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Cuadratura de un segmento de parábola

Una forma de acercarse al cálculo del área bajo una curva es calcular el área de la región \(R\) comprendida por la parábola \(y=x^2\), el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Este problema, como veremos, es equivalente a la cuadratura de un segmento de parábola.

cuadratura segmento parabola 02

En primer lugar, aproximaremos el área de la región \(R\) anterior mediante la suma de las áreas de colecciones de rectángulos contenidos y que contienen a dicha región, como se puede apreciar en la figura siguiente.

cuadratura segmento parabola 01

Lo que hemos hecho es dividir el intervalo \([0,1]\) en \(20\) partes, cada una de ellas de longitud \(0,05\). Evidentemente, la aproximación será tanto mejor cuanto mayor sea el número de rectángulos o, lo que es lo mismo, cuanto más fina sea la partición del intervalo \([0,1]\). Así pues, en nuestro caso disponemos de \(20\) rectángulos cuyos extremos son los puntos

\[x_0=0\ ,\ x_1=\frac{1}{20}\ ,\ x_2=\frac{2}{20}\ ,\ x_3=\frac{3}{20}\, ,\ldots,\ x_{19}=\frac{19}{20}\ ,\ x_{20}=\frac{20}{20}=1\]

Evidentemente la base de cada uno de los rectángulos, tanto los como contenidos como los que contienen a nuestra de región es \(\frac{1}{20}=0,05\).

La altura de cada uno de los rectángulos contenidos en la región es el mínimo de la función \(y=x^2\) sobre el intervalo \([x_{k-1},x_k]\). Al ser la función creciente el mínimo se alcanza en el extremo inferior del intervalo, es decir, la altura de cada rectángulo es \(\left(\frac{k-1}{20}\right)^2\). De este modo, el área \(a_k\) de cada rectángulo contenido en nuestra región es

\[a_k=\frac{1}{20}\left(\frac{k-1}{20}\right)^2=\frac{(k-1)^2}{20^3}=\frac{(k-1)^2}{8000}\]

donde \(k\) recorre todos los números naturales desde \(1\) hasta \(20\). Más explícitamente, las áreas de los veinte rectángulos contenidos en nuestra región son los siguientes:

\[a_1=0\ ,\ a_2=\frac{1^2}{8000}\ ,\ a_3=\frac{2^2}{8000}\ ,\ldots\ ,\ a_{19}=\frac{18^2}{8000}\ ,\ a_{20}=\frac{19^2}{8000} \]

La suma de estas áreas será una aproximación por defecto del área de nuestra región \(R\). Llamemos \(s_{20}\) a la suma de estas áreas. Entonces:

\[s_{20}=\frac{1}{8000}(1^2+2^2+3^2+\ldots+18^2+19^2)\]

Entre paréntesis aparecen la suma de los cuadrados de los 19 primeros números naturales cuya suma podemos calcular (ver el artículo dedicado a la suma de los cuadrados de los primeros números naturales), ya que

\[1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

En nuestro caso:

\[1^2+2^2+3^2+\ldots+18^2+19^2=\frac{19\cdot20\cdot39}{6}=2470\]

Por tanto, la suma \(s_{20}\) de los 20 rectángulos contenidos en nuestra región es

\[s_{20}=\frac{1}{8000}(1^2+2^2+3^2+\ldots+18^2+19^2)=\frac{2470}{8000}=0,30875\]

De un modo similar a como se ha hecho con los rectángulos contenidos, se puede demostrar que la suma \(S_{20}\) de las áreas de los 20 rectángulos que contienen a la región \(R\) es

\[S_{20}=\frac{1}{8000}(1^2+2^2+3^2+\ldots+19^2+20^2)=\frac{2870}{8000}=0,35875\]

Si llamamos \(A_R\) al área de nuestra región \(R\), hemos demostrado que

\[s_{20}=0,30875<A_R<S_{20}=0,35875\]

De manera general, si el intervalo \([0,1]\) lo dividimos en \(n\) partes, las áreas \(a_k\) y \(A_k\) de cada rectángulo contenido y continente son, respectivamente,

\[a_k=\frac{(k-1)^2}{n^3}\quad;\quad A_k=\frac{k^2}{n^3}\]

Por tanto, la suma de las áreas de los rectángulos contenidos y continentes y el área \(A_R\) de nuestra región cumplen la siguiente relación:

\[\sum_{k=1}^n\frac{(k-1)^2}{n^3}\leqslant A_R\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}\]

O lo que es lo mismo:

\[\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-1)^2}{n^3}\leqslant A_R\leqslant\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3}\]

Aplicando la fórmula de la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales la doble desigualdad anterior se puede escribir así:

\[\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\leqslant A_R\leqslant\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\]

Evidentemente, el sentido común nos dice que si hacemos tender \(n\) a infinito, entonces tendremos aproximaciones por defecto y por exceso cada vez más cercanas al área de nuestra región. El truco final consiste en pasar al límite de las sucesiones que aparecen en la doble desigualdad anterior:

\[\lim\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\lim\frac{2n^3-3n^2+n}{6n^3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

\[\lim\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\lim\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

De lo anterior deducimos que

\[\frac{1}{3}\leqslant A_R\leqslant\frac{1}{3}\]

Es decir

\[A_R=\frac{1}{3}\]

Un segmento de parábola es el área comprendida entre la cuerda que une dos puntos de la parábola y el arco de parábola correspondiente a esos dos puntos. Si tomamos la parábola anterior \(y=x^2\) definida en el el intervalo \([0,1]\) y trazamos la cuerda que une a los puntos de coordenadas \((0,0)\) y \((1,1)\) obtenemos el segmento de parábola siguiente.

 cuadratura segmento parabola 03

El área de este segmento de parábola, llamémosla \(A_S\), es claramente igual al área \(A_T\) del triángulo de vértices \((0,0)\), \((1,0)\) y \((1,1)\) menos el área \(A_R\), que hemos hallado anteriormente. Es decir:

\[A_S=A_T-A_R=\frac{1\cdot1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\]

Este artículo lleva por título cuadratura de un segmento de parábola porque para hallar el área de un segmento de parábola sólo hemos utilizado áreas de triángulos y rectángulos. Es verdad que hemos utilizado la fórmula de la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales (que no es nada fácil de deducir en principio) y el truco del paso al límite. Pero hemos conseguido hallar el área de una figura en la que uno de sus lados no es recto, sino curvo. Esto ya lo hizo Arquímedes. De hecho, halló el área de un segmento de parábola, aunque no utilizó el método que hemos utilizado aquí. Si quieres saber cómo lo hizo puedes consultar en este enlace. En todo caso, nos hemos aproximado al cálculo de áreas de regiones encerradas por un trozo de curva, el eje de abscisas y una o dos rectas verticales. Esta es una de las aplicaciones del cálculo integral. De hecho el área del segmento de parábola, usando el cálculo integral, se podría haber hallado así:

\[A_S=\int_0^1(x-x^2)dx=\left.\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\]

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