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Asíntotas

La función tiene una asíntota oblicua. El eje Y es una asíntota vertical. La función tiene una asíntota oblicua. El eje Y es una asíntota vertical.
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Una asíntota es una línea recta muy peculiar asociada a la gráfica de una función. Podemos definirla diciendo que es aquella línea recta a la que se aproxima continua e indefinidamente la gráfica de una función. En ese proceso de "acercamiento continuo e indefinido", por regla general, no hay lugar al contacto, es decir, la gráfica de la función no corta, no toca a la asíntota, salvo a lo sumo, en algún que otro punto aislado (hemos dicho por regla general, porque sí que hay funciones que tocan en muchos puntos a una recta conforme se acercan a ella, pero este tipo de funciones se escapan a los niveles de matemáticas que estudiamos en secundaria y bachillerato). Esta es una situación que nos puede chocar o incluso producir un poco de vértigo, pero es así. Nos acercamos a "algo" eternamente, sin llegar a tocar ese "algo". Como no podía ser de otra manera la asíntota tiene que ver con el concepto de tendencia de una función a un punto o al infinito, es decir, con el concepto de límite. De hecho las asíntotas que pueda tener una función se hallan, naturalmente, calculando límites.

Veamos un ejemplo. En la figura de aquí debajo tienes representada, en color azul, la gráfica de la función

\[f(x)=\dfrac{x^3-2x^2}{x^2+x-2}\]

asintota02

En color rojo vemos sus tres asíntotas. Hay dos verticales, las rectas \(x=1\) y \(x=-2\). Y otra oblicua, la recta \(y=x-3\).

Observa que la gráfica de la función se acerca indefinidamente a ellas. Se aprecia muy bien en la recta \(x=1\) (tanto que parece que la recta y la gráfica de la función se confunden, aunque no es así). No tanto en la oblicua, tendríamos que dibujar más gráfica de la función para darnos cuenta mucho mejor de ello. Pero en tan poco espacio no nos cabe dibujar toda la gráfica de una función. Aunque nos podemos hacer una idea. Observa también que la gráfica de la función corta a la asíntota oblicua en un punto intermedio. En concreto en el punto \((1,2,-1,8)\). Era lo que comentábamos antes, la gráfica puede tocar a la asíntota, pero sólo lo hará en algún o "algunos" puntos (escribimos entre comillas lo de algunos, porque hemos de insistir en que hay funciones que tocan en una infinidad de puntos conforme se acercan a la asíntota, funciones que sólo se estudian a un nivel de matemáticas superiores). En nuestro ejemplo, obsérvese que en cuanto empieza la cercanía de la gráfica a la asíntota, ya no vuelve más a tocarla y se va acercando más y más a ella, tanto por la izquierda como por la derecha.

Hay tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

Asíntotas verticales

Una recta horizontal, es decir, una recta de ecuación \(x=k\), es una asíntota vertical de una función \(f(x)\), si se cumple que \(\displaystyle\lim_{x\to k}f(x)=\pm\infty\). Así, en el ejemplo anterior tenemos que

\[\lim_{x\to-2}\frac{x^3-2x^2}{x^2+x-2}=\left[\frac{-16}{0}\right]=\begin{cases}-\infty\quad\text{si}\quad x\rightarrow-2^{-}\\+\infty\quad\text{si}\quad x\rightarrow-2^{+}\end{cases}\]

\[\lim_{x\to1}\frac{x^3-2x^2}{x^2+x-2}=\left[\frac{-1}{0}\right]=\begin{cases}+\infty\quad\text{si}\quad x\rightarrow1^{-}\\-\infty\quad\text{si}\quad x\rightarrow1^{+}\end{cases}\]

Por tanto \(x=-2\) y \(x=1\) son asíntotas verticales. Para entender el cálculo de este tipo de límites puedes leer el comienzo de la entrada dedicada a la indeterminación "cero partido por cero". Obsérvese que del cálculo de estos límites se desprende la tendencia hacia más infinito o hacia menos infinito cuando la variable independiente \(x\) se acerca a la asíntota vertical, bien por la izquierda, bien por la derecha.

Haremos una par de observaciones más. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales porque el límite en un punto de una función polinómica nunca puede ser infinito. Si la función es racional, es decir, de la forma \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\), donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios, los números que anulen el denominador, es decir, aquellos valores de \(x\) tal que \(q(x)=0\) serán nuestros candidatos a ser asíntotas verticales. Esto es porque sabemos que cuando el denominador tiende a cero, el cociente tiende a infinito, salvo que el denominador también tienda a cero y, en ese caso, deberemos resolver la indeterminación del tipo "cero partido por cero". En general si una función es cociente de otras dos, las posibles asíntotas verticales habrá que buscarlas entre los números que anulen el denominador, números que no pertenecen al dominio de la función y donde existe la posibilidad de que la gráfica de la función se acerque de manera indefinida a una recta vertical.

Asíntotas horizontales

Una recta horizontal, es decir, una recta de ecuación \(y=k\) es una asíntota horizontal de una función \(f(x)\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=k\). Por tanto, para calcular asíntotas horizontales basta calcular un límite en el infinito. Si el resultado es un número \(k\), la recta \(y=k\) será una asíntota horizontal. Si el resultado es \(+\infty\) o \(-\infty\), la función no tendrá asíntotas horizontales (en estos casos se dice que la función tiene una rama infinita). Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales, sino que tienen dos ramas infinitas (por decirlo de alguna manera, vienen de más o menos infinito y se alejan hacia más o menos infinito). Esto es porque si \(p(x)\) es un polinomio \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\). Si la función es racional, es decir, formada por un cociente de dos polinomios tendremos que calcular una límite del tipo \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{p(x)}{q(x)}\), límite que presenta la indeterminación del tipo "infinito partido por infinito". Veamos un ejemplo.

Consideremos la función \(f(x)=\dfrac{2x^2-x}{x^2-1}\). Como \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}=\dfrac{2x^2-x}{x^2-1}=2\), entonces \(y=2\) es una asíntota vertical. En la figura la asíntota está trazada en color rojo.

asintota03

Además, la función tiene dos asíntotas verticales, en \(x=-1\) y \(x=1\) (intenta calcularlas utilizando el procedimiento que se ha comentado en el apartado anterior: es muy fácil).

Asíntotas oblicuas

Una recta oblicua, es decir, una recta de ecuación \(y=mx+n\) es una asíntota oblicua de una función \(f(x)\) cuando los coeficientes \(m\) y \(n\) vienen dados por:

\[m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\quad\text{;}\quad n=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-mx\right)\]

Con un ejemplo se apreciará muy bien. Consideremos la función \(f(x)=\dfrac{x^3-x+1}{x^2-4}\). Tenemos que:

\[m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^3-x+1}{x^2-4}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x+1}{x^3-4x}=1\]

\[\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-mx\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3-x+1}{x^2-4}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x+1-x^3+4x}{x^2-4}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x^2-4}=0\]

Por tanto la asíntota oblicua es la recta \(y=1\cdot x+0\Rightarrow y=x\). Se puede apreciar la gráfica de la función y su asíntota oblicua en la figura siguiente.

asintota04

Esta función también tiene otras dos asíntotas verticales: \(x=-2\) y \(x=2\).

Finalmente, decir que si una función tiene alguna asíntota horizontal, entonces no tendrá oblicuas. La razón es porque si tuviera una oblicua, la función tendría que acercarse simultáneamente a la horizontal y a la oblicua y esto entraría en contradicción con el hecho de que \(f\) sea una función real de variable real (un original no puede tener más de una imagen). Por tanto, si hacemos el estudio de las horizontales y hallamos alguna, podemos decir ya que con seguridad la función no tendrá asíntotas oblicuas.

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