Menu
Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Funciones continuas e inyectivas

Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teo...

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

El problema de la velocidad. Deriva…

Un problema relativo a ve...

Prev Next

6. Potenciación de números complejos en forma polar. Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre. Fórmula de Moivre.

Sea el número complejo \(z=r_{\alpha}\), el cual deseamos elevarlo a la potencia de exponente \(n\).

\[z^n=(r_{\alpha})^n=r_{\alpha}\cdot r_{\alpha}\cdot\ldots\cdot\,(\text{n veces})\,\cdot\ldots\cdot r_{\alpha}=(r^n)_{\alpha+\alpha+\ldots+\,(\text{n veces})\,+\ldots+\alpha}\]

Es decir, la potencia de un número complejo en forma polar se calcula del siguiente modo:

\[(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\]

Si los dos miembros de la fórmula anterior los expresamos en forma trigonométrica se obtiene la que se conoce con el nombre de Fórmula de Moivre:

\[\left(r(\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha)\right)^n=r^n(\text{cos}\,n\alpha+i\cdot\text{sen}\,n\alpha)\]

Una aplicación de la fórmula de Moivre es el cálculo de razones trigonométricas de ángulos múltiplos de otro. Así por ejemplo, si consideramos el número complejo \(1_{\alpha}=\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha\) podemos elevarlo al cuadrado de dos forma distintas.

Una de ellas, utilizando el cuadrado de la suma:

\[(1_{\alpha})^2=(\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha)^2=\text{cos}^2\alpha+i^2\text{sen}^2\alpha+2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\cdot i=\]

\[=\text{cos}^2\alpha-\text{sen}^2\alpha+2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\cdot i\]

La otra, utilizando la fórmula de Moivre:

\[(1_{\alpha})^2=(\text{cos}\,\alpha+i\cdot\text{sen}\,\alpha)^2=\text{cos}\,2\alpha+i\cdot\text{sen}\,2\alpha\]

Igualando las dos expresiones anteriores:

\[\text{cos}\,2\alpha+i\cdot\text{sen}\,2\alpha=\text{cos}^2\alpha-\text{sen}^2\alpha+2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\cdot i\]

Como los dos complejos son iguales, también lo serán sus partes reales e imaginarias. De ahí se obtienen las conocidas fórmulas del coseno y del seno del ángulo doble:

\[\text{cos}\,2\alpha=\text{cos}^2\alpha-\text{sen}^2\alpha\]

\[\text{sen}\,2\alpha=2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{cos}\,\alpha\]

También podemos elevar cualquier complejo a cualquier potencia de exponente natural de manera mucho menos laboriosa que usando el binomio de Newton, tal y como se vio en el apartado 3 de este curso de números complejos: otras operaciones con números complejos: diferencia, división, potenciación y radicación de complejos.

Ejemplo 7

Calcula \((2+2\sqrt{3})^5\)


Pasando el complejo de la base a forma polar, podemos utilizar la cómoda fórmula de Moivre.

\[2+2\sqrt{3}i\Rightarrow\begin{cases}r=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4\\ \text{tg}\,\alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=60^{\text{o}}\end{cases}\Rightarrow 2+2\sqrt{3}i=4_{60^{\text{o}}}\]

Entonces:

\[(2+2\sqrt{3}i)^5=(4_{60^{\text{o}}})^5=4^5(\text{cos}\,(5\cdot60^{\text{o}})+i\cdot\text{sen}\,(5\cdot60^{\text{o}}))=\]

\[=1024(\text{cos}\,300^{\text{o}}+i\cdot\text{sen}\,300^{\text{o}})=1024(\text{cos}\,60^{\text{o}}-i\cdot\text{sen}\,60^{\text{o}})=\]

\[=1024\left(\frac{1}{2}-i \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=512-512\sqrt{3}\,i\]

En el siguiente y último apartado dedicado a este curso de números complejos veremos cómo se puede hacer la raíz de índice \(n\) de un número complejo cualquiera.


← 5. Producto y cociente de números complejos en forma polar

7. Radicación de números complejos →

volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas