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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (II)

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Distancia entre un punto accesible y otro inaccesible

Supongamos que deseamos medir la distancia \(c\) desde \(A\) hasta \(B\), puntos entre los cuales media un obstáculo. A diferencia del caso anterior, no tenemos acceso al punto \(B\), tal y como se se muestra en la figura siguiente.

trig2

Pues bien, en este caso elegimos un punto \(C\) y medimos la distancia hasta \(A\), que llamaremos \(b\). También mediremos los ángulos \(\widehat{ACB}\), al que llamaremos \(\gamma\), y \(\widehat{BAC}\). al que llamaremos \(\alpha\). Medidos estos dos ángulos, sabremos la medida del ángulo \(\widehat{ABC}\), al que llamaremos \(\beta\), pues la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados: \(\beta=180^{\text{o}}-(\alpha+\gamma)\).

Haciendo uso del teorema de los senos tenemos que

\[\frac{c}{\text{sen}\,{\gamma}}=\frac{b}{\text{sen}\,{\beta}}=\frac{a}{\text{sen}\,{\alpha}}\]

y de la expresión anterior podemos despejar \(c\):

\[c=\frac{b}{\text{sen}\,{\beta}}\cdot\text{sen}\,{\gamma}\]

Ejemplo

Para calcular la anchura \(\overline{AB}\) de un río se elige un punto \(C\) que está en la misma orilla que \(A\) y se toman las siguientes medidas: \(\overline{AC}=67\) m, \(\widehat{BAC}=99^{\text{o}}\) \(\widehat{ACB}=20^{\text{o}}\). ¿Cuál es la distancia entre \(A\) y \(B\)?

Solución

En este caso \(b=67\), \(\gamma=20^{\text{o}}\) y \(\beta=180^{\text{o}}-(99^{\text{o}}+20^{\text{o}})=61^{\text{o}}\). Por tanto:

\[c=\frac{67}{\text{sen}\,61^{\text{o}}}\cdot\text{sen}\,20^{\text{o}}\Rightarrow c\approxeq26,2\,\text{m.}\]

O sea, la distancia entre \(A\) y \(B\) es de, aproximadamente, 26,2 metros.

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