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La derivada y la recta tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar.

derivadas01

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación \(y=f(x)\) en el punto \((a,f(a))\). La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto \((a,f(a))\) con un punto cercano \((x,f(x))\), de la gráfica de \(f\). Esta recta recibe el nombre de secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Dicho número suele llamarse cociente incremental de \(f\) en \(a\).

Obsérvese que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el punto \((x,f(x))\) esté próximo a \((a,f(a))\). Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\) como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

supuesto, claro está, que dicho límite exista.

Al límite anterior se le llama derivada de \(f\) en el punto \(a\) y se denota por \(f'(a)\). También se dice que \(f\) es derivable en \(x=a\). La recta tangente a la curva en el punto tendrá pues la siguiente ecuación:

\[y-f(a)=f'(a)(x-a)\]

Por ejemplo, si queremos hallar la recta tangente a la curva \(y=x^2-3x+1\) en el punto \(x=3\), hemos de aplicar la ecuación anterior. En este caso \((a\,,\,f(a))=(3\,,\,1)\). Ahora calculamos la derivada en \(x=3\):

\[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-3x+1-1}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-3x}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(x-3)}{x-3}=3\]

Por tanto la recta tangente es:

\[y-1=3(x-3)\Rightarrow y=3x-8\]

En la siguiente representación con desmos se aprecia con claridad.

derivadas02

De entre todas las rectas que pasan por el punto \((a,f(a))\) la recta tangente es la que mejor aproxima a la función en las proximidades de dicho punto, en el sentido de que, si \(f\) es derivable en \(x=a\) y llamamos \(g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\), entonces \(g\) es la única función que verifica

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

Vamos a formalizar la idea anterior. Las aplicaciones \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) de la forma

\[g(x)=mx+m\ ,\ \forall\,x\in\mathbb{R}\]

en que \(m\) y \(n\) son números reales fijos, se suelen llamar funciones afines de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) (obsérvese que las funciones afines son aquellas cuya representación gráfica es una línea recta).

Proposición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y \(a\in A\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) \(f\) es derivable en el punto \(a\).

ii) \(f\) es continua en el punto \(a\) y existe una función afín \(g\) tal que:

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

En caso de que se cumplan i) y ii) la función \(g\) viene dada por

\[g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\ ,\ \forall\,x\in\mathbb{R}\]

y como consecuencia \(g\) es única.

i) \(\Rightarrow\) ii) Para \(x\in A\) se tiene

\[f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

con lo que, por ser \(f\) derivable en el punto \(a\), tenemos

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

luego \(f\) es continua en el punto \(a\). Además, tomando \(g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) es evidente que \(g\) es una función afín (\(m=f'(a)\), \(n=f(a)-af'(a)\)) y se tiene

\[\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\ ,\ \forall\,x\in A-\{a\}\]

con lo que

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

ii) \(\Rightarrow\) i) Sea \(g(x)=mx+n\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Es claro que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=0\), con lo que aplicando que \(f\) y \(g\) son continuas en \(a\) tenemos \(f(a)=g(a)=ma+n\). Usando esta igualdad obtenemos, para \(x\in A\)

\[\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(a)-g(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-m\]

luego

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=m\]

esto es, \(f\) es derivable en \(a\) con \(f'(a)=m\). Finalmente se tiene, para todo \(x\) real

\[g(x)=mx+n=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)(x-a)+f(a)\]

Es importante destacar que la afirmación i) \(\Rightarrow\) ii) nos da una relación entre las dos familias más importantes de funciones reales de variable real: toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco de la anterior afirmación no es cierto: hay funciones continuas que no son derivables: la función valor absoluto es continua en cero pero no es derivable en cero (ver el último ejemplo de este otro artículo dedicado a la derivada de una función).

La representación gráfica de cualquier función afín \(h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) de la forma

\[h(x)=f(a)+K(x-a)\ ,\ \forall\,x\in\mathbb{R}\]

en que \(K\) es cualquier número real, es una recta que pasa por el punto \((a,f(a))\). Tal y como se comentó antes de enunciar la proposición anterior, la función \(g\) es una de las descritas, concretamente la que corresponde al valor \(K=f'(a)\). El hecho de que es la que mejor aproxima a la función \(f\) en las proximidades del punto \(a\) viene dado, tal y como se ha demostrado en la proposición, por el hecho de que es la única que verifica

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

Es natural, por tanto, dar a la función \(g\) el nombre de función afín tangente a la gráfica de la función \(f\) en el punto \((a,f(a))\) y llamar a la representación gráfica de \(g\) recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\). Puesto que esta recta tiene ecuación \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\), resulta que \(f'(a)\) no es otra cosa que la "pendiente" de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\). Se vuelve a redundar en lo comentado al principio de este artículo pero, aún a sabiendas de que uno es pesado, también es conveniente no perder nunca de vista que esta es la interpretación geométrica del concepto de derivada.

Proponemos a continuación una serie de ejercicios de los que se da su solución.

Ejercicios

1. Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) y \(a\in A\). Probar que \(f\) es derivable en \(a\) si, y sólo si, existe el siguiente límite

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

en cuyo caso

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

Si \(f\) es derivable en \(a\), entonces por definición de función derivable en un punto tenemos:

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Llamemos \(x=a+h\). Obsérvese que si \(x\rightarrow a\), entonces \(h\rightarrow0\) y se tiene:

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

Recíprocamente, si existe

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

usando el mismo cambio de variable anterior se tiene que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]

2. Sean \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \(a\in\mathbb{R}\). Sea \(g:\mathbb{R^*}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(h)=\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\ ,\ \forall\,h\in\mathbb{R^*}\]

Probar que si \(f\) es derivable en \(a\) entonces \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}g(h)=f'(a)\). Dar un ejemplo de una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) que no sea derivable en un punto \(a\) y tal que la correspondiente función \(g\) tenga límite en cero.

Obsérvese que

\[g(h)=\frac{1}{2}\left[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac{f(a)-f(a-h)}{h}\right]\]

Por el ejercicio anterior tenemos que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

Llamando \(x=a-h\), el segundo miembro en la expresión de \(g(h)\) es

\[\frac{f(a)-f(x)}{a-x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

y por tanto

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]

De este modo:

\[\lim_{h\rightarrow0}g(h)=\frac{1}{2}\left(f'(a)+f'(a)\right)=f'(a)\]

Sea la función valor absoluto:

\[f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & x\geqslant0 \\
                  -x & \text{si} & x<0
                \end{array}
  \right.\]

Sabemos que \(f\) no es derivable en cero. Si tomamos entonces \(a=0\) tenemos:

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h}=0\]

El límite anterior es cero porque

\[f(h)-f(-h)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  h-h=0 & \text{si} & h\geqslant0 \\
                  -h-(-h)=0 & \text{si} & h<0
                  \end{array}
  \right.\]

3. Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) y \(a\in A\). Supongamos que \(f\) es derivable en \(a\). Probar que

\[\exists\,M,\delta\in\mathbb{R^+}\,:\,x\in A\,,|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|\leqslant M|x-a|\]

¿Es cierta la misma afirmación suponiendo solamente que \(f\) es continua en \(a\)?

Al ser \(f\) derivable en \(a\) tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right)= \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{x-a}=0\]

Entonces, por la caracterización del límite de una función en un punto tenemos:

\[\forall\,\varepsilon>0\ \exists\,\delta>0\,:\,x\in A\,,0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{x-a}\right|<\varepsilon\]

La última desigualdad es equivalente a

\[|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|<\varepsilon|x-a|\]

Por tanto:

\[|f(x)-f(a)|-|f'(a)(x-a)|\leqslant|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|\Rightarrow\]

\[\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon|x-a|+|f'(a)||x-a|=\left(\varepsilon+|f'(a)|\right)|x-a|\]

Tomando \(M=\varepsilon+|f'(a)|\) se tiene el resultado que se pide.

La afirmación no es cierta suponiendo solamente que f es continua en \(a\). Como ejemplo sea \(f:\mathbb{R^+_0}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\sqrt{x}\). La función \(f\) es continua en \(a=0\), pero no es derivable:

\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\]

La expresión anterior tiende a \(+\infty\) cuando \(x\) tiende a cero. Por tanto, \(f\) no es derivable en \(a=0\).

Además, si fuera \(|f(x)-f(a)|\leqslant|x-a|\) tendríamos que \(|f(x)-f(0)|=|\sqrt{x}|=\sqrt{x}\leqslant Mx\) y entonces \(\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant M\), que es una contradicción pues el conjunto \(\{\frac{1}{\sqrt{x}}\,:\,x\in\mathbb{R^+}\}\) no está acotado.

4. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2-x+1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\). Encontrar los puntos de la gráfica de \(f\) en los que la recta tangente tenga pendiente \(2\).

Sea \(a\in\mathbb{R}\). Entonces:

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^2-x+1-a^2+a-1}{x-a}=\frac{x^2-x-a^2+a}{x-a}=\]

\[=\frac{(x-a)(x+a-1)}{x-a}=x+a-1\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x+a-1)=2a-1\]

y \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) con \(f'(x)=2x-1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

5. Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) y \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2+\alpha  x+\beta\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\). Encontrar los valores de \(\alpha\) y \(\beta\) que hacen que el punto \((2,4)\) pertenezca a la gráfica de \(f\) y que la recta tangente a la misma en dicho punto sea la recta de ecuación \(2x-y=0\).

Dado \(a\in\mathbb{R}\) tenemos:

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^2\alpha x+\beta-a^2-\alpha a-\beta}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}+\frac{\alpha(x-a)}{x-a}=x+a+\alpha\]

Entonces:

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x+a+\alpha)=2a+\alpha\]

y \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) con \(f'(x)=2x+\alpha\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

Si el punto \((2,4)\) pertenece a la gráfica de \(f\), se tiene \(f(2)=2^2+2\alpha+\beta=4\), de donde \(2\alpha+\beta=0\). Además, si la recta tangente a la misma en dicho punto es la recta de ecuación \(2x-y=0\), entonces \(f'(2)=2\Rightarrow2\cdot2+\alpha=2\Rightarrow\alpha=-2\). Por tanto, \(2\cdot(-2)+\beta=0\Rightarrow\beta=4\).

6. Sean \(a,b,c\in\mathbb{R}\) y \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones \(f(x)=x^2+ax+b\,,\,g(x)=x^3-c\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(g\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) (\(f\) lo es por el ejercicio anterior). Determinar los valores de \(a\), \(b\), \(c\) que hacen que las gráficas de \(f\) y \(g\) pasen por el punto \((1,2)\) y tengan la misma recta tangente en dicho punto.

Dado \(a\in\mathbb{R}\):

\[\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{x^3-c-a^3+c}{x-a}=\frac{(x^2+ax+a^2)(x-a)}{x-a}=x^2+ax+a^2\]

Entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x^2+ax+a^2)=3a^3\]

Por tanto, \(g\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) con \(g'(x)=3x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

Si las gráficas de \(f\) y \(g\) pasan por el punto \((1,2)\), entonces \(f(1)=2\) y \(g(1)=2\), es decir, \(1+a+b=2\) y \(1-c=2\), o lo que es lo mismo, \(a+b=1\) y \(c=-1\). Además, si \(f\) y \(g\) tienen la misma recta tangente en dicho punto, entonces \(f'(1)=g'(1)\Rightarrow2+a=3\Rightarrow a=1\) y sustituyendo en \(a+b=1\), tenemos \(b=0\).

7. Poner un ejemplo de una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) que sea derivable por la izquierda en cero y no sea continua en cero.

Sea \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
  x & \text{si} & -2\leqslant x\leqslant0 \\
  x+1 & \text{si} & 0<x\leqslant 2
  \end{array}
  \right.\]

Tenemos que

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\neq1=\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)\]

lo que demuestra que \(f\) no es continua en cero. Sin embargo

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\]

de donde se deduce que \(f\) es derivable por la izquierda en cero y la derivada por la izquierda en cero vale \(1\).

8. Sea \(\alpha\) un número real. Estudiar la continuidad y derivabilidad en \(0\) de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
  0 & \text{si} & x\leqslant0 \\
  x^{\alpha} & \text{si} & x>0
  \end{array}
  \right.\]

Si \(\alpha\neq0\), tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\quad;\quad\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
  0 & \text{si} & \alpha>0 \\
  1 & \text{si} & \alpha=0 \\
  +\infty & \text{si} & \alpha>0
  \end{array}
  \right.\]

Por tanto, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0=f(0)\) solamente cuando \(\alpha>0\), es decir, \(f\) es continua en cero si \(\alpha>0\) y no es continua en cero si \(\alpha\leqslant0\). Además:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\]

\[\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x^{\alpha}}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}x^{\alpha-1}=
  \left\{\begin{array}{ccc}
  1 & \text{si} & \alpha=1 \\
  0 & \text{si} & \alpha>1 \\
  +\infty & \text{si} & 0<\alpha<1
         \end{array}
  \right.\]

En conclusión, \(f\) será derivable en cero cuando \(\alpha>1\), y en este caso \(f'(0)=0\).

9. Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) y \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  \alpha x+\beta & \text{si} & x\leqslant0 \\
                  x^2 & \text{si} & x>0
                \end{array}
  \right.\]

¿Para qué valores de \(\alpha\) y \(\beta\) es \(f\) derivable en cero?

Claramente

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=\beta\quad;\quad\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=0\]

Entonces para que \(f\) sea continua en cero debe ser \(\beta=0\) y en este caso

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\alpha\quad;\quad\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\]

Así, para que \(f\) sea derivable en cero ha de ser \(\alpha=0\). O sea, que para que la función sera continua y derivable en cero debe estar definida del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  0 & \text{si} & x\leqslant0 \\
                  x^2 & \text{si} & x>0
                \end{array}
  \right.\]

10. Estudiar la derivabilidad en cero de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{    \begin{array}{ccc}
                      x^2 & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                      0 & \text{si} & x\notin\mathbb{Q}
                    \end{array}
  \right.\]

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales distintos de cero convergente a cero. Entonces \(\{f(x_n)\}\rightarrow0\), ya sea \(x_n\in\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\); o \(x_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), pues en el primer caso \(\{f(x_n)\}=\{x_n^2\}\) y en el segundo \(\{f(x_n)\}=\{0\}\). Así, \(f\) es continua en cero.

Supongamos ahora que \(\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{Q}\). Entonces

\[\left\{\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}\right\}=\left\{\frac{x_n^2}{x_n}\right\}=\{x_n\}\rightarrow0\]

Ahora bien, si \(\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), tenemos

\[\left\{\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}\right\}=\{0\}\rightarrow0\]

En todo caso \(\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\), con lo que \(f\) es derivable en cero y \(f'(0)=0\)

Referencia bibliográfica.

Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).


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