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3. Otras operaciones con números complejos: diferencia, división, potenciación y radicación de complejos

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Diferencia de números complejos

En realidad, la diferencia de números complejos no es distinta de la suma de números complejos. Para restar dos números complejos se suma el primero con el opuesto del segundo. Por ejemplo:

\[(-5+6i)-(2-7i)=(-5+6i)+(-2+7i)=-7+13i\]

División de números complejos

La división de dos números complejos se define como la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor.

\[\frac{a+bi}{c+di}=(a+bi)\cdot(c+di)^{-1}\]

Para calcular el inverso de un número complejo distinto de cero se utiliza un recurso muy práctico: multiplicamos y dividimos por el conjugado del número complejo del cual queremos hallar su inverso.

\[(a+bi)^{-1}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-(bi)^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\]

Obsérvese que al multiplicar un número complejo por su conjugado se obtiene un número real (recuérdese que el cuadrado de la unidad imaginaria es igual a \(-1\)):

\[(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2\]

Por tanto:

\[(a+bi)^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i\]

El recurso del conjugado se utiliza en la práctica para dividir números complejos. Veamos un ejemplo.

\[\frac{3-2i}{2+i}=\frac{(3-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6-3i-4i+2i^2}{2^2-i^2}=\]

\[=\frac{6-3i-4i-2}{4+1}=\frac{4-7i}{5}=\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i\]

Potencias de números complejos

Las sucesivas potencias de la unidad imaginaria son:

\[i^0=1,\,i^1=i,\,i^2=-1,\,i^3=i^2\cdot i=-i,\,i^4=i^2\cdot i^2=1,\,i^5=i^4\cdot i=i\ldots\]

Obsérvese que los valores se repiten de cuatro en cuatro. Por tanto, para calcular una determinada potencia de \(i\) se divide el exponente entre cuatro, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Por ejemplo:

\[i^{35}=i^{4\cdot8+3}=(i^4)^8\cdot i^3=1^8\cdot i^3=i^3=-i\]

En el ejemplo anterior se ha utilizado que al dividir \(35\) entre \(4\) el cociente es \(8\) y el resto es \(3\), es decir, \(35=4\cdot8+3\).

Naturalmente, al igual que con los números reales, podemos calcular potencias de \(i\) con exponente negativo:

\[i^{-25}=\frac{1}{i^{25}}=\frac{1}{i}=\frac{1\cdot i}{i\cdot i}=\frac{i}{-1}=-i\]

Para elevar a cualquier potencia un número complejo basta aplicar la fórmula del binomio de Newton. Luego han de reducirse las potencias de la unidad imaginaria a sus valores correspondientes. Veamos otro ejemplo.

\[(1-3i)^5=\binom{5}{0}1^5(-3i)^0+\binom{5}{1}1^4(-3i)^1+\binom{5}{2}1^3(-3i)^2+\binom{5}{3}1^2(-3i)^3+\]

\[+\binom{5}{4}1^1(-3i)^4+\binom{5}{5}1^0(-3i)^5=1+5\cdot(-3i)+10\cdot9i^2+10\cdot(-27)i^3+5\cdot81i^4+(-243)i^5=\]

\[=1-15i-90+270i+405-243i=316+12i\]

Raíz cuadrada de un número negativo. Ecuaciones en el cuerpo de los números complejos

Ya vimos que la expresión \(\sqrt{-9}\) no tiene sentido en el cuerpo de los números reales. Pero ahora, en el cuerpo de los números complejos podemos operar así:

\[\sqrt{-9}=\sqrt{9\cdot(-1)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{9}i=3i\]

Sabiendo pues hacer raíces cuadradas en \(\mathbb{C}\), pueden resolverse ecuaciones de segundo grado que no tenían solución real, pero que sí tienen solución compleja. Mejor lo vemos con un ejemplo.

\[x^2-6x+13=0\Leftrightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}}{2}=\]

\[=\frac{6\pm4i}{2}=\begin{cases}x_1=\dfrac{6+4i}{2}=3+2i\\x_2=\dfrac{6-4i}{2}=3-2i\end{cases}\]

En general, una ecuación de segundo grado con coeficientes reales tiene dos soluciones complejas conjugadas. Este es un resultado general. En efecto, si \(x_1\) y \(x_2\) son las soluciones de la ecuación de segundo grado, entonces

\[(x-x_1)(x-x_2)=0\Rightarrow x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\]

Si partimos de que \(x_1=a+bi\) y \(x_2=a-bi\) son dos complejos conjugados, entonces

\[\begin{cases}x_1+x_2=2a\\x_1\cdot x _2=a^2+b^2\end{cases}\Rightarrow x^2-2ax+(a^2+b^2)=0\]

Hemos reconstruido pues la ecuación se segundo grado partiendo de soluciones complejas conjugadas y, como se ve, sus coeficientes son reales.

En la siguiente sección abordaremos la escritura de números complejos en forma polar.


← 2. Forma binómica de un número complejo. Representación gráfica

4. Forma polar de un número complejo →

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