Menu
Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Distancia entre dos rectas que se c…

En un espacio de tres dim...

La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Prev Next

Elementos filtrados por fecha: Mayo 2017

Exámenes bachillerato Matemáticas II. Curso 2016-2017

A continuación os dejo unos enlaces con todos los exámenes de la materia Matemáticas II (2º de Bachillerato) que hemos realizado durante el curso 2016-2017. Espero que os sirvan para la preparación de la Selectividad a muchos, así como para preparar también, a otros, el examen extraordinario de septiembre.

  1. Primer examen de la primera evaluación: Límites. Continuidad. Teorema de Bolzano. Derivabilidad.
  2. Segundo examen de la segunda evaluación: Derivación implícita y logarítmica. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Optimización.
  3. Recuperación de la primera evaluación (1): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  4. Recuperación de la primera evaluación (2): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  5. Primer examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de integración. Integral definida. Cálculo de áreas.
  6. Segundo examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Rangol de una matriz. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  7. Recuperación de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Ecuaciones matriciales.
  8. Primer examen de la tercera evaluación (1): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  9. Primer examen de la tercera evaluación (2): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  10. Primer examen de la tercera evaluación (3): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  11. Primer examen de la tercera evaluación (4): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  12. Segundo examen de la tercera evaluación: Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  13. Suficiencia mayo (primera evaluación): Límites. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  14. Suficiencia mayo (segunda evaluación): Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de intergración. Integral definida. Cálculo de áreas. Matrices. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  15. Suficiencia mayo (tercera evaluación): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  16. Examen final para subir nota.

Recordad que podéis encontrar más exámenes aquí:

 

Leer más ...

Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

En un espacio de tres dimensiones dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto en común y no están contenidas en el mismo plano. Si no tienen ningún punto en común pero sí que están contenidas en un mismo plano las rectas son paralelas.

Distancia entre dos rectas paralelas

Si las rectas son paralelas la distancia entre ambas viene dada por la distancia de un punto de una de ellas a la otra. Se entiende por distancia la distancia mínima del punto a la recta. La construcción requiere hallar el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto. Este plano perpendicular cortará a la recta en cuestión en otro punto. De este modo, la distancia del punto a la recta será igual a la distancia entre los dos puntos mencionados. Vamos a hallar una fórmula que permita hallar esta distancia. Para ello sea \(P(p_1,p_2,p_3)\) un punto y \(r\) una recta que vamos a escribir en su forma continua:

\[r\equiv\frac{x-a_1}{u_1}=\frac{x-a_2}{u_2}=\frac{x-a_3}{u_2}\]

distancia1

Recordemos que \(A(a_1,a_2,a_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) son un punto y un vector director de \(r\), respectivamente. Supongamos también que \(M(m_1,m_2,m_3)\) es el punto en el que el plano perpendicular a \(r\) que contiene a \(P\) corta a la recta \(r\) (ver figura anterior). A la distancia del punto \(P\) a la recta \(r\), que es lo que queremos calcular, la notaremos \(d(P,r)\). El vector que une el punto \(A\) de la recta con el punto \(P\) es \(\overrightarrow{AP}=(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\).

Por un lado tenemos que el módulo del producto vectorial de \(\overrightarrow{AP}\) con \(\vec{u}\) es:

\[|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|=|\overrightarrow{AP}|\cdot|\vec{u}|\cdot\text{sen }\alpha\]

Por otro lado, observando la figura anterior se tiene que:

\[\text{sen }\alpha=\frac{d(P,r)}{|\overrightarrow{AP}|}\Rightarrow d(P,r)=|\overrightarrow{AP}|\cdot\text{sen }\alpha\]

Por tanto, sustituyendo en la primera expresión:

\[|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|=d(P,r)\cdot|\vec{u}|\]

Y de aquí obtenemos finalmente que la distancia entre un punto y una recta la podemos calcular mediante la siguiente fórmula:

\[d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{|(p_1-a_1,p_2-a_2,p_3-a_3)\times(u_1,u_2,u_3)|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}\]

Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Supongamos ahora que tenemos dos rectas \(r\) y \(s\) que se cruzan. Para hallar la distancia entre ambas, \(d(r,s)\), lo que se hace es calcular el plano que contienen a una de ellas (por ejemplo a \(s\)) y es paralelo a la otra (en este caso a \(r\)). La distancia entre ambas rectas vendrá dada por la distancia de la recta \(r\) a este plano, distancia que obviamente coincidirá con la distancia de un punto de \(r\) a dicho plano (por ser ambos paralelos). Por cierto, la distancia de un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) a un plano \(\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0\), viene dada por la fórmula siguiente:

\[d(P,\pi)=\frac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

El cálculo de la perpendicular común a \(r\) y a \(s\), es decir, de la recta que corta perpendicularmente a ambas, que llamaremos \(t\), precisa de una construcción en tres pasos. Son los siguientes:

  • Cálculo del plano \(\pi\) que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\).
  • Cálculo del plano \(\pi'\) que contiene a \(s\) y es perpendicular a \(\pi\).
  • Cálculo del plano \(\pi''\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

Entonces, tal y como se puede apreciar en la figura siguiente, la perpendicular común \(t\) a \(r\) y a \(s\) será la intersección de los planos \(\pi'\) y \(\pi''\): \(t=\pi'\cap\pi''\). Hemos llamado también \(M\) al punto de corte de \(r\) y \(t\), y \(N\) al punto de corte de \(s\) y \(t\): \(M=r\cap t\), \(N=s\cap t\).

distancia2

Tal y como hemos comentado anteriormente, la distancia entre \(r\) y \(s\) es la misma que la distancia entre \(r\) y \(\pi\), distancia que, obviamente, también ha de coincidir con la distancia entre los puntos \(M\) y \(N\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(M,N)\]

Veamos un caso práctico. Consideremos las rectas \(r\) y \(s\) siguientes:

\[r\equiv\begin{cases}x+y-z=1\\x-2z=-1\end{cases}\quad;\quad s\equiv x=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2}\]

Lo primero de todo es comprobar que, efectivamente, ambas rectas se cruzan. Si escribimos la recta \(r\) en paramétricas:

\[r\equiv\begin{cases}
  x=-1+2\lambda\\
  y=2-\lambda\\
  z=\lambda
\end{cases}\]

tenemos que un punto y un vector director de \(r\) son, respectivamente, \(A(-1,2,0)\) y \(\vec{u}=(2,-1,1)\). Del mismo modo, un punto y un vector director de la recta \(s\) son, respectivamente, \(B(0,-2,1)\), \(\vec{v}=(1,-1,2)\).

Por un lado, tenemos que

\[\text{rango}\left(
         \begin{array}{c}
           \vec{u} \\
           \vec{v} \\
         \end{array}
       \right)=\text{rango}\left(
                      \begin{array}{ccc}
                        2 & -1 & 1 \\
                        1 & -1 & 2 \\
                      \end{array}
                    \right)=2
\]

ya que la matriz anterior contiene al menos un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{cc}
  2 & -1\\
  1 & -1
\end{array}\right|=-2-(-1)=-1\neq0\]

Por otro lado, tenemos que

\[\text{rango}\left(
                \begin{array}{c}
                  \vec{u} \\
                  \vec{v} \\
                  \overrightarrow{AB} \\
                \end{array}
              \right)=\text{rango}\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      2 & -1 & 1 \\
                                      1 & -1 & 2 \\
                                      1 & -4 & 1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=3
\]

ya que

\[\left|\begin{array}{ccc}
  2 & -1 & 1 \\
  1 & -1 & 2 \\
  1 & -4 & 1
\end{array}\right|=(-2-2-4)-(-1-1-16)=-8-(-18)=10\neq0\]

Del razonamiento anterior se deduce que las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan. Vamos a dar los pasos mencionados anteriormente para hallar la perpendicular común y la distancia entre \(r\) y \(s\).

En primer lugar vamos a hallar el plano \(\pi\) que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\). Un punto de dicho plano será un punto de \(s\), por ejemplo el punto \(B(0,-2,1)\) y dos direcciones suyas serán las de \(r\) y las de \(s\), es decir, podemos tomar como vectores directores del plano los vectores \(\vec{u}=(2,-1,1)\), \(\vec{v}=(1,-1,2)\). Así el plano \(\pi\) vendrá dado por

\[\pi\equiv\left|\begin{array}{ccc}
          x & y+2 & z-1 \\
          2 & -1 & 1 \\
          1 & -1 & 2
        \end{array}\right|=0\]

Desarrollando el determinante anterior:

\[(-2x+y+2-2z+2)-(-z+1+4y+8-x)=0\Rightarrow\pi\equiv x+3y+z+5=0\]

Teniendo en cuenta que la ecuación general de la recta \(s\) es:

\[s\equiv\begin{cases}
  x+y+2=0\\
  2x-z+1=0
\end{cases}\]

otra forma de hallar el plano \(\pi\) es hacer uso del haz de planos de arista la recta \(s\):

\[\lambda(x+y+2)+\mu(2x-z+1)=0\Leftrightarrow(\lambda+2\mu)x+\lambda y-\mu z+2\lambda+\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea paralelo a la recta \(r\) un vector normal al plano, \((\lambda+2\mu,\lambda,-\mu)\), debe ser perpendicular al vector director de \(r\), \(\vec{u}=(2,-1,1)\), es decir:

\[2(\lambda+2\mu)+(-1)\lambda+1(-\mu)=0\Leftrightarrow\lambda+3\mu=0\]

Esta igualdad se cumple, por ejemplo, para \(\lambda=3\) y \(\mu=-1\), con lo que el plano \(\pi\) que buscamos será:

\[\pi\equiv x+3y+z+5=0\]

Llegados a este punto ya estamos en condiciones de hallar la distancia entre \(r\) y \(s\): \(d(r,s)=d(r,\pi)\). Además, esta última distancia coincidirá con \(d(A,\pi)\):

\[d(r,s)=d(r,\pi)=d(A,\pi)=\frac{|1\cdot(-1)+3\cdot2+1\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{11}}=\frac{10\sqrt{11}}{11}\]

Continuando con nuestra construcción calcularemos, en segundo lugar, el plano \(\pi'\) que contiene a \(s\) y es perpendicular a \(\pi\). Ya hemos visto que el haz de planos de arista la recta \(s\) es

\[(\lambda+2\mu)x+\lambda y-\mu z+2\lambda+\mu=0\]

Para que un plano de este haz sea perpendicular a \(\pi\) se ha de cumplir que los vectores perpendiculares a ambos planos sea ellos mismos también perpendiculares, es decir:

\[1(\lambda+2\mu)+3\lambda+1(-\mu)=0\Leftrightarrow4\lambda+\mu=0\]

Tomando \(\lambda=-1\) y \(\mu=4\), tenemos que el plano \(\pi'\) es el siguiente:

\[\pi'\equiv 7x-y-4z+2=0\]

En tercer y último lugar vamos a calcular el plano \(\pi''\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\). Para ello volveremos a usar la técnica del haz de planos, pero en este caso de arista la recta \(r\):

\[\lambda(x+y-z-1)+\mu(x-2z+1)=0\Leftrightarrow(\lambda+\mu)x+\lambda y+(-\lambda-2\mu)z+(-\lambda+\mu)=0\]

Para que un plano de este haz sea perpendicular a \(\pi\) se tiene que cumplir, al igual que en el caso anterior, que los vectores perpendiculares a ambos planos sean también perpendiculares, es decir:

\[1(\lambda+\mu)+3\lambda+1(-\lambda-2\mu)=0\Leftrightarrow3\lambda-\mu=0\]

Tomando \(\lambda=1\) y \(\mu=3\), obtenemos el plano \(\pi''\):

\[\pi''\equiv4x+y-7z+2=0\]

La recta \(t\), perpendicular común a \(r\) y a \(s\), es la intersección de \(\pi'\) y de \(\pi''\). Por tanto:

\[t=\pi'\cap\pi''\equiv\begin{cases}
  7x-y-4z+2=0\\
  4x+y-7z+2=0
\end{cases}\]

Vamos a mostrar que la distancia hallada anteriormente entre las rectas \(r\) y \(s\) coincide con la distancia entre los puntos \(M\) y \(N\).

Para hallar los puntos \(M\) y \(N\) resolveremos los sistemas formados por \(r\) y \(t\), por un lado, y por \(s\) y \(t\), por otro, ya que \(r\cap t=M\) y \(s\cap t=N\).

El sistema formado por \(r\) y \(t\) tiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Podemos eliminar una de ellas, por ejemplo la última ecuación de la recta \(t\). El sistema queda del siguiente modo:

\[\begin{cases}
  x+y-z=1\\
  x-2z=-1\\
  7x-y-4z=-2
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & -1 \\
          1 & 0 & -2 \\
          7 & -1 & -4
        \end{array}
\right|=(-14+1)-(-4+2)=-13+2=-11\]

Por tanto, aplicando la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 0 & -2 \\
                  -2 & -1 & -4
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(4-1)-(4+2)}{-11}=\frac{-3}{-11}=\frac{3}{11}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  1 & -1 & -2 \\
                  7 & -2 & -4
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(4-14+2)-(7-4+4)}{-11}=\frac{-15}{-11}=\frac{15}{11}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & 1 \\
                  1 & 0 & -1 \\
                  7 & -1 & -2
                \end{array}
\right|}{-11}=\frac{(-7-1)-(-2+1)}{-11}=\frac{-7}{-11}=\frac{7}{11}\]

De manera similar resolveremos el sistema formado por la recta \(s\) y por la recta \(t\). También eliminaremos la última ecuación de la recta \(t\). El sistema es el siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y=-2\\
  2x-z=-1\\
  7x-y-4z=-2
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 0 \\
          2 & 0 & -1 \\
          7 & -1 & -4
        \end{array}
\right|=-7-(-8+1)=-7+7=0\]

Esto indica que no podemos eliminar la última ecuación de la recta \(r\). Así que eliminaremos la primera y el sistema quedará de la siguiente manera:

\[\begin{cases}
  x+y=-2\\
  2x-z=-1\\
  4x+y-7z=-2
\end{cases}\]

Ahora el determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 0 \\
          2 & 0 & -1 \\
          4 & 1 & -7
        \end{array}
\right|=-4-(-14-1)=-4+13=11\]

Volviendo a aplicar la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  -2 & 1 & 0 \\
                  -1 & 0 & -1 \\
                  -2 & 1 & -7
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{2-(7+2)}{11}=-\frac{7}{11}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & -2 & 0 \\
                  2 & -1 & -1 \\
                  4 & -2 & -7
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{(7+8)-(28+2)}{11}=-\frac{15}{11}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -2 \\
                  2 & 0 & -1 \\
                  4 & 1 & -2
                \end{array}
\right|}{11}=\frac{(-4-4)-(-4-1)}{11}=-\frac{3}{11}\]

De este modo tenemos que

\[M=r\cap t=\left(\frac{3}{11},\frac{15}{11},\frac{7}{11}\right)\quad;\quad N=s\cap t=\left(-\frac{7}{11},-\frac{15}{11},-\frac{3}{11}\right)\]

Y de aquí:

\[\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{7}{11}-\frac{3}{11},-\frac{15}{11}-\frac{15}{11},-\frac{3}{11}-\frac{7}{11}\right)=\left(-\frac{10}{11},-\frac{30}{11},-\frac{10}{11}\right)\]

Así pues, la distancia entre las rectas \(r\) y \(s\) es:

\[d(r,s)=d(M,N)=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(-\frac{10}{11}\right)^2+\left(-\frac{30}{11}\right)^2+\left(-\frac{10}{11}\right)^2}= \frac{\sqrt{1100}}{11}=\frac{10\sqrt{11}}{11}\]


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas