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Una identidad con radicales y alguna que otra reflexión sobre las matemáticas

En la materia Matemáticas I, de 1º de Bachillerato, repasando las propiedades de las raíces y operando con radicales, llegamos a un punto donde los ejercicios se vuelven algo más interesantes. En esta relación, uno de ellos, el número 8, dice en su enunciado: "Racionaliza denominadores, efectúa las operaciones y simplifica". En todos los apartados se trabaja con expresiones con radicales que contienen números, salvo en el último donde aparece una expresión algebraica con radicales que contiene una letra, la \(x\):

\[\dfrac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\]

Esta relación de ejercicios proporciona las soluciones finales de cada uno de ellos. Concretamente en este caso la solución es un escueto radical: \(\sqrt{1-x}\).

Nos quedamos un poco perplejos de que una expresión "tan grande" pueda ser simplificada a una expresión tan sencilla. Pero bueno, vamos allá. Como el enunciado dice que racionalicemos denominadores, nos ponemos a la tarea. Ya anticipo que HAY OTRA FORMA MÁS FÁCIL DE SIMPLIFICAR ESTA EXPRESIÓN, pero en principio nos hemos de ceñir al enunciado del ejercicio.

En primer lugar racionalizamos las expresiones \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\) y \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\). Es muy sencillo multiplicando, en ambos casos, numerador y denominador por la raíz que aparece en el denominador.

\[\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{1+x}\]

\[\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\]

Ahora, efectuamos la suma que aparece en el numerador, \(\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\), y la que aparece en el denominador, \(1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

\[\sqrt{1-x}+\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1-x}+\frac{\sqrt{1+x}}{1+x}=\frac{(1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{1+x}\]

\[1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1+\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}=\frac{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\]

Ahora dividimos e intentamos simplificar:

\[\dfrac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\dfrac{(1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{1+x}}{\dfrac{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}}=\frac{(1-x^2)\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{(1+x)\left(1-x^2+\sqrt{1-x^2}\right)}=(1)\]

¡Uf! ¿Y esto quiero yo que se parezca, al final, a \(\sqrt{1-x}\)? En este momento empieza a entrar la desesperación. Muchos abandonan. Pero no podemos desistir. Hay que continuar. Podemos descansar un poco... Mirar la última expresión retirando las vista unos centímetros y observándola como un todo... Ya, ya sé que da un poco de "yu-yu". Pero hay una cosa clara: un factor del numerador es \(1-x^2\) y un factor del denominador es \(1+x\). Como \(1-x^2=(1+x)(1-x)\), se puede cancelar el factor \(1+x\) arriba y abajo y la expresión \((1)\) quedará así:

\[\frac{(1-x)\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}=(2)\]

Bueno, ¿y ahora qué? Pues ahora... siéntate y llora, como diría mi abuelo. No, no, nada de eso. Lo único que podemos hacer es volver a racionalizar. «¿Volver a racionalizar? ¿Estas loco?». Pues sí, no nos queda otra: volver a racionalizar. El conjugado de \(1-x^2+\sqrt{1-x^2}\) es \(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\). Multiplicaremos numerador y denominador por esta última expresión. 

Simplifiquemos primero el denominador. Hay que estar muy atentos aquí. Suma por diferencia es diferencia de cuadrados. Luego extraemos \(1-x^2\) factor común.

\[\left(1-x^2+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)=(1-x^2)^2-(1-x^2)=(1-x^2)(1-x^2-1)=-x^2(1-x^2)\]

Por tanto:

\[(2)=\frac{(1-x)\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)}{-x^2(1-x^2)}=(3)\]

Ahora ocurre como antes. En el numerador aparece el factor \(1-x\), y en el denominador el factor \(1-x^2=(1+x)(1-x)\). Entonces podemos eliminar el factor \(1-x\) del numerador y del denominador y la expresión \((3)\) quedará así:

\[(3)=\frac{\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)}{-x^2(1+x)}=(4)\]

Ya nos queda poco. Simplifiquemos ahora el numerador de la ultima expresión utilizando la propiedad distributiva, es decir, "todos por todos". Para ello, en el segundo paréntesis, tomaremos la expresión \(1-x^2\) como un sólo sumando y nos resultará más cómodo. Esto se hace en matemáticas con mucha frecuencia. Así el primer paréntesis tendrá dos sumandos: \((1+x)\sqrt{1-x}\) y \(\sqrt{1+x}\), y el segundo paréntesis otros dos: \(1-x^2\) y \(\sqrt{1-x^2}\). De esta forma, al desarrollar, deben salirnos cuatro términos. Vamos allá:

\[\left((1+x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\left(1-x^2-\sqrt{1-x^2}\right)=\]

\[=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1+x)\sqrt{(1-x)(1-x^2)}+(1-x^2)\sqrt{1+x}-\sqrt{(1+x)(1-x^2)}=(\ast)\]

Hagamos una pausa antes de seguir. En el desarrollo realizado aparecen dos expresiones que podemos simplificar, de manera similar, extrayendo factores del radical. Estas expresiones son \(\sqrt{(1-x)(1-x^2)}\) y \(\sqrt{(1+x)(1-x^2)}\). Extraigamos, pues, un factor de ambas:

\[\sqrt{(1-x)(1-x^2)}=\sqrt{(1-x)(1+x)(1-x)}=\sqrt{(1-x)^2(1+x)}=(1-x)\sqrt{1+x}\]

\[\sqrt{(1+x)(1-x^2)}=\sqrt{(1+x)(1+x)(1-x)}=\sqrt{(1+x)^2(1-x)}=(1+x)\sqrt{1-x}\]

De este modo, la expresión \((\ast)\) queda del siguiente modo:

\[(\ast)=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1+x)(1-x)\sqrt{1+x}+(1-x)^2\sqrt{1+x}-(1+x)\sqrt{1-x}=\]

\[=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1-x^2)\sqrt{1+x}+(1-x)^2\sqrt{1+x}-(1+x)\sqrt{1-x}=\]

\[=(1+x)(1-x^2)\sqrt{1-x}-(1+x)\sqrt{1-x}=(1+x)\sqrt{1-x}(1-x^2-1)=-x^2(1+x)\sqrt{1-x}\]

Observa que se han cancelado dos sumandos por ser iguales y de signo contrario. Luego se ha extraído \((1+x)\sqrt{1-x}\) factor común. Simplifiquemos finalmente la expresión \((4)\):

\[(4)=\frac{-x^2(1+x)\sqrt{1-x}}{-x^2(1+x)}=\sqrt{1-x}\]

Tal y como queríamos demostrar.

Ya dije que había otra forma más rápida, más fácil de simplificar esta expresión. Se trata de NO RACIONALIZAR y empezar sumando tanto la expresión del numerador como la del denominador. ¡Hazlo tú y compruébalo! Si no lo consigues puedes desplegar el "spoiler" de aquí abajo.

\[\dfrac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\dfrac{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\dfrac{\sqrt{(1-x)(1+x)}+1}{\sqrt{1+x}}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}}}=\]

\[=\frac{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1+x}}}{\dfrac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{(\sqrt{1-x^2}+1)\sqrt{1-x^2}}{(\sqrt{1-x^2}+1)\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x}}=\]

\[=\frac{\sqrt{(1+x)(1-x)}}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1-x}\]

Alguna que otra reflexión sobre las matemáticas

«¿Para qué dar tantas vueltas?» «¿Pero no hay una forma fácil y rápida (como esta última)?» «¿Por qué ese rodeo tan complicado que cansa?» Se podría responder a estas preguntas con otra pregunta: «¿y por qué no?» O con una afirmación muy directa: «por puro placer». Vamos a ver... Hay mucha gente que hace las maletas y se va a dar un paseo por la muralla China, a otros les da por intentar coronar la cima del Annapurna, cuando no por coger un trozo de tela y ponerse delante de un toro. O simplemente nos da por resolver un crucigrama o una sopa de letras. O nos empeñamos en destrozar la PlayStation para pasar al siguiente nivel de "The Last Of Us". Algunos leen Hamlet, o hacen un comentario sobre un pasaje de la Divina Comedia. Podría seguir. Pero, en principio, no tiene que haber una razón, un fundamento, un porqué, para hacer matemáticas. Se hacen por el mero hecho de hacerlas. Sí, las matemáticas también tienen una parte de placer, de diversión. Es un juego, un juego con unas reglas. Un lenguaje preciso con un poder fuera de lo común. Con una eficacia que a veces resulta irracional. De hecho, eligiendo modelos matemáticos adecuados, es cierto que se han podido resolver problemas cuya aplicación a la humanidad ha sido extremadamente útil.

Pero hay otra razón. Forman parte del currículo desde la educación primaria porque nos hacen pensar, porque desarrollan nuestra capacidad de abstracción. Son un entrenamiento para el intelecto, un arma para mantener alejada la ignorancia y la necedad. Nadie se pregunta para qué sirve saber escribir o expresarse oralmente con corrección. Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia, es más, puede que el lenguaje con el que todo lo que conocemos (y desconocemos) esté escrito.

Es cierto que en Secundaria y en gran parte del Bachillerato, los profesores hemos de enseñar y los alumnos han de aprender los rudimentos de la matemáticas. Los procedimientos y fórmulas que, después, nos llevarán a plantear modelos, resolver problemas y hacer matemáticas de las de verdad. Pero poniendo en práctica estos procedimientos, como en el ejercicio anterior, ya se atisba un punto en el que tenemos que hacer esfuerzos para salir de ciertas encrucijadas. O descartar un camino por considerarlo un callejón sin salida. Ya estamos viendo, aunque sea un problema estrictamente algebraico, que hemos de poner en marcha ciertas estrategias para resolver un problema. Y esto, aunque algunos lo tachen de aburrido o feo, es parte fundamental no solo del camino en el crecimiento intelectual de toda persona, sino de la vida misma.

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Radicales. Racionalización de denominadores

Sabemos que la raíz de dos es un número irracional que tiene, por tanto, infinitas cifras decimales:

\[\sqrt{2}=1,4142135623730950488\ldots\]

Redondeado \(\sqrt{2}\) a las décimas tenemos la aproximación

\[\sqrt{2}=1,4\]

Aproximación en la que se comete un error absoluto menor que \(5\) centésimas. Es decir, una cota del error es \(0,05\) (para saber más sobre errores y valores aproximados haz clic aquí). Esta aproximación ya la conocían en la antigüedad y, además, es bastante buena. Del mismo modo disponían de aproximaciones para \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{7}\), etc.

\[\sqrt{3}=1,7\]

\[\sqrt{5}=2,2\]

\[\sqrt{7}=2,6\]

A veces había que hacer operaciones con estos números. Por ejemplo, efecturar la división \(\displaystyle 4:\sqrt{2}=\frac{4}{\sqrt{2}}\). Y no se disponía de calculadoras. Esto es un poco tedioso porque tenemos que dividir un entero entre un decimal:

 Dividiendo entre decimales

Pero se puede obtener una expresión equivalente a \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}\). Basta multiplicar el numerador y el denominador por \(\sqrt{2}\). Veámoslo:

\[\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{2}=2\cdot\sqrt{2}\].

Es mucho más fácil multiplicar por \(2\) que dividir por \(\sqrt{2}\), aunque tomemos de esta última una aproximación con un solo decimal. De este modo \(\displaystyle 4:\sqrt{2}=2\cdot\sqrt{2}=2\cdot1,4=2,8\).

Este proceso recibe el nombre de racionalización. Consiste en eliminar las raíces cuadradas del divisor, o si se quiere, del denominador, obteniendo una expresión equivalente más sencilla de manejar. Veremos aquí tres casos de racionalización.

Primer caso

En el denominador aparece solamente una raíz cuadrada, incluso si se quiere multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la raíz cuadrada que aparece en el denominador:

\[\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c^2}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\,c}\]

Segundo caso

En el denominador aparece solamente una raíz de índice \(n\), incluso si se quiere multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la raíz adecuada de índice \(n\) hasta conseguir eliminarla del denominador:

\[\frac{a}{b\sqrt[n]{c}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\sqrt[n]{c}\sqrt[n]{c^{n-1}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\sqrt[n]{c^n}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-1}}}{b\,c}\]

En general:

\[\frac{a}{b\sqrt[n]{c^p}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\sqrt[n]{c^p}\sqrt[n]{c^{n-p}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\sqrt[n]{c^n}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n-p}}}{b\,c}\]

Tercer caso

En el denominador aparece un binomio, uno de cuyos términos (o los dos) contiene una raíz cuadrada incluso multiplicada por un número.

Para resolver este caso se multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador (recuérdese que el conjugado de \(a+b\) es \(a-b\) y viceversa):

\[\frac{a}{b\sqrt{x}+c\sqrt{y}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x}+c\sqrt{y})(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{(b\sqrt{x})^2-(c\sqrt{y})^2}=\]

\[=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{b^2\sqrt{x^2}-c^2\sqrt{y^2}}=\frac{a(b\sqrt{x}-c\sqrt{y})}{b^2x+c^2y}\]

Se ha utilizado para simplificar el denominador que "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados": \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Hagamos tres ejemplos concretos de racionalización de expresiones con radicales, que ilustre cada uno de ellos los tres casos anteriores.

Supongamos pues que nos piden racionalizar, y simplificar a ser posible, las expresiones siguientes:

\[\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{30}}\quad;\quad\frac{\sqrt{8}}{2\sqrt[6]{4}}\quad;\quad\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6-\sqrt{6}}\]

\[\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{30}}=\frac{2\sqrt{5}\sqrt{30}}{5\sqrt{30}\sqrt{30}}=\frac{2\sqrt{150}}{5\sqrt{30^2}}=\frac{2\sqrt{2\cdot3\cdot5^2}}{5\cdot30}=\]

\[=\frac{2\cdot5\sqrt{6}}{150}=\frac{10\sqrt{6}}{150}=\frac{\sqrt{6}}{15}\]

\[\frac{\sqrt{8}}{2\sqrt[6]{4}}=\frac{\sqrt{2^3}}{2\sqrt[6]{2^2}}=\frac{\sqrt{2^3}\sqrt[6]{2^4}}{2\sqrt[6]{2^2}\sqrt[6]{2^4}}=\frac{\sqrt[6]{2^9}\sqrt[6]{2^4}}{2\sqrt[6]{2^6}}=\]

\[=\frac{\sqrt[6]{2^{13}}}{2\cdot2}=\frac{2^2\sqrt[6]{2}}{4}=\frac{4\sqrt[6]{2}}{4}=\sqrt[6]{2}\]

\[\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6-\sqrt{6}}=\frac{(9\sqrt{3}-3\sqrt{2})(6+\sqrt{6})}{(6-\sqrt{6})(6+\sqrt{6})}=\frac{54\sqrt{3}+9\sqrt{18}-18\sqrt{2}-3\sqrt{12}}{6^2-(\sqrt{6})^2}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+9\sqrt{3^2\cdot2}-18\sqrt{2}-3\sqrt{2^2\cdot3}}{36-6} =\frac{54\sqrt{3}+9\cdot3\sqrt{2}-18\sqrt{2}-3\cdot2\sqrt{3}}{30}=\]

\[=\frac{54\sqrt{3}+27\sqrt{2}-18\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{30} =\frac{48\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{30}=\frac{16\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{10}\]

En este enlace puedes encontrar una relación de ejercicios de operaciones con radicales. El tercer ejercicio de la relación contiene 12 expresiones con radicales para racionalizar y simplificar. Además se da la solución final de cada una de ellas.

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