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Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un número real cualquiera \(x\) se define de la siguiente manera:

\[|x|=\begin{cases}x&\text{si}&x\geqslant0\\-x&\text{si}&x<0\end{cases}\]

En otro artículo hablábamos del valor absoluto y de sus propiedades, y en él ya se hizo referencia a la posibilidad de resolver algunas ecuaciones o inecuaciones utlizando estas propiedades. Aquí seremos más explícitos y resolveremos de hecho varias ecuaciones e inecuaciones concretas. En todo caso será bueno recordar que utilizaremos algunas de las propiedades del valor absoluto. Por supuesto, se da por hecho que se saben resolver ecuaciones e inecuaciones de primer y de segundo grado. En todo caso se recomienda la lectura de los siguientes artículos:

La ecuación con valor absoluto más sencilla es \(|x|=a\), donde \(a\) es un número real fijo mayor o igual que cero, pero arbitrario (si \(a<0\) la ecuación no tiene solución pues \(|x|\geqslant0,\,\forall x\in\mathbb{R}\)). Por la definición de valor absoluto, si \(x\geqslant0\), entonces \(|x|=x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow x=a\). Sin embargo, si \(x<0\), entonces \(|x|=-x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow -x=a\Rightarrow x=-a\). Hemos demostrado que \(|x|=a\Rightarrow\begin{cases}x=a\\x=-a\end{cases}\).

Así por ejemplo las soluciones de la ecuación |x|=3 son \(x=3\) y \(x=-3\).

Desde el punto de vista geométrico la ecuación \(|x|=a\) viene a decir que los únicos dos números reales cuya distancia al cero es igual a \(a\geqslant0\) son \(a\) y \(-a\).

La ecuación anterior se puede utilizar para resolver otras algo más complicadas.

Por ejemplo, sea la ecuación \(|3x-5|=8\). Usando lo que hemos demostrado anteriormente tenemos:

\[|3x-5|=8\Rightarrow\begin{cases}3x-5=8\Rightarrow3x=13\Rightarrow x=\frac{13}{3}\\3x-5=-8\Rightarrow3x=-3\Rightarrow x=-1\end{cases}\]

Resolvamos ahora la ecuación \(|x-1|=\dfrac{1}{|x+4|}\).

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por \(|x+4|\) obtenemos la ecuación equivalente \(|x-1||x+4|=1\) y como el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos tenemos también, equivalentemente

\[|(x-1)(x+4)|=1\Rightarrow|x^2+3x-4|=1\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-4=1\\x^2-3x-4=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-5=0\\x^2-3x-3=0\end{cases}\Rightarrow\]

\[\displaystyle\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\\x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases}\]

Es interesante observar la representación gráfica de las soluciones que de esta ecuación hace WolframAlpha.

Para resolver inecuaciones en las que aparecen valores absolutos usaremos, entre otras, la siguiente propiedad del valor absoluto:

\[|x|\leqslant a\Leftrightarrow-a\leqslant x\leqslant a\Leftrightarrow x\in[-a,a]\]

Es evidente que esta propiedad también se cumple si la desigualdad es estricta:

\[|x|<a\Leftrightarrow-a<x<a\Leftrightarrow x\in(-a,a)\]

De lo anterior se deduce que también es cierto que

\[|x|\geqslant a\Leftrightarrow x\leqslant-a\ \text{o}\ x\geqslant a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a]\cup[a,+\infty)\]

\[|x|>a\Leftrightarrow x<-a\ \text{o}\ x>a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a)\cup(a,+\infty)\]

Utilizando estas propiedades podemos resolver, por ejemplo, la inecuación \(|2x-7|\leqslant3\). Veámoslo.

\[|2x-7|\leqslant3\Leftrightarrow-3\leqslant2x-7\leqslant3\Leftrightarrow4\leqslant2x\leqslant10\Leftrightarrow2\leqslant x\leqslant5\Leftrightarrow x\in[2,5]\]

Hacemos hincapié en el interés que tiene observar la solución desde el punto de vista gráfico.

Naturalmente, si la inecuación fuera \(|2x-7|>3\) la solución sería \(x\in(-\infty,2)\cup(5,+\infty)\).

Resolvamos ahora la inecuación \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|<2\), en la cual hemos de aplicar la propiedad mencionada y luego proceder con especial cuidado.

\[\left|\frac{1}{2}-\frac{x}{3}\right|<2\Leftrightarrow-2<\frac{1}{2}-\frac{x}{3}<2\Leftrightarrow-2-\frac{1}{2}<-\frac{x}{3}<2-\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{5}{2}<-\frac{x}{3}<\frac{3}{2}\Leftrightarrow\]

Ahora recordemos que si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido, con lo que, en este caso, multiplicando todos los miembros por \(-3\), tenemos

\[\Leftrightarrow\frac{15}{2}>x>-\frac{9}{2}\Leftrightarrow-\frac{9}{2}<x<\frac{15}{2}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{9}{2},\frac{15}{2}\right)\]

Otra vez merece la pena observa la solución de la inecuación anterior desde el punto de vista gráfico.

Por supuesto, si la inecuación que tuviéramos que resolver fuera \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|\geqslant2\), la solución vendría dada por \(x\in\left(-\infty,-\dfrac{9}{2}\right]\cup\left[\dfrac{9}{2},+\infty\right)\).

Hay ocasiones en las que no queda más remedio que echar mano de la definición para resolver ciertas ecuaciones o inecuaciones en las que aparecen valores absolutos. Veamos un par de ejemplos.

Resolver la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\).

Por un lado tenemos que

\[|3-2x|=\begin{cases}3-2x&\text{si}&3-2x\geqslant0\\-(3-2x)&\text{si}&3-2x<0\end{cases}=\begin{cases}3-2x&\text{si}&x\leqslant\frac{3}{2}\\2x-3&\text{si}&x>\frac{3}{2}\end{cases}\]

Y por otro lado tenemos

\[|x-2|=\begin{cases}x-2&\text{si}&x-2\geqslant0\\-(x-2)&\text{si}&x-2<0\end{cases}=\begin{cases}x-2&\text{si}&x\geqslant2\\2-x&\text{si}&x<2\end{cases}\]

Como se puede observar, hay dos puntos digamos "críticos", el \(\frac{3}{2}\) y el \(2\). Podemos pues dividir la recta real en tres intervalos y considerar tres casos para resolver nuestra ecuación.

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(3-2x)+2-x=x\), ecuación de primer grado: \(6-4x+2-x=x\Rightarrow-6x=-8\Rightarrow x=\frac{4}{3}\). Como \(\frac{4}{3}\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\), entonces \(x=\frac{4}{3}\) es solución de la ecuación.

Si \(x\in\left(\frac{3}{2},2\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+2-x=x\), con lo que \(4x-6+2-x=x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\).

Si \(x\in(2,+\infty)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+x-2=x\), con lo que \(4x-6+x-2=x\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2\).

Cuando una de las soluciones coincide con uno de los puntos críticos debemos decidir si es solución sustituyendo directamente en la ecuación:

\[2|3-2\cdot2|+|2-2|=2|3-4|+|0|=2|-1|+0=2\cdot1=2\]

Observamos que la ecuación se cumple para \(x=2\), con lo que este valor es solución de la ecuación. Resumiendo, las soluciones de la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) son \(x=\frac{4}{3}\) y \(x=2\).

Resolvamos por último la inecuación de la imagen que encabeza este artículo: \(|4-x|+|2x-5|>7-x\). Para ello procederemos como en el ejercicio anterior.

Por un lado

\[|4-x|=\begin{cases}4-x&\text{si}&4-x\geqslant0\\-(4-x)&\text{si}&4-x<0\end{cases}=\begin{cases}4-x&\text{si}&x\leqslant4\\x-4&\text{si}&x>4\end{cases}\]

Por otro lado

\[|2x-5|=\begin{cases}2x-5&\text{si}&2x-5\geqslant0\\-(2x-5)&\text{si}&2x-5<0\end{cases}=\begin{cases}2x-5&\text{si}&x\geqslant\frac{5}{2}\\5-2x&\text{si}&x<\frac{5}{2}\end{cases}\]

Decidamos ahora intervalo por intervalo teniendo en cuenta que ahora los puntos críticos son \(\frac{5}{2}\) y \(4\).

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+5-2x>7-x\). Resolviéndola tenemos \(-2x>-2\Rightarrow x<1\Rightarrow x\in(-\infty,1)\). Como \(\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\cap(-\infty,1)=(-\infty,1)\), entonces el intervalo \((-\infty,1)\) es solución de la inecuación.

Si \(x\in\left(\frac{5}{2},4\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+2x-5>7-x\). Resolviéndola tenemos \(2x>8\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Como \(\left(\frac{5}{2},4\right)\cap(4,+\infty)=\emptyset\), este caso no aporta soluciones a nuestra inecuación.

Finalmente, si \(x\in(4,+\infty)\), la inecuación es \(x-4+2x-5>7-x\) que, resolviéndola, queda \(4x>16\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Por tanto, en este caso el intervalo \((4,+\infty)\) es solución de la inecuación.

Resumiendo, las solución de la inecuación \(|4-x|+|2x-5|>7-x\) la podemos escribir así: \((-\infty,1)\cup(4,+\infty)\).

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