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Optimización de funciones. Problemas de optimización

Optimización de funciones. Problemas de optimización

Es muy frecuente que en un problema de geometría o de las ciencias experimentales (física, química, biología, etc.), de la economía, la psicología y de las ciencias sociales en general, se trate de optimizar un modelo. Es decir, si el modelo se ajusta a una función matemática, se trata de calcular cuándo esa función alcanza un máximo o un mínimo.

Sirva como ejemplo hacer máximo un volumen, minimizar un área, maximizar los beneficios con un mímimo coste, etcétera.

Para atacar este tipo de problemas es fundamental encontrar la función que hemos de maximizar o minimizar, o lo que es lo mismo, dar con la expresión analítica que se ajuste a nuestro modelo. De lo demás se encargan las derivadas.

Por eso, para ir adquierendo confianza con este tipo de problemas tendremos que tener en cuenta dos cosas importantes.

1) Ejercitarnos en expresar analíticamente funciones que se describen mediante un enunciado. En el caso más sencillo tendremos que interpretar el enunciado adecuadamente para conseguir una función que involucre una sola variable. Variable que será aquella "cosa" que queramos hacer máxima o mínima. Lo normal es que aparezcan dos "cosas" que varían (dos variables). Lo que tenemos que conseguir es expresar una de las variables en función de la otra a partir de los datos que ofrezca el enunciado del problema.

2) Aprender la técnica de hallar, de la forma más eficaz posible, los extremos de una función que viene dada mediante su expresión analítica.

Cálculo de los extremos de una función \(f(x)\) en un intervalo \([a,b]\)

En los problemas de optimización nos interesa el cálculo de los extremos absolutos de una función que cumple determinadas condiciones en un intervalo \([a,b]\).

Para ello se sigue el siguiente proceso.

a) Los máximos y mínimos absolutos de una función \(f(x)\) definida y derivable en un intervalo \([a,b]\) están entre los puntos críticos o singulares de esa función y los correspondientes a los extremos del intervalo. Por eso lo que hacemos es resolver la ecuación \(f'(x)=0\), seleccionamos las soluciones que están entre los extremos \(a\) y \(b\) y con todos estos valores (incluidos \(a\) y \(b\)) vemos cuál es el máximo y cuál el mínimo. Para ello, entre los candidatos a extremos relativos, lo mejor es utilizar el criterio de la segunda derivada.

b) Si hay algún punto de \([a,b]\) en el que la función no sea derivable aunque sí continua, calcularemos además el valor de \(f\) en ese punto, pues podría ser un máximo o un mínimo absoluto.

c) Si \(f\) no es continua en algún punto de \([a,b]\) estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de ese punto (límites por la izquierda y por la derecha del punto en cuestión).

Algunos ejemplos de problemas de optimización

Problema 1

Se dispone de \(6\) metros cuadrados de cartón para construir una caja con forma de prisma recto de base cuadrada con tapa. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen encerrado sea máximo?

optimizacion 01

La función que se quiere maximizar es el volumen. Las variables que se piden son las dimensiones, esto es, el lado de la base \(b\) y la altura del prisma \(h\).

El volumen \(V\) de un prisma recto es \(V=b^2\cdot h\).

La relación entre \(b\) y \(h\) nos la proporciona el enunciado el dproblema. Se dispone de \(6\ \text{m}^2\) para construir la base, las caras laterales y la tapa, es decir:

\[2b^2+4bh=6\Rightarrow h=\frac{6-2b^2}{4b}\quad(1)\]

Sustituyendo la expresión anterior en la fórmula del volumen tenemos:

\[V=b^2\cdot\frac{6-2b^2}{4b}=\frac{1}{4}b(6-2b^2)=\frac{1}{4}(6b-2b^3)\]

Hemos conseguido expresar el volumen (que es la variable que queremos maximizar) en función de la base. Ahora derivamos, igualamos a cero y hallamos los posibles extremos relativos:

\[V'=\frac{1}{4}(6-6b^2)=0\Rightarrow 6b^2=6\Rightarrow b^2=1\Rightarrow\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}\]

Evidentemente la solución negativa no tiene sentido. Además, para \(b=1\) se tiene que \(h=1\) (basta sustituir \(b\) en la expresión \(1\)).

Como \(V''=-3b\), entonces \(V''(1)=-3<0\), con lo que \(b=1\) es un máximo. Por tanto, para \(b=1\) y \(h=1\) se alcanza el volumen máximo (que además es de \(1\) metro cúbico).

Obsérvese que la solución corresponde a un cubo de lado \(1\) metro. En muchos problemas geométricos la solución óptima es la solución que se corresponde con la figura más regular.

Problema 2

Determina cómo dividir un segmento de \(90\) cm en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es \(\pi\) veces su base, sea mínima.

Nota: Recuerda que el área de un círculo de radio \(r\) es \(\pi r^2\).

La solución aquí.

A continuación se proponen un par de problemas de optimización cuya dificultad es mayor que la de los anteriores. Se tendrá mucho ganado si la situación mencionada en el enunciado se representa mediante un buen dibujo, donde todos los datos estén adecuadamente detallados.

Problema 3

Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x,\,y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.

La solución aquí. 

Problema 4

Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r′\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?

La solución aquí.

Os dejo, en los enlaces de más abajo, algunos problemas más de optimización completamente resueltos. Las relaciones son documentos en formato PDF que andan por Internet. El autor de la primera de ellas es José María Martínez Mediano. Desconozco los autores de las otras dos. En todo caso muchas gracias a todos ellos por compartir este material.

Puedes encontrar mucho más material escribiendo en cualquier buscardor las palabras "problemas optimización pdf".

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