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Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas (III)

integral indefinida integral indefinida

Hace algún tiempo, un antiguo alumno me mostró una integral que le pusieron en uno de sus exámenes de matemáticas de primer curso de ingeniería. Era esta:

integrales16

Me puse a hacerla y me obsesioné tirando por un camino que, aunque no equivocado, sí largo y tortuoso, y publiqué la solución en mi anterior sitio Web. Una persona desconocida para mí, que se hacía llamar Primitivo, me mandó un correo electrónico haciéndome ver el camino corto y realmente sencillo para resolver esta integral. Aquí lo tenéis:

integrales17

integrales18

integrales19

integrales20

Solamente hay que darse cuenta de que al integrar por partes se resuelve la siguiente integral de manera inmediata:

integrales21

De hecho la solución a la integral propuesta es la misma que proporciona WolframAlpha.

Como se trata de cálculo de primitivas, expondré también aquí cómo se me ocurrió hacerla, no perdemos nada por ello y tendremos oportunidad de aprender algo más. En el desarrollo utilizaré algunas de las integrales ya calculadas en el artículo anterior sobre integrales indefinidas y cálculo de primitivas. Básicamente lo que hice es, en primer lugar, un cambio de variable (lo primero que se me ocurrió cuando vi la raíz de uno menos equis al cuadradado) y luego integré por partes. Veámoslo:

integrales22

integrales23

integrales24

integrales25

integrales26

Un breve inciso. Ahora adquieren sentido los dos artículos anteriores sobre cálculo de primitivas. Ya se han utilizado varias de las fórmulas que aparecen en los mencionados artículos. Ahora vamos a utilizar, para finalizar, que 

integrales27

Así pues:

integrales28

integrales29

Y ahora hay que deshacer los cambios y aquí empiezo a sentir algo de desasosiego pues dos primitivas de una misma función se diferencian únicamente en una constante. Y no sé porqué me da que una vez deshechos los cambios la primitiva que saldrá finalmente aquí no se parece mucho a la calculada anteriormente. ¿O sí, jugando con identidades trigonométricas? Yo lo dejo aquí. Si queréis hacer alguna aportación será bienvenida. Por supuesto, os agradecería que me comuniquéis cualquier error. No me extrañaría que hubiera alguno. 

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