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Elementos filtrados por fecha: Sábado, 21 Diciembre 2013

Ecuaciones con la incógnita en el denominador

Si algunos de los términos de una ecuación contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la incógnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los téminos por el producto de todos ellos o, mejor aún, por su mínimo común múltiplo. Una vez eliminados los denominadores, la ecuación a la que se llega puede ser de las que se saben resolver a un nivel, digamos, de matemáticas de cuarto de Educación Secundaria Obligatoria, es decir, una ecuación de primer o de segundo grado, una bicuadrada o incluso una ecuación con radicales.

Resolvamos, como ejemplo, la ecuación de la imagen superior.

\[\frac{x+1}{x^2-2x}+\frac{x-1}{x}=2\]

Para obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos factorizar el primero de ellos: \(x^2-2x=x(x-2)\). Entonces la ecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{x+1}{x(x-2)}+\frac{x-1}{x}=2\]

Ahora es fácil darse cuenta de que el mínimo común múltiplo de los denominadores es, precisamente, \(x^2-2x=x(x-2)\). Multipliquemos por él todos los términos.

\[x(x-2)\cdot\frac{x+1}{x(x-2)}+x(x-2)\cdot\frac{x-1}{x}=x(x-2)\cdot2\Rightarrow x+1+(x-2)(x-1)=2x(x-2)\]

Operando y reduciendo términos semejantes nos queda una ecuación de segundo grado:

\[x+1+x^2-x-2x+2=2x^2-4x\Rightarrow -x^2+2x+3=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-1)\cdot3}}{2\cdot(-1)}=\]

\[=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{-2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2\pm4}{-2}=\begin{cases}x_1=\dfrac{-2+4}{-2}\Rightarrow x_1=-1\\x_2=\dfrac{-2-4}{-2}\Rightarrow x_2=3 \end{cases}\]

Veamos que ambas soluciones satisfacen la ecuación original.

\[\frac{-1+1}{(-1)^2-2\cdot(-1)}+\frac{-1-1}{-1}=\frac{0}{3}+\frac{-2}{-1}=0+2=2\]

\[\frac{3+1}{3^2-2\cdot3}+\frac{3-1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2\]

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones con la incógnita en el denominador.

a) \(\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x}{x+1}=3\)

b) \(\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{3}{2}\)

c) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{3}{4}\)

d) \(\dfrac{x+1}{x+5}+\dfrac{1-x}{x-4}=\dfrac{5}{2}\)

e) \(\dfrac{x+7}{x+3}+\dfrac{x^2-3x+6}{x^2+2x-3}=1\)

Las soluciones las incluiré aquí mismo en breve.

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Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado a la que le faltan los términos de grado impar.

\[ax^4+bx^2+c=0\quad a\neq0\]

Para resolverlas se realiza el cambio de variable \(x^2=z\), y entonces ocurre lo siguiente:

\[ax^4+bx^2+c=0\Rightarrow a\left(x^2\right)^2+bx^2+c=0\Rightarrow az^2+bz+c=0\]

Esta última es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es ahora \(z\). Ahora, para obtener las soluciones de la ecuación original hay que deshacer el cambio.

Es decir, si \(z\) es una solución positiva de la última ecuación de segundo grado, tendremos dos soluciones \(x_1\) y \(x_2\) para la bicuadrada:

\[x^2=z\Rightarrow\begin{cases}x_1=+\sqrt{z}\\x_2=-\sqrt{z}\end{cases}\]

En el caso de que \(z=0\) sea una solución de la de segundo grado, también \(x=0\) será una solución de la bicuadrada, pues de \(x^2=0\) se deduce \(x=0\).

Finalmente, una solución negativa \(z\) de \(az^2+bz+c=0\) no lleva asociada ninguna solución real de la bicuadrada ya que la ecuación \(x^2=z\) carece de soluciones reales al ser \(z<0\).

Mejor veamos todo lo anterior con un ejemplo concreto.

Para resolver la ecuación de la imagen que encabeza este artículo, \(x^4-10x^2+9=0\), realizamos el cambio de variable mencionado, \(x^2=z\), con lo que la ecuación bicuadrada se convierte en la ecuación de segundo grado \(z^2-10z+9=0\). Resolviendo esta última se tiene:

\[z=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot1\cdot9}}{2\cdot1}=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}=\]

\[=\frac{10\pm8}{2}=\begin{cases}z_1=\displaystyle\frac{10+8}{2}\Rightarrow z_1=9\\z_2=\displaystyle\frac{10-8}{2}\Rightarrow z_2=1\end{cases}\]

Ahora deshacemos el cambio para obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada.

Para \(z_1=9\) es \(x^2=9\Rightarrow x=\sqrt{9}\Rightarrow\displaystyle\begin{cases}x_1=3\\x_2=-3\end{cases}\).

Para \(z_2=1\) es \(x^2=1\Rightarrow x=\sqrt{1}\Rightarrow\displaystyle\begin{cases}x_3=1\\x_4=-1\end{cases}\).

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones:

a) \(x^4-9x^2+20=0\)

b) \(4x^4-5x^2+1=0\)

c) \(x^4-18x^2+81=0\)

d) \(\left(x^2+1\right)^2+6=5(x^2+1)\)

e) \(\left(2x^2+1\right)^2-5=(x^2+2)(x^2-2)\)

Las soluciones las tendrás aquí mismo en breve.

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