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Moneda cargada

Un reto con monedas "cargadas" Un reto con monedas "cargadas"
Este reto está extraído del libro "Matemática, ¿estás ahí?", de Adrián Paenza

Cada vez que hay una disputa sobre algo y hay que tomar una decisión entre dos posibilidades, se suele recurrir a tirar una moneda al aire.

Sin que uno lo explicite en cada oportunidad, está claro que uno acepta (sin comprobarlo) que la moneda no está cargada. Es decir: uno supone que la probabilidad de que salga cara o cruz es la misma. Y esta probabilidad es \(\dfrac{1}{2}\), o la mitad de las veces.

Hasta aquí, nada nuevo. Ahora, supongamos que uno tiene que decidir también entre dos posibilidades, y tiene una moneda cargada, pero, a diferencia del planteamiento anterior, a uno le dicen que la moneda está cargada. No es que tenga dos cara o dos cruces. No. Decir que está cargada es decir que la probabilidad de que salga cara es \(p\) mientras la probabilidad de que salga cruz es \(q\), pero uno no sabe que \(p\) y \(q\) son iguales.

En todo caso supongamos dos cosas más:

\[p+q=1\] 

\[p\neq0\quad;\quad q\neq0\]

La primera cosa dice que si bien \(p\) y \(q\) no tienen por qué ser iguales a \(\dfrac{1}{2}\) como en el caso de una moneda común, la suma de las probabilidades da uno. Es decir, o bien sale cara o bien sale cruz. La segunda cosa garantiza que la moneda no está cargada de tal manera que siempre salga cara o siempre salga cruz.

La pregunta es: ¿cómo hacer para poder decidir entre dos alternativas cuando uno tiene una moneda de estas características?

Supongamos que la probabilidad de que salga cara es \(p\) y la probabilidad de que salga cruz es \(q\). Antes de escribir la solución, analicemos qué pasaría si tiráramos esta moneda al aire dos veces seguidas. ¿Cuáles son los resultados posibles?

cara-cara

cara-cruz

cruz-cara

cruz-cruz

Es decir, hay cuatro resultados posibles.

¿Cuál es la probabilidad de que salga el primero (o sea, cara-cara)? La probabilidad sería igual a

\[p\cdot p=p^2\]

¿Por qué? Ya sabemos que la probabilidad de que salga cara la primera vez es \(p\). Si ahora repetimos el proceso, la probabilidad de que vuelva a salir cara sigue siendo \(p\). Como estamos tirando la moneda dos veces seguidas, las probabilidades se multiplican y resulta

\[p\cdot p=p^2\]

Una vez que esto está claro, calculemos la probabilidad de que suceda cada uno de los eventos que figuran en la lista anterior:

Probabilidad de que salga cara-cara = \(p^2\)

Probabilidad de que salga cara-cruz = \(p\cdot q\)

Probabilidad de que salga cruz-cara =\(q\cdot p\)

Probabilidad de que salga cruz-cruz = \(q^2\)

Mirando entonces esta última «tablita», ¿no se les ocurre qué habría que hacer?

Lo que corresponde entonces para decidir entre dos alternativas con una moneda cargada es tirar la moneda dos veces y pedirle a cada participante que elija: o bien cara-cruz o bien cruz-cara. Como se ve en esta última lista, las probabilidades son las mismas: una es p·q y otra es q·p. Sin embargo, si sale cara-cruz, gana uno de ellos. Y si sale cruz-cara, gana el otro.

¿Y si sale cara-cara o cruz-cruz? En ese caso hay empate. Lo que hay que hacer es volver a tirar la moneda dos veces hasta obtener cara-cruz o cruz-cara y así poder desempatar.

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