sqrt{6}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{6^6}\cdot\sqrt[12]{4^4}\cdot\sqrt[12]{8^3}=\sqrt[12]{(2\cdot3)^6}\cdot\sqrt[12]{(2^2)^4}\cdot\sqrt[12]{(2^3)^3}=\)

\(=\sqrt[12]{2^6\cdot3^6}\cdot\sqrt[12]{2^8}\cdot\sqrt[12]{2^9}=\sqrt[12]{2^6\cdot3^6\cdot2^8\cdot2^9}=\sqrt[12]{2^{23}\cdot3^6}=2\sqrt[12]{2^{11}3^6}\)

Observación:

Ahora no se puede multiplicar directamente pues los radicales no tienen índice común. Hay que reducir todos a índice común (el mínimo común múltiplo de los índices) y aplicar la siguiente propiedad:

\[\sqrt[n]{x^p}=\sqrt[n\cdot k]{x^{p\cdot k}}\]

c)  \(\displaystyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt[4]{\frac{a^3}{b^2}}\cdot\sqrt[6]{\frac{b^5}{a^7}}=\sqrt[12]{\frac{a^4}{b^4}}\cdot\sqrt[12]{\frac{a^9}{b^6}}\cdot\sqrt[12]{\frac{b^{10}}{a^{14}}}=\sqrt[12]{\frac{a^4\cdot a^9\cdot b^{10}}{b^4\cdot b^6\cdot a^{14}}}=\)

\(\displaystyle=\sqrt[12]{\frac{a^{13}\cdot b^{10}}{a^{14}\cdot b^{10}}}=\sqrt[12]{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt[12]{a}}\)

d)  \(\displaystyle\sqrt[3]{x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{\sqrt[12]{x^8}}{\sqrt[12]{x^9}}=\sqrt[12]{\frac{x^8}{x^9}}=\sqrt[12]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\sqrt[12]{x}}\)


Ejercicio 5. Calcular para que las expresiones queden, al final, de la forma \(\a\sqrt{b}):

a)  \(2\sqrt{2}+6\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{50}\)

b)  \(5\sqrt{12}+\sqrt{27}-8\sqrt{75}+\sqrt{48}\)

a)  \(2\sqrt{2}+6\sqrt{8}-\sqrt{18}-\sqrt{50}=2\sqrt{2}+6\sqrt{2^3}-\sqrt{2\cdot3^2}-\sqrt{2\cdot5^2}=\)

\(=2\sqrt{2}+6\cdot2\sqrt{2}-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}+12\sqrt{2}-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=(2+12-3-5)\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)

Observación:

Se trata de extraer factores de cada uno de los radicales (descomponiendo previamente cada factor numérico en producto de primos), y luego de sacar factor común el radical común que aparezca en cada uno de los sumandos.

b)  \(5\sqrt{12}+\sqrt{27}-8\sqrt{75}+\sqrt{48}=5\sqrt{2^2\cdot3}+\sqrt{3^3}-8\sqrt{3^\cdot5^2}+\sqrt{2^4\cdot3}=\)

\(=5\cdot2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-8\cdot5\sqrt{3}+2^2\sqrt{3}=10\sqrt{3}+3\sqrt{3}-40\sqrt{3}+4\sqrt{3}=\)

\(=(10+3-40+4)\sqrt{3}=-23\sqrt{3}\)


Ejercicio 6. Racionalizar las expresiones siguientes y simplificar el resultado:

a)  \(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{12}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{3}}\)

c)  \(\displaystyle\frac{23}{5-\sqrt{2}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{12}}{\sqrt{12}\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{2^2\cdot3}}{\sqrt{12}^2}=\frac{6\cdot2\sqrt{3}}{12}=\frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}\)

Observación:

Racionalizar consiste en eliminar raíces del denominador. Si en el denominador solamente hay un sumando en el que aparece como factor una raíz cuadrada, basta multiplicar numerador y denominador por esta raíz cuadrada y operar. La raíz desaparecerá del denominador. En general:

\[\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}^2}=\frac{a\sqrt{c}}{bc}\]

Para simplificar hay que proceder como antes: descomponer en producto de primos, extraer factores del radical, usar las propiedades de las potencias, etcétera.

b)  \(\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3^2}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3\cdot3^2}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}\)

Observación:

Si en el denominador aparece sólo un sumando con una raíz de índice mayor que dos, se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz pero con el radicando elevado a la cantidad adecuada para que al sumar exponentes el resultado sea igual al índice, con lo que desaparecerá la raíz:

\[\frac{a}{b\sqrt[k]{c^p}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^p}\sqrt[k]{c^{k-p}}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^p\cdot c^{k-p}}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{b\sqrt[k]{c^k}}=\frac{a\sqrt[k]{c^{k-p}}}{bc}\]

c)  \(\displaystyle\frac{23}{5-\sqrt{2}}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{(5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{5^2-\sqrt{2}^2}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{25-2}=\frac{23(5+\sqrt{2})}{23}=5+\sqrt{2}\)

Observaciones:

Cuando en el denominador aparece una suma (o una resta) y uno o los dos sumandos tiene como factor raíces cuadradas, para racionalizar se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de \(a-b\) es \(a+b\), y viceversa, el conjugado de \(a+b\) es \(a-b\). De este modo, en general:

\[\frac{a}{b\sqrt{x}+c\sqrt{y}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x}+c\sqrt{y})(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x})^2-(c\sqrt{y})^2}=\]

\[=\frac{ab\sqrt{x}-ac\sqrt{y}}{b^2\sqrt{x}^2-c^2\sqrt{y}^2}=\frac{ab\sqrt{x}-ac\sqrt{y}}{b^2x-c^2y}\]

Observa también que, en el ejercicio, antes de aplicar la propiedad distributiva en el numerador, hemos simplificado el denominador. Así hemos tenido la posibilidad de cancelar el número \(23\) que aparece como factor en el numerador y en el denominador.

d)  \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{(\sqrt{13}-\sqrt{3})(\sqrt{13}+\sqrt{3})}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{3}^2}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{13-3}=\)

\(\displaystyle=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{10}=\frac{5(\sqrt{13}+\sqrt{3})}{2\cdot5}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{2}\)


Para más información sobre radicales y sus propiedades puedes ver la siguiente presentación sobre raíces, sus propiedades y operaciones con radicales.

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas