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La función cuadrática o parabólica. La parábola

La función cuadrática o parabólica. Su gráfica es una parábola. La función cuadrática o parabólica. Su gráfica es una parábola.
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Una función real de variable real es una función cuadrática o parabólica si su ecuación viene dada por un polinomio de segundo grado. Es decir, es una función de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y, además, \(a\neq0\) (indistintamente utilizaremos la notación \(y=ax^2+bx+c\)). La representación gráfica de una función cuadrática o parabólica es, como su nombre indica, una parábola. La parábola siempre tiene un punto máximo o mínimo, llamado vértice. La recta vertical que pasa por el vértice recibe el nombre de eje de la parábola y divide a la parábola en dos partes simétricas. En general, si el coeficiente \(a\) es mayor que cero la parábola es cóncava ("se abre hacia arriba") y si es menor que cero es convexa ("se abre hacia abajo").

Para ver con más claridad la representación gráfica de la función cuadrática o de la parábola distinguiremos varios casos.

Caso 1

En este caso la ecuación de la función parabólica viene dada por \(f(x)=ax^2\). Estas parábolas siempre pasan por el origen de coordenadas, es decir, por el punto \((0,\ 0)\), punto que, además, es el vértice de la misma. El eje \(Y\) es por tanto el eje de la parábola (este tipo de funciones son pares: \(f(-x)=f(x)\)). En este caso son muy fáciles de representar, basta dar unos cuantos valores de \(x\) a la izquierda y derecha de cero. En la figura de más abajo se han representado las parábolas \(y=x^2\), \(y=\dfrac{1}{2}x^2\), \(y=2x^2\) (que se abren hacia arriba) y las parábolas \(y=-x^2\), \(y=-\dfrac{1}{2}x^2\), \(y=-2x^2\), que se abren hacia abajo y son un reflejo a través del eje \(X\) de las anteriores. Obsérvese que cuánto mayor es el valor absoluto de \(a\) más "estrecha" es la parábola.

parabola09

Caso 2

Este es un caso muy similar al anterior. La parábola ahora presenta la forma \(f(x)=ax^2+c\). Su gráfica es exactamente igual que la del caso anterior, sólo que se ha desplazado \(c\) unidades hacia arriba o hacia abajo (dependiendo de que \(c\) sea mayor o menor que cero). Por tanto el vértice pasa a ser ahora el punto \((0,\ c)\) y el eje de la parábola sigue siendo el eje \(Y\). Por ejemplo, las parábolas \(y=x^2+1\), \(y=x^2-1\) son exactamente iguales que la parábola \(y=x^2\) desplazadas respectivamente una unidad hacia arriba y una unidad hacia abajo (ver figura siguiente).

parabola08

Caso 3

Ahora la ecuación de la parábola adopta la forma \(y=ax^2+bx\). Resolviendo la ecuación \(ax^2+bx=0\) obtenemos dos soluciones: \(x=0\) y \(x=-\dfrac{b}{a}\). Esto quiere decir que la parábola \(y=ax^2+bx\) corta al eje \(X\) en dos puntos: \((0,\ 0)\) y \(\left(-\dfrac{b}{a},\ 0\right)\). Como estos dos puntos tienen la misma coordenada \(y\) (o la misma ordenada), deben ser simétricos respecto del eje de la parábola. Como el eje contiene al vértice de la parábola, la coordenada \(x\) (o abscisa) del vértice ha de ser el punto medio de \(0\) y \(-\dfrac{b}{a}\), es decir, \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (esta es precisamente la ecuación del eje). La coordenada \(y\) del vértice se obtiene fácilmente sustituyendo el valor \(x=-\dfrac{b}{2a}\) en la ecuación de la parábola. Para representarla gráficamente basta representar los tres puntos anteriores (cortes con el eje \(X\) y vértice) y algunos puntos más alrededor de éstos. Veamos un ejemplo.

Sea la parábola de ecuación \(y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x\). Para obtener los cortes con el eje \(X\) resolvamos la ecuación \(-\dfrac{1}{2}x^2+2x=0\).

\[-\dfrac{1}{2}x^2+2x=0\Rightarrow x\left(-\dfrac{1}{2}x+2\right)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\-\dfrac{1}{2}x+2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=4\end{cases}\]

Así pues los puntos de corte con el eje \(X\) son \((0,\ 0)\) y \((4,\ 0)\).

La coordenada \(x\) del vértice es \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot(1/2)}=2\) (el punto medio de \(0\) y \(4\)). La coordenada \(y\) del vértice será entonces \(y=-\dfrac{1}{2}\cdot2^2+2\cdot2=-2+4=2\). Por tanto el vértice de la parábola es el punto \((2,\ 2)\).

Ahora vamos a construir una tabla de valores con algunos puntos más alrededor del vértice y de los puntos de corte con el eje \(X\). Por ejemplo, podemos pensar en los puntos \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\), \(x=5\). Así en total tendremos siete puntos, tres a la izquierda y tres a la derecha del vértice. Además, estos últimos simétricos respecto del eje de la parábola, con lo que solamente tendremos que hallar la imagen de uno de ellos, pues la del simétrico será la misma. Así la imagen de \(x=-1\) es \(y=-\dfrac{1}{2}\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\). Entonces, la imagen de \(x=5\) (el simétrico de \(x=-1\) respecto del eje de la parábola) también es \(y=-\dfrac{3}{2}\) (¡compruébese!). Procediendo de manera similar se construye una tabla de valores. La representación gráfica de la parábola a partir de la tabla es muy sencilla.

\[\begin{matrix}\hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -5/2 & 0 & 3/2 & 2 & 0 & 3/2 & -5/2 \\ \hline\end{matrix}\]

parabola11

Caso 4

Este es el caso más general. La ecuación de la parábola es \(y=ax^2+bx+c=0\). Este tipo de parábolas siempre cortan al eje \(Y\) en el punto \((0,\ c)\). Para calcular los puntos de corte con el eje \(X\) habremos de resolver la ecuación general de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\). Si esta ecuación no tiene soluciones la parábola no cortará al eje \(X\) y estará toda ella por encima o por debajo del mismo (si \(a>0\) por encima y si \(a<0\) por debajo). Si la ecuación sólo tiene una solución porque el discriminante sea cero (\(b^2-4ac=0\)), la parábola toca al eje \(X\) en un sólo punto (es tangente al mismo). Además este punto será el vértice de la parábola. Si la ecuación tiene dos soluciones, \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) y \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), la parábola cortará al eje \(X\) en los puntos \((x_1,\ 0)\) y \((x_2,\ 0)\). Es fácil demostrar, de manera similar a como se hizo en el caso anterior, que la coordenada \(x\) del vértice de la parábola sigue siendo \(x=\dfrac{-b}{2a}\). En cualquier caso, para representar la parábola lo más apropiado es hallar el vértice, el punto de corte con el eje \(Y\), los puntos de corte con el eje \(X\) (caso de que haya) y construir una tabla de valores con tres o cuatro puntos a cada uno de los lados del vértice (si la parábola corta al eje \(X\) ya tenemos dos de ellos), tal y como se hizo en el apartado anterior. Veremos pues un último ejemplo.

Sea pues, por ejemplo, la función parabólica \(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-2\).

La coordenada \(x\) del vértice será \(x=-\dfrac{-3/2}{2\cdot(1/2)}=\dfrac{3}{2}\). La coordenada \(y\) del vértice será, por tanto:

\[y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{2}-2=\dfrac{9}{8}-\dfrac{9}{4}-2=-\dfrac{25}{8}\]

Así pues, el vértice de la parábola es el punto \(\left(\dfrac{3}{2},\ -\dfrac{25}{8}\right)=(1.5\ ,\ -3.125)\).

Resolviendo la ecuación de segundo grado \(\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-2=0\) obtendremos la coordenada \(x\) de los puntos de corte con el eje \(X\), caso de que existan. Vamos a verlo.

\[\frac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-2=0\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{9-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}=\begin{cases}x_1=4\\x_2=-1\end{cases}\]

Por tanto los puntos de corte con el eje \(X\) son \((4,\ 0)\) y \((-1,\ 0)\) (obsérvese que la coordenada \(x\) del vértice es justo el punto medio de \(4\) y \(-1\)). Además, el punto de corte con el eje \(Y\) es, claramente, \((0,\ -2)\). Elaboremos finalmente una tabla con los puntos hallados y algunos más alrededor del vértice.

\[\begin{matrix}\hline x & 3/2 & -1 & 4 & 0 & 3 & -2 & 5 \\ \hline y & -25/8 & 0 & 0 & -2 & -2 & 3 & 3 \\ \hline\end{matrix}\]

La representación gráfica de la parábola es, por tanto:

parabola13

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