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Usos de la trigonometría (II). Aplicaciones de las leyes de Newton a la resolución de problemas.

En el movimiento sobre un plano inclinado aparecen el seno y el coseno. En el movimiento sobre un plano inclinado aparecen el seno y el coseno.

Para plantear los problemas en los que deben aplicarse las leyes de Newton los pasos que deben seguirse son los siguientes.

  1. Dibujar un diagrama claro.
  2. Aislar el cuerpo (partícula) y representar en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre el mismo. Hacer esto para cada cuerpo, si interviene más de uno en el problema, dibujando un diagrama independiente para cada uno.
  3. Elegir un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo y aplicar la ley de Newton \(F=m\cdot a\) en forma de componentes.
  4. Resolver las ecuaciones resultantes para las incógnitas utilizando toda la información adicional disponible, por ejemplo las ligaduras (una ligadura es un tipo de información o restricción que limita la forma posible de movimiento del cuerpo). Generalmente las incógnitas incluirán las componentes de la aceleración y de algunas fuerzas.
  5. Finalmente, inspeccionar cuidadosamente los resultados comprobando si corresponden a las previsiones razonables. Particularmente conviene determinar si la solución obtenida predice los resultados que corresponden a valores extremos de las variables en la solución.

Veamos un ejemplo en el que jugarán un importante papel las razones trigonométricas seno y coseno.

Se trata de determinar la aceleración de un bloque de masa \(m\) que se mueve sobre una superficie fija y pulida, inclinada un ángulo \(\theta\) respecto a la horizontal (plano inclinado).

Existen sólo dos fuerzas que actúan sobre el bloque, el peso \(w\) y la fuerza \(N\) ejercida por el plano inclinado (fuerza normal o perpendicular al plano). Despreciamos la resistencia del aire y admitimos que no existe fricción en la superficie de contacto con el plano inclinado. Como las dos fuerzas no tienen la misma dirección, su suma no puede ser nula y, por tanto, el bloque debe acelerar. Hay que tener en cuenta una restricción o ligadura: la aceleración tienen lugar a lo largo del plano inclinado. Por eso, en este problema es conveniente elegir un sistema de coordenadas con un eje paralelo al plano inclinado y el otro perpendicular, como se indica en la figura 1.

plano-inclinado-02

La acelaración tiene entonces una sola componente \(a_x\). En esta elección \(N\) posee la dirección del eje \(y\) y el peso \(w\) tiene componentes \(w_x\) y \(w_y\) que se obtienen así (ver figura 2):

\[\text{sen}\,\theta=\frac{w_x}{w}\Rightarrow w_x=w\,\text{sen}\,\theta=mg\,\text{sen}\,\theta\]

\[\text{cos}\,\theta=\frac{w_y}{w}\Rightarrow w_y=w\,\text{cos}\,\theta=-mg\,\text{cos}\,\theta\]

En las igualdades anteriores se ha tenido en cuenta que \(m\) es la masa del bloque y \(g\) la aceleración de la gravedad. La fuerza resultante en la dirección del eje \(y\) es \(N-mg\,\text{cos}\,\theta\). De la segunda ley de Newton y del hecho de que \(a_y=0\), tenemos:

\[F_y=ma_y=N-mg\,\text{cos}\,\theta=0\]

Por tanto:

\[N=mg\,\text{cos}\,\theta\]

Igualmente, para las componentes \(x\):

\[F_x=ma_x=mg\,\text{sen}\,\theta\Rightarrow a_x=g\,\text{sen}\,\theta\]

Es decir, la aceleración hacia abajo según el plano inclinado es constante e igual a \(g\,\text{sen}\,\theta\).

Para comprobar nuestros resultados conviene comprobar los valores extremos de la inclinación, \(\theta=0^{\text{o}}\) y \(\theta=90^{\text{o}}\).

Para \(\theta=0^{\text{o}}\) la superficie es horizontal. El peso sólo tiene una componente vertical que vienen equilibrada por la fuerza normal \(N=mg\,\text{cos}\,0^{\text{o}}=mg\). La aceleración es naturalmente cero: \(a_x=g\,\text{sen}\,0^{\text{o}}=0\).

En el extremo opuesto, \(\theta=90^{\text{o}}\), el plano inclinado es vertical. El peso tiene entonces una sola componente a lo largo del plano. Así, la fuerza normal es cero: \(N=mg\,\text{cos}\,90^{\text{o}}=0\). La aceleración es \(a_x=g\,\text{sen}\,90^{\text{o}}=g\), con lo que el bloque cae libremente.

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