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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (I)

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Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculo

Supongamos que deseamos medir la distancia \(c\) desde \(A\) hasta \(B\), puntos entre los cuales media un obstáculo, tal y como se puede apreciar en la figura.

trig1

Para ello elegimos un punto \(C\) desde el cual se pueda medir la distancia hasta \(A\), que llamaremos \(b\); y la distancia hasta \(B\), que llamaremos \(a\). También mediremos el ángulo \(\widehat{ACB}\) que, para abreviar, lo llamaremos \(\gamma\).

Utilizando el teorema del coseno tenemos que

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\]

Ejemplo

Un túnel \(\overline{AB}\) ha de atravesar una montaña. Para calcular su longitud se toman desde el punto \(C\) las siguientes medidas: \(\overline{AC}=1250\) m, \(\overline{BC}=1700\) m y \(\widehat{ACB}=132^\text{o}\). Hallar dicha longitud.

Solución

En este caso \(b=1250\), \(a=1700\) y \(\gamma=132^\text{o}\). Por tanto:

\[c^2=1700^2+1250^2-2\cdot1700\cdot1250\cdot\cos{132}^\text{o}\approxeq7296305.077\Rightarrow c\approxeq2701,17\]

Por tanto la longitud del túnel es de, aproximadamente, 2701 metros.

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