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Problemas en los que se utiliza la notación científica

Instrucciones:

Para practicar con estos problemas te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Problema 1. La masa del Sol es, aproximadamente, \(330\,000\) veces la de la Tierra. Si la masa de la Tierra es \(6\cdot10^{24}\ \text{kg.}\), calcula la masa del Sol.

Basta hacer una multiplicación:

\[330\,000\cdot\left(6\cdot10^{24}\right)=\left(3,3\cdot10^5\right)\cdot\left(6\cdot10^{24}\right)=\]

\[=(3,3\cdot6)\cdot\left(10^5\cdot10^{24}\right)=19,8\cdot10^{29}=1,98\cdot10^{30}\ \text{kg.}\]


Problema 2. Tal y como se ha comentado en el problema anterior, la Tierra tiene una masa aproximada de \(6\cdot10^{24}\ \text{kg.}\) Sabiendo que su densidad media es \(5,5\cdot10^3\ \text{kg/m}^3\), calcula el volumen de la Tierra. Para realizar este problema debes recordar que la densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa: \(\displaystyle d=\frac{m}{V}\).

Despejando el volumen de la fórmula de la densidad se tiene que \(\displaystyle V=\frac{m}{d}\). Por tanto:

\[V=\frac{6\cdot10^{24}}{5,5\cdot10^3}\approx1,09\cdot10^{21}\ \text{m}^3.\]


Problema 3. Si la distancia de la Tierra al Sol es, aproximadamente, \(1,4\cdot10^8\ \text{km.}\) y la distancia de la Tierra a la Luna es \(4\cdot10^5\ \text{km.}\), calcula la distancia de la Luna al Sol en el momento que muestra la figura.

notacion-cientifica

Llamemos \(d\) a la distancia de la Luna al Sol. Utilizando el teorema de Pitágoras:

\[d^2=\left(1,4\cdot10^8\right)^2+\left(4\cdot10^5\right)^2\Rightarrow d^2=1,96\cdot10^{16}+16\cdot10^{10}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow d^2=1,96\cdot10^{16}+0,000016\cdot10^{16}=1,960016\cdot10^{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow d=\sqrt{1,960016\cdot10^{16}}=1,40000571\cdot10^8\ \text{km.}\]

Observa que, si se redondea el resultado anterior, la distancia es \(d=1,4\cdot10^8\ \text{km.}\), que es la misma prácticamente que la distancia de la Tierra al Sol. Esto viene a decir que la Tierra y la Luna están muy cerca entre sí, comparado con la distancia de ambos al Sol, con lo que el triángulo rectángulo será de tal modo que la hipotenusa \(d\) mide sólo "un poquito" más que el cateto correspondiente a la distancia de la Tierra al Sol.


Problema 4. La masa de un electrón es \(9\cdot10^{-31}\ \text{kg.}\) Las masas tanto de un protón como de un neutrón es, aproximadamente, \(1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg.}\) Determina la masa de un átomo de azufre sabiendo que tiene \(16\) electrones, \(16\) protones y \(16\) neutrones.

Basta hacer un par de productos y una suma.

\[16\cdot\left(9\cdot10^{-31}\right)+32\cdot\left(1,67\cdot10^{-27}\right)=144\cdot10^{-31}+53,44\cdot10^{-27}=\]

\[=0,0144\cdot10^{-27}+53,44\cdot10^{-27}=53,4544\cdot10^{-27}=5,34544\cdot10^{-26}\ \text{kg.}\]


Problema 5. La velocidad de la luz es \(3\cdot10^8\ \text{m/seg}\). Calcula el tiempo que tardará en recorrer \(15\ \text{km.}\)

La velocidad de la luz permanece constante y se desplaza en línea recta. El movimiento es pues rectilíneo y uniforme. Despejando el tiempo de la fórmula de la velocidad tenemos:

\[v=\frac{s}{t}\Rightarrow t=\frac{s}{v}=\frac{15\,000}{3\cdot10^8}=\frac{1,5\cdot10^4}{3\cdot10^8}=0,5\cdot10^{-4}=5\cdot10^{-5}\ \text{seg.}\]

Obsérvese que se han pasado los kilómetros a metros y luego se han expresado en notación científica para hacer más cómodos los cálculos. El resultado viene a decir que la luz recorre quince kilómetros en cinco cienmillonésimas de segundo.


Problema 6. Sabemos del problema número 4 que la masa del electrón es \(9\cdot10^{-31}\ \text{kg.}\) Si en un tubo de aceleración alcanza una velocidad de \(2\cdot10^8\ \text{m/seg}\), ¿qué energía cinética tendrá el electrón dentro de dicho tubo?.

Nota: la fórmula de la energía cinética es \(\displaystyle E_c=\frac{1}{2}mv^2\).

Sustituyendo en la fórmula de la energía cinética tenemos:

\[E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot\left(9\cdot10^{-31}\right)\cdot\left(2\cdot10^8\right)^2=\left(4,5\cdot10^{-31}\right)\cdot\left(4\cdot10^{16}\right)=\]

\[=18\cdot10^{-15}=1,8\cdot10^{-14}\ \text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=1,8\cdot10^{-14}\ \text{J.}\]

La energía cinética se expresa en julios (\(\text{J}\)). \(\displaystyle 1 \text{J}=1\ \text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}.\)


Problema 7. La velocidad del sonido en el agua es \(1,6\cdot10^3\ \text{m/seg}\). Si un submarinista tarda \(0,2\ \text{seg.}\) en detectar un sonido que se produce en la superficie, ¿a qué profundidad se encuentra el submarinista?

Supongamos que la velocidad del sonido en el agua es constante y se desplaza en línea recta. Entonces:

\[v=\frac{s}{t}\Rightarrow s=v\cdot t\Rightarrow s=\left(1,6\cdot10^3\right)\cdot0,2=0,32\cdot10^3=3,2\cdot10^2\ \text{m.}\]

El submarinista se encuentra pues a unos \(320\) metros de profundidad.

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Notación científica y cifras significativas

 "Cuando se olvide a Esquilo, Arquímedes será todavía recordado, porque los lenguajes mueren, pero las ideas matemáticas no. Puede que inmortalidad sea una palabra tonta, pero probablemente un matemático tiene la mejor oportunidad de alcanzar lo que sea que signifique."

G. H. Hardy, en A Mathematician's Apology

En ocasiones hemos de utilizar números muy grandes, como la distancia en kilómetros de Saturno al Sol. O números muy pequeños, como el diámetro en cm. de un virus. El manejo de este tipo de números se simplifica utilizando potencias de \(10\), o notación científica. En esta notación, el número se escribe como el producto de un número mayor o igual que \(1\) y menor estrictamente que \(10\), y una potencia de \(10\). Por ejemplo:

  • \(100=10^2=1\cdot10^2\).
  • \(72\,900=7,29\cdot10\,000=7,29\cdot10^4\).
  • \(\displaystyle 0,0000000065=\frac{65}{10\,000\,000\,000}=65\cdot10^{-10}=6,5\cdot10^{-9}\).

El exponente entero al que está elevado la potencia de \(10\) recibe el nombre de orden de magnitud. Cuando los números son mayores que \(1\) el orden de magnitud es positivo. Por ejemplo, la distancia de Saturno al Sol, que es de \(1\,433\,000\,000\ \text{km}.\), se escribe en notación científica de la forma \(1,433\cdot10^9\ \text{km}.\) y el orden de magnitud de este número es \(9\).
vihCuando los números son menores que \(1\) el orden de magnitud es negativo. Por ejemplo, el diámetro un virión del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH), causante del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA), mide aproximadamente \(0,0000000009\ \text{m}.\), que en notación científica se escribe \(9\cdot10^{-10}\ \text{m}.\), y el orden de magnitud es, en este caso, igual a \(-10\). Se puede ver un corte de virus de la inmunodeficiencia humana en la imagen de la derecha (se ha "tomado prestada" del artículo dedicado al VIH en la Wikipedia).

Utilizando las propiedades de las potencias podemos multiplicar y dividir fácilmente con números dados en notación científica. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 1. Calcular, utilizando la notación científica, \(230\cdot9\,100\).

\[230\cdot9\,100=(2,3\cdot10^2)\cdot(9,1\cdot10^3)=(2,3\cdot9,1)\cdot(10^2\cdot10^3)=20,93\cdot10^5=2,093\cdot10^6\]

Obsérvese cómo, en el último paso, se ha hecho una pequeña rectificación para que el número que multiplica a la potencia de \(10\) esté comprendido entre \(1\) y \(10\), y así mostrar el resultado en notación científica.

Ejemplo 2. Calcular, utilizando la notación científica, \(\displaystyle \frac{3\cdot10^6}{1,5\cdot10^{-4}}\).

\[\frac{3\cdot10^6}{1,5\cdot10^{-4}}=\frac{3}{1,5}\cdot\frac{10^6}{10^{-4}}=2\cdot10^{6-(-4)}=2\cdot10^{10}\]

La suma o resta de dos números escritos en notación científica es ligeramente más delicada. Consideremos, por ejemplo,

\[3,24\cdot10^2+7,1\cdot10^{-1}=324+0,71=324,71=3,2471\cdot10^2\]

Para calcular esta suma sin expresar ambos números en su forma decimal ordinaria, basta con volver a escribirlos de forma que la potencia de \(10\) sea la misma en ambos.

En este caso podríamos expresar ambos números de forma que la potencia de \(10\) fuera igual a \(-1\):

\[3,24\cdot10^2+7,1\cdot10^{-1}=3\,240\cdot10^{-1}+7,1\cdot10^{-1}=\]

\[=(3\,240+7,1)\cdot10^{-1}=3\,247,1\cdot10^{-1}=3,2471\cdot10^2\]

O bien de forma que la potencia de \(10\) fuera igual a \(2\):

\[3,24\cdot10^2+7,1\cdot10^{-1}=3,24\cdot10^2+0,0071\cdot10^2=(3,24+0,0071)\cdot10^2=3,2471\cdot10^2\]

Es habitual, cuando se suman o restan números escritos en notación científica, escribirlos en el mayor de lo órdenes de magnitud que aparezca en dicha suma o en dicha resta.

Si los órdenes de magnitud son muy diferentes, uno de los números números será mucho mayor que el otro y frecuentemente pueden despreciarse en las operaciones de suma o resta. Por ejemplo:

\[2\cdot10^6+9\cdot10^{-3}=2\,000\,000+0,009=2\,000\,000,009\approx2\cdot10^6\]

En todo caso, tampoco es frecuente en la práctica, sumar o restar números de orden de magnitud muy diferente.

Muchos de los resultados que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y por tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de este error depende de la habilidad del experimentador y del aparato utilizado y frecuentemente sólo puede estimarse. Se suele dar una indicación aproximada de la incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilice. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es de \(2,50\ \text{m}.\), queremos indicar que probablemente su longitud se encuentre entre \(2,495\ \text{m}.\) y \(2,505\ \text{m}.\) Si utilizamos un metro en el que se pueda apreciar el milímetro y medimos la longitud de la mesa cuidadosamente, podemos estimar que hemos medido esta misma longitud con una precisión de \(\pm0,5\ \text{mm}.\) en vez de \(\pm0,5\ \text{cm}.\) (véase el artículo dedicado a los números aproximados y a los errores, tanto absoluto como relativo, que se cometen al tomar los mismos como aproximación de un resultado o de una medida). Indicaríamos esta precisión utilizando cuatro dígitos, como por ejemplo \(2,503\ \text{m}.\), para expresar la longitud. Recibe el nombre de cifra significativa todo dígito (exceptuando el cero cuando se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad. El número \(2,503\) tiene cuatro cifras significativas. El número \(0,00103\) tiene tres cifras significativas; los tres primeros ceros no son cifras significativas ya que simplemente sitúan el punto decimal. En notación científica, este número se escribiría \(1,03\cdot10^{-3}\). Un error muy común, sobre todo por el uso de las calculadoras, es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se conocen. Supongamos, por ejemplo, que medimos el área de un recinto circular midiendo el radio en pasos y utilizando la fórmula del área \(A=\pi r^2\). Si suponemos que un paso equivale, aproximadamente a \(50\ \text{cm}.=0,5\ \text{m}.\) y estimamos que la longitud del radio es de \(16\) pasos, o sea, de \(8\ \text{m}.\), utilizando una calculadora de diez dígitos para determinar el valor del área, obtenemos

\[\pi8^2=201,0619298\ \text{m}.^2\]

Los dígitos situados detrás de la coma decimal no sólo dificultan el cálculo sino que inducen a confusión respecto a la exactitud con la que conocemos el área. Podríamos aproximar el resultado a \(201\ \text{m}.^2\), pero ni siquiera esto es cierto. Si se ha calculado el radio mediante pasos la exactitud de la medida será tan sólo de \(0,5\ \text{m}.\) Es decir, la longitud del radio tendrá como máximo un valor de \(8,5\ \text{m}.\) y como mínimo un valor de \(7,5\ \text{m}.\) Si la longitud del radio es de \(8,5\ \text{m}.\) el valor del área es

\[\pi(8,5)^2=226,9800692\ \text{m}.^2\]

Mientras que si la longitud del radio es de \(7,5\ \text{m}.\), el área vale

\[\pi(7,5)^2=176,7145868\ \text{m}.^2\]

Una regla general válida cuando se manejan diferentes números en una operación de multiplicación o división es que el número de cifras significativas del resultado no debe ser mayor que el menor número de cifras significactivas de cualesquiera de los números. En este caso sólo se conoce una cifra significativa del radio, por tanto sólo se conoce una cifra significativa del área. Esta debe expresarse como \(2\cdot10^2\ \text{m}.^2\). Si en lugar de medir el radio mediante pasos se utiliza un metro y se obtiene un valor de, por ejemplo, \(r=8,23\ \text{m}.\), el área se expresará con tres cifras significativas:

\[\pi(8,23)^2=2,13\cdot10^2\ \text{m}.^2\]

Es muy habitual que los libros de texto de carácter científico trabajen generalmente con tres o cuatro cifras significativas.

Cuando se llevan a cabo cálculos por aproximación o comparaciones, hay veces en que se redondea un número hasta una e incluso ninguna cifra significativa. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos una hormiga, puede ser de \(8\cdot10^{-4}\ \text{m}.\approx10^{-3}\ \text{m}.\) Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga es \(-3\) o de \(10^{-3}\ \text{m}.\) De igual modo, como la altura de la mayoría de las personas se encuentra próxima a \(2\ \text{m}.\), podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altura de una persona es \(0\) o de \(10^0\ \text{m}.=1\ \text{m}.\) Esto no quiere decir que la altura típica de una persona sea realmente de \(1\ \text{m}.\) sino que está más próxima a \(1\ \text{m}.\) que a \(10\ \text{m}.\) o \(10^{-1}=0,1\ \text{m}.\) Podemos decir que una persona típica es \(3\) órdenes de magnitud más alta que una hormiga típica, queriendo decir con esto que el cociente entre las alturas es aproximadamente \(10^3\).


Referencia bibliográfica:

TIPLER. Física. Ed. Reverte S. A.

Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

distintivo

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Potencias. Expresiones algebraicas. Igualdades notables - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Reduce las expresiones siguientes:

a)  \(4+x-7(3-2x)\)

b)  \(2(5x-3)+6x-1\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2\)

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5\)

a)  \(4+x-7(3-2x)=4+x-(21-14x)=4+x-21+14x=15x-17\)

Observaciones:

Este ejercicio es muy sencillo, pero es conveniente hacer algunas observaciones. Según la jerarquía de las operaciones se realizan los productos antes que las sumas y restas. Por eso lo primero que hacemos es el produto \(7(3-2x)\). Para realizar este producto se utiliza la propiedad distributiva respecto de la suma, según la cual:

\[a(b+c)=ab+ac\quad\forall\ a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\]

Por eso \(7(3-2x)=7\cdot3-7\cdot2x=21-14x\). Observa que dentro del paréntesis no había una suma, sino una resta. No importa, la propiedad distributiva del producto también es cierta respecto de la resta, ya que restar es sumar el opuesto:

\[a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac\]

También hemos utilizado la propiedad distributiva, pero de derecha a izquierda, cuando hemos terminado de simplificar la operación. Es decir \(x+14x=1x+14x=(1+14)x=15x\). Esta acción también se conoce como "sacar factor común".

Esto es lo que se llama sumar monomios semejantes. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Para sumarlos o restarlos se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Esto, como ves, no es otra cosa que aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o de la resta.

Ahora más que nunca se pone de manifiesto que las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje algebraico que nos permite operar con números y símbolos, utilizando una determinadas reglas del juego. Reglas que, por otra parte, son muy sencillas y que se irán poniendo de manifiesto en estos ejercicios.

b)  \(2(5x-3)+6x-1=2\cdot5x-2\cdot3+6x-1=10x-6+6x-1=16x-7\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2=2^2-a^2-5(1^2+2\cdot1\cdot a+a^2)=\)

\(=4-a^2-5(1+2a+a^2)=4-a^2-5-10a-5a^2=-6a^2-10a-1\)

Observaciones:

Para reducir esta expresión hemos utilizado dos de las igualdades notables:

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Cuadrado de una suma es igual a cuadrado del primer sumando, más dos veces el primero por el segundo, más cuadrado del segundo sumando:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Ambas son muy fáciles de demostrar. Veámoslo:

\[(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^2-b^2\]

Observa la forma en que se ha utilizado aquí, justo al principio, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Por otro lado es claro que \(-ab+ba=-ab+ab=0\), (no olvidemos nunca la propiedad conmutativa de los números reales: \(ab=b\,a\ \forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\)).

Por otro lado:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5=b^2+2\cdot b\cdot2+2^2-(1^2-b^2)5=b^2+4b+4-(1-b^2)5=\)

\(=b^2+4b+4-(5-5b^2)=b^2+4b+4-5+5b^2=6b^2+4b-1\)


Ejercicio 2. Extrae factor común y escribe como producto de factores:

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\)

b)  \(-6a+12-24b\)

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2\)

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c\)

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2=xy(y-2x+5xy)\)

Observaciones:

Recuerda que sacar factor común no es otra cosa que la propiedad distributiva aplicada de derecha a izquierda: \(ab+ac=a(b+c)\). Para sacar al menos un factor común, dicho factor ha de estar al menos una vez en todos y cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. En este caso, la expresión algebraica \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\) tiene tres sumandos: \(xy^2\), \(2x^2y\), \(5x^2y^2\). El primero tiene dos factores: \(x\), \(y^2\); el segundo tiene tres: \(2\), \(x^2\), \(y\); y el tercero tiene otros tres: \(5\), \(x^2\), \(y^2\). Tanto la letra \(x\) como la letra \(y\) es común en cada uno de los tres factores (ellas mismas también son factores incluso cuando van elevadas a algún exponente: \(x^2=x\cdot x\), \(y^2=y\cdot y\)). Pues bien, se extraen fuera de la expresión, elevadas al menor de los exponentes. Dentro de la expresión, entre paréntesis, quedan los factores que no se han extraído.

En resumen, es más fácil verlo y hacerlo que explicarlo.

b)  \(-6a+12-24b=-2\cdot3\cdot a+2^2\cdot3-2^3\cdot3\cdot b=2\cdot3(-a+2-2^2b)=6(-a+2-4b)\)

Observación:

En este caso, para extraer factor común los números \(2\) y \(3\), hemos tenido que descomponer previamente en producto de primos, cada uno de los factores numéricos de la expresión. Luego se procede como en el apartado anterior. También se puede hacer el máximo común divisor de los factores numéricos (coeficientes). Éste será el factor común de todos ellos.

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2=2^2\cdot3x^2y^2-2\cdot3xy+2^2xy^2=\)

\(=2xy(2\cdot3xy-3+2y)=2xy(6xy-3+2y)\)

Observación:

Muchas veces separamos los factores por un punto "\(\cdot\)", sobre todo cuando estamos multiplicando números. Esto es para no confundir el producto con otro número. Por ejemplo escribimos \(2\cdot3\) en lugar de \(23\) para no confundir dos por tres con el número veintitrés. Con las letras escribiremos indistintamente \(xy\) o \(x\cdot y\).

Resumiento, el producto se puede indicar con un punto o por yuxtaposición cuando alguno de los factores no es un número. Cuando ambos factores son números es obligatorio indicar el producto con un punto a fin de no confundirlo con otro número.

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c=abc(1+ac-b)\)

Observación:

En este caso, al extraer factor común \(abc\), aparentemente no queda nada en el lugar de este factor que escribir dentro del paréntesis. Pero sí que queda, ¡el uno!. El número uno siempre esta multiplicando a cualquier expresión, es el elemento neutro del producto: \(1\cdot x=1x=x\ \forall x\in\mathbb{R}\). Muchas veces no se escribe, pero está. Siempre está multiplicando a cualquier factor o expresión que te encuentres.


Ejercicio 3. Simplifica las fracciones siguientes sacando factor común si fuera necesario:

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}\)

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}\)

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}=\frac{2\cdot3(x-2)y}{-2^2\cdot3(x-2)y^2}=-\frac{1}{2y}\)

Observaciones:

Para simplificar los factores numéricos se descomponen en producto de primos y luego se eliminan los factores comunes del numerador y del denominador.

Hemos utilizado un "truco" muy habitual en matemáticas: \((a-b)=-(b-a)\). En este caso \((2-x)=-(x-2)\). Así \(x-2\) es un factor común en el numerador y en el denominador y lo podemos eliminar. Observa que el signo menos lo hemos puesto al principio en el denominador pues el orden de los factores no altera el producto. Luego lo hemos puesto delante de la fracción ya que \(\displaystyle\frac{+}{-}=-\)

De nuevo recordar lo que ya se comentó en el ejercicio anterior. En el numerador se elimina todo. Por eso queda arriba el número uno, que siempre es un factor (recuerda: no se pone, pero siempre está).

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}=\frac{10a(2a-b+1)}{10(a-b+1)a}=\frac{2a-b+1}{a-b+1}\)

Observación:

Para poder eliminar factores comunes del numerador y del denominador hemos tenido que sacar factor común en el numerador. El enunciado del ejercicio ya dice que se saque factor común si es necesario (¡qué importante leer bien los enunciados de los ejercicios!). Luego hemos observado que los factores \(10\) y \(a\) son comunes en el numerador y en el denominador y los hemos eliminado.

Hay personas que "simplifican" aún más: \(\displaystyle\frac{2a-b+1}{a-b+1}=\frac{2a}{a}=2\). Pero este procedimiento no es correcto, porque \(b\) y \(1\) no son factores comunes del numerador y del denominador, ¡son sumandos! y, en este caso, aunque sean comunes no se pueden eliminar. Si así fuera llegaríamos a contradicciones como la siguiente:

\[2=\frac{16}{8}=\frac{4+3+9}{4+3+1}=\frac{9}{1}=9\]

¡Cuidado con esto!

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}=\frac{2^3(a-b)x}{-2^2\cdot3(a-b)x^2}=-\frac{2}{3x}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}=\frac{3a(2a+1-b)}{3(2a+1-2b)a}=\frac{2a+1-b}{2a+1-2b}\)


Ejercicio 4. Simplifica las expresiones siguientes:

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}\)

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}=\frac{(a^2)^3b^3a^2(b^2)^2}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^6b^3a^2b^4}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^{8-(-3)}b^{7-(-3)}=a^{11}b^{10}\)

Observación:

En cada uno de los pasos se han utilizado distintas propiedades de las potencias:

Potencia de un producto es igual al producto de las potencias:

\[(ab)^n=a^nb^n\]

Potencia de una potencia es igual a la base elevado al producto de los exponentes:

\[(a^n)^m=a^{nm}\]

Producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes:

\[a^na^m=a^{n+m}\]

Cociente de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes:

\[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]

Este ejercicio se podría haber finalizado así:

\(\displaystyle\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^8b^7\frac{1}{a^{-3}}\frac{1}{b^{-3}}=a^8b^7a^3b^3=a^{8+3}b^{7+3}=a^{11}b^{10}\)

Donde se ha utilizado la potencia de exponente negativo:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad ;\quad \frac{1}{a^{-n}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a^n}}=a^n\]

Esto a veces se explica diciendo que si en una fracción aparece factor que sea una potencia con exponente negativo, se puede pasar al otro lado de la fracción con exponente positivo.

Para más información sobre potencias y propiedades de las potencias puedes ver la siguiente presentación sobre potencias.

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}=\frac{x^3(x^3-x+1)}{x^3(1+x^2-x^4)}=\frac{x^3-x+1}{1+x^2-x^4}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}=\frac{(x^5)^2y^2x^2(y^2)^2}{(x^2)^{-3}(y^2)^{-3}}=\frac{x^{10}y^2x^2y^4}{x^{-6}y^{-6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{x^{12}y^6}{x^{-6}y^{-6}}=x^{12-(-6)}y^{6-(-6)}=x^{18}y^{12}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}=\frac{a^3(a^2-a+1)}{a^4(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a^4-a^2+a}\)

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