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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VIII)

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Distancia entre dos puntos inaccesibles

Deseamos calcular la distancia \(\overline{AB}=x\) entre dos puntos \(A\) y \(B\) a los que no tenemos acceso, tal y como se muestra en la figura.

trig13

Para ello medimos una base arbitraria \(\overline{CD}\), situada en el mismo plano que \(A\) y \(B\). Desde \(C\) medimos los ángulos \(\widehat{ACD}=\alpha\) y \(\widehat{BCD}=\beta\). Desde \(D\) medimos también los ángulos \(\widehat{CDB}=\gamma\) y \(\widehat{CDA}=\delta\). Con estos datos también podemos conocer el ángulo \(\widehat{CAD}=180^{\text{o}}-\alpha-\delta\) y el ángulo \(\widehat{CBD}=180^{\text{o}}-\beta-\gamma\).

El método a seguir consiste en calcular previamente \(\overline{AC}\) en el triángulo \(ACD\) aplicando el teorema de los senos:

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,\widehat{CDA}}=\frac{\overline{CD}}{\text{sen}\,\widehat{CAD}}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\delta}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\alpha-\delta)}\]

A continuación se calcula \(\overline{BC}\) en el triángulo \(BCD\) aplicando otra vez el teorema de los senos:

\[\frac{\overline{BC}}{\text{sen}\,\widehat{BDC}}=\frac{\overline{CD}}{\text{sen}\,\widehat{CBD}}\Rightarrow\overline{BC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\gamma}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\beta-\gamma)}\]

Por último calculamos \(\overline{AB}=x\) en el triángulo \(ABC\) aplicando el teorema del coseno:

\[x^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\alpha-\beta)\]

Ejemplo

Para calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles \(A\) y \(B\), se ha medido una base \(\overline{CD}\) de 240 metros, situada en el mismo plano que \(A\) y \(B\); también se han medido los ángulos \(\widehat{DCA}=106^{\text{o}}\), \(\widehat{DCB}=39^{\text{o}}\), \(\widehat{CDB}=122^{\text{o}}\) y \(\widehat{CDA}=41^{\text{o}}\). Calcular la distancia entre \(A\) y \(B\).

Solución

trig14

Llamemos \(x\) a la distancia entre \(A\) y \(B\). En este caso, según los datos del problema \(\alpha=106^{\text{o}}\), \(\beta=39^{\text{o}}\), \(\gamma=122^{\text{o}}\) y \(\delta=41^{\text{o}}\). Calculemos \(\overline{AC}\) y \(\overline{BC}\).

\[\overline{AC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\delta}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\alpha-\delta)}=\frac{240\cdot\text{sen}\text{sen}41^{\text{o}}}{\text{sen}33^{\text{o}}}\approxeq289,1\]

\[\overline{BC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\gamma}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\beta-\gamma)}=\frac{240\cdot\text{sen}122^{\text{o}}}{\text{sen}19^{\text{o}}}\approxeq325,16\]

Finalmente calculamos \(x\) aplicando el teorema del coseno en el triángulo \(ABC\):

\[x^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\alpha-\beta)=\]

\[=289.1^2+325.16^2-2\cdot289.1\cdot625.16\cdot\cos37^{\text{o}}\approxeq333167,23\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\sqrt{333167,23}\Rightarrow x\approxeq577,2\]

Por tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es, aproximadamente, \(577,2\) metros.

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